3.3.3.Теорема о трёх синусах

№ 52. Прямая АВ параллельна плоскости τ. Прямая CD пересекает прямую АВ под острым углом β и образует с плоскостью τ угол γ. Найти угол α между плоскостью τ и плоскостью, в которой лежат прямые AB и CD.

План решения.

1. АВ || р, р – линия пересечения плоскостей.

2. β – угол между CD и р.

3. sin α (по теореме о трёх синусах).

Ответ:

№ 53. Из точки, принадлежащей грани острого двугранного угла, проведены к ребру перпендикуляр и наклонная. Доказать, что угол, который образует перпендикуляр с плоскостью второй грани, больше, чем угол, образованный наклонной с этой плоскостью.

План решения.

1. Построения: АО τ, ОС, ОВ.

2. АСО – угол, образованный,

перпендикуляром к ребру АС и

плоскостью τ.

3. АВО – угол, образованный

наклонной к ребру АС и

плоскостью τ.

4.В обозначениях теоремы о трёх синусах (АВ – прямая) АСО = α, АВО=γ, АВС=β

5. Записать теорему синусов и сделать вывод.

№ 54. Сторона АВ ромба ABCD с тупым углом 120 лежит в некоторой плоскости τ, составляющей с плоскостью ромба угол 45. Определить угол, который составляет большая диагональ ромба с этой же плоскостью.

План решения.

1.Рассмотреть двугранный угол

с ребром АВ. Диагональ АС –

прямая в одной из его граней.

В обозначениях теоремы о трёх

синусах α=45, САВ= β,

γ – искомый угол.

2.  САВ.

3. sinγ. 4. γ.

Ответ:

№ 55. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45 ко второму катету. Найти угол между гипотенузой и плоскостью.

План решения.

1. Построения: ВО  τ, ОС.

1. Пусть α – двугранный угол, образованный данной плоскостью и плоскостью треугольника.

ВСО = α = 45.

3. В обозначениях теоремы о трёх синусах ВАС = β, ВАО=γ

(искомый).

4. ВАС. 5. sinВАО. 6. ВАО

Ответ: 30.

№ 56. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости τ, проходящей через гипотенузу, под углом 30. Найти угол α между плоскостью τ и плоскостью треугольника.

План решения.

1. Построения: СО  τ, АО.

2. Рассмотреть двугранный угол с ребром АВ. АС – прямая в одной из его граней.

В обозначениях теоремы о трёх синусах α – искомый угол, САО =γ=30,САВ = β.

3. САВ.

4. sin α.

5. α.

Ответ: 45.

№ 57. В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол 60, а с одним из катетов угол 45. Найти угол между этой плоскостью и другим катетом.

План решения.

1. Построения:

СО  τ, ОР  АВ, СР.

2. СРО = 60, СВО = 45.

3. Пусть СО = h. Выразить

СР через h (СОР) .

4. Выразить СВ через h

(СОВ).

5. СРВ – прямоугольный.

6. Выразить sinСВР (СРВ). 7. sinCAB=cosСВР.

8. Рассмотреть двугранный угол, образованный плоскостью треугольника и плоскостью τ. В обозначениях теоремы синусов АС – прямая, СРО =α = 60, CAB=β (пункт 7), CAО=γ. 9. sin γ. 10. γ.

Ответ: 30.

№ 58. В прямоугольном треугольнике с острым углом β через наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол α. Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.

П лан решения.

1. Наименьшая медиана СМ, где М – середина гипотенузы.

2. Рассмотреть двугранный угол с ребром СМ. Катет ВС – прямая в одной из его граней.

В обозначениях теоремы о трёх синусах α – данный угол, ВСМ= β,

γ – искомый угол.

3. ВСМ (рис. 275).

4. sin γ. 5. γ.

6. Рассмотреть двугранный угол с ребром СМ. Катет АС – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах α – данный угол, АСМ= β, γ – искомый угол.

7. АСМ (рис. 275). 8. sin γ. 9. γ.

Ответ:

№ 59. В прямоугольном треугольнике через биссектрису прямого угла проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол α. Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.

Решение задачи аналогично задачи решению № 58. Ответ:

№ 60. Угол между плоскостью квадрата ABCD и некоторой плоскостью τ равен α, а угол между стороной АВ и той же плоскостью равен γ. Найти угол между стороной AD и плоскостью τ.

План решения.

Без ограничения общности можно считать, что вершина квадрата А находится на ребре MN двугранного угла, образованного плоскостью квадрата и данной плоскости τ.

1. Построения:

1.1. ВО  τ, АО. 1.2. DQ  τ, AQ.

2. Рассмотреть двугранный угол с ребром MN. АВ – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах α – угол между данными плоскостями, ВАМ=β – искомый угол, ВАО= γ,

3. sinBAM. 4. Выразить DAN через BAM. 5. sinDAN.

6. Рассмотреть двугранный угол с ребром MN. АD – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах α – угол между данными плоскостями, DАN=β, DAQ= γ - искомый угол.

7. sinDAQ. 8. DAQ.

Ответ:

№ 61. Найти объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а и образует с боковой гранью угол γ.

П лан решения.

1. Построения: SO ABC, ВК, SK.

2. Рассмотреть двугранный угол SACB,

SKO – его линейный угол.

3. ВС – прямая в одной из граней двугранного

угла SACB. В обозначениях теоремы о трёх

синусах SKO = α – линейный угол,

ВСА=β, γ – угол между ВС и гранью ASC

(данный по условию).

4. ВСА. 5. sinα. 6. tgα. 7. ОК. 8. SO. 9. S_ABC. 10. V_SABC.

Ответ:

Замечание. Можно доказать, что и привести ответ к виду