3.2. Угол между плоскостями

№18. ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Вычислить углы, образованные плоскостями:

1) АВ₁С₁ и АВС.

План решения.

1. В₁АВ - искомый угол.

2. tgφ, где В₁АВ=φ.

Ответ: 45.

Рис.217

2) ВВ₁D₁ и АВС.

План решения.

1. АОD  искомый угол.

Ответ: 90.

Рис. 218

3) АВ₁D₁ и АВС.

План решения.

Рис. 219

1. l – линия пересечения плоскостей АВ₁D₁

и АВС (l параллельна В₁D₁ или ВD).

2. О₁АО  искомый угол.

3. tgφ, гдеО₁АО=φ.

Ответ:

4 ) АВ₁D₁ и ВB₁D₁.

План решения.

1.О₁ – центр верхнего основания.

AО₁O  искомый угол.

2. tgφ, где AО₁O=φ.

Ответ:

5) DА₁C₁ и BА₁С₁.

План решения.

1. О₁ – центр верхнего основания.

BО₁D  искомый угол

2. BD, O₁D, cosφ (BO₁D), где BО₁D =φ.

Ответ:

З амечание. Можно воспользоваться ОО₁D (рис. 222) и найти .

Ответ:

6) C₁ВD и А А₁С₁.

План решения.

1. А₁С₁  C₁ВD (задача №22, с.20)

2. C₁ВD  А А₁С₁.

Ответ: 90.

7 ) АВ₁D и С В₁D.

План решения.

1.Построения: АР  B₁D, РС.

2. АР=РС, РС  B₁D.

3. АРС – искомый.

4. АР (из прямоугольного треугольника

Рис. 224

AB₁D, используя площадь).

5. АС.

6. cosφ, где АРС =φ

(по теореме косинусов).

Ответ: φ=120, угол между плоскостями 60.

№19. Дан правильный тетраэдр. Вычислить угол, образованный:

1 ) плоскостями граней тетраэдра;

План решения.

1. Построения: О – центр основания;

АК, РК;

2. ОК, РК выразить через ребро

тетраэдра а;

3. cosφ, где SKO=φ.

Ответ: .

Все другие углы, образованные плоскостями граней тетраэдра равны найденному углу.

2) плоскостью, проходящей через две

апофемы тетраэдра и плоскость основания;

План решения.

1. Построения: SM, SK – апофемы,

SMK – данная плоскость.

P - середина MK, SP  MK, NP  MK,

SPN – искомый.

2. SP, NP, SN выразить через ребро

тетраэдра а;

3. По теореме косинусов cosφ, где

SPN=φ.

Ответ:

3) плоскостью, проходящей через две

апофемы тетраэдра и плоскостью

боковой грани, не содержащей их;

План решения.

1. Построения: SK, SР – апофемы,

SРK – данная плоскость.

l – линия пересечения плоскости SРK и

Рис. 227

грани ASC, l || AC.

MS  l, NS  l, MSN – искомый.

2. SN, NM, SM выразить через ребро

тетраэдра а;

3. По теореме косинусов cosφ, где

MSN=φ.

Ответ:

4 ) плоскостями двух сечений, являющихся квадратами;

План решения.

1. Построения: MNPK, LNFK – сечения квадраты (рис. 228, 229). Они образованы средними линиями граней – треугольников.

Рис. 230. О – середина NK. ОМ  NK, OF. MOF – искомый.

2. Проверить равенство MF² = OM² + OF². Сделать вывод.

Ответ: 90.

№20 (устно). Две плоскости пересекаются. Какой угол образуют между собой плоскости биссекторов этих углов?

Определение. Биссектором двугранного угла называется полуплоскость, которая делит данный угол на два равных по величине угла.

На рисунке α, β – данные плоскости,

τ ₁,τ₂ – биссекторные плоскости.

№ 21 (устно). В треугольной пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно плоскости грани АВС. Треугольник АВС равносторонний. Назвать угол между плоскостями:

1) РАВ и РВС (рис. 232); 2) РАС и ВАС (рис. 232); 3) РАС и РВС (рис. 233).

Ответ: 1) АВС; 2) РКВ; 3) АLC.

№ 22 (устно). В основании четырёхугольной пирамиды РАВСD квадрат АВСD, ребро РВ перпендикулярно основанию. Назвать угол между плоскостями:

1) PAD и АВС; 2) PCD и АВС; 3) PAD и PCD.

Рис. 235

Ответ: 1)  РАВ; 2)  РСВ. 3)  АКС.

4) PAD и PCВ.

Ответ:  АРВ.

№ 23. Основанием пирамиды служит квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней двугранные углы, каждый из которых равен α. Высота пирамиды равна Н. Определить боковую поверхность пирамиды.

План решения.

1. АВ  AD, PA  AD: РАВ= α.

2. Аналогично РСВ= α.

3. РB, AB, S_APB.

4. S_APB=S_CPB.

5. AP.

6. APD – прямоугольный. S_APD.

7

Рис. 237

. S_APD= S_CPD.

8. S_{боковой поверхности пирамиды}.

Ответ:

№ 24. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30 и 60. Найти объём пирамиды.

П лан решения.

1. Пусть АВ = а. Выразить РВ через а.

2. Пусть ВС = в. Выразить РВ через в.

3. Выразить РВ через S (перемножить

результаты, полученные в (1) и (2)).

4. Найти объём пирамиды.

Ответ:

№ 25. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол β, две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α. Найти боковую поверхность пирамиды.

План решения.

1. Построения: ВК  AD, SK; BP  DC, SP.

2. ВК.

3. SВ.

4. S_SAB.

5. SК, S_SAD.

6. S_SAB= S_SСB, S_SAD= S_SСD.

Рис. 239

7. S_{боковой поверхности пирамиды}.

Ответ:

№ 26. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Боковая грань, проходящая через катет, прилежащий к острому углу α перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом α. Определить объём пирамиды.

П лан решения.

1. Построения:

1.1. PО  BC, PО  ABC.

PО – высота пирамиды;

1.2. ОК  АВ, РК.

2. РСО – угол между гранями АРС и АВС.

РКО – угол между гранями АРВ и АВС.

РСО =РКО =α=АВС.

3. АС, ВС, S_ABС.

4. Точка О равноудалена от сторон АВ и АС,

АО – биссектриса А.

5. ОС. 6. ОР. 7.V_PABC.

Ответ:

№ 27. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол α. Боковая грань, проходящая через гипотенузу перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом α. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. Построения:

1.1. PО  АB, PО  ABC.

PО – высота пирамиды;

1.2. ОК  АС, РК.

1.3. ОМ  ВС, РМ.

Рис. 241

2. РКО – угол между гранями АРС и АВС.

РМО – угол между гранями CРВ и АВС.

РКО =РМО =α=ABC.

3. АС, ВС, S_ABС.

4. СО – биссектриса С.

5. ОМ=МС=х. 6. ВОMВАС. 7. Найти х из пропорциональности сторон.

8. ОР. 9. V_PABC.

Ответ:

№ 28. Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD с площадью m², у которого диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Двугранные углы при рёбрах AB и CD равны 60, а при рёбрах AD и BC равны 45. Найти боковую поверхность пирамиды.

Р ассмотрим фрагмент данной конфигурации (рис. 242).

Пусть РО – высота пирамиды.

КМ – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма АВ и DС (ОКМ).

Т ак как РКМ=РМК, то точка О равноудалена от сторон АВ и DC.

Аналогично BD – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма AD и BC (рис. 243) и из равенства углов PDB и PBD следует, что точка О равноудалена от сторон AD и BC.

Свойством равноудалённости от противоположных сторон параллелограмма обладает точка пересечения его диагоналей (как центр симметрии). Таким образом, основание высоты пирамиды точка О – середина BD.

П лан решения.

1. ADBD = m ².

2. BD= .

3. ADPD= .

4. APD – прямоугольный.

5. S _APD= =S_BPC.

6. KMDC=m². 7. KM=PM. 8. PMDC=m². 9. S _PDC= m²=S_APB.

10. S_{боковой поверхности пирамиды}.

Ответ:

№ 29. Высота правильной четырёхугольной призмы равна Н. Через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины, проведена плоскость образующая с основанием угол α. Найти боковую поверхность призмы.

П лан решения.

1. Построения: АВ₁С, В₁ОВ = α.

2. ОВ. 3. АВ. 4. S_{боковой поверхности призмы}.

Ответ:

№ 30. Через сторону основания, правильной четырёхугольной призмы проведено сечение, равновеликое боковой грани. Найти угол , образованный сечением с плоскостью основания, если сторона основания призмы равна а, а высота h.

П лан решения.

1. АМND – прямоугольник

2. NDC – угол между плоскостью сечения и

плоскостью основания, NDC=.

3. DD₁=DN.

4. cos.

Ответ:

№ 31. Боковое ребро прямой треугольной призмы равно в, через сторону АС основания АВС проведено сечение АDС, площадь которого равна q. Найти объём призмы, если плоскость сечения образует с плоскостью основания угол α.

П лан решения.

1. Построения: ADP, BP  AC, DP.

DPB=β.

2. S_ADC= . q =

3. Выразить PD через РВ.

4. Подставить в формулу площади сечения

и выразить площадь основания.

5. V_призмы.

Ответ:

№ 32. В правильной треугольной призме сторона основания равна 4 см, боковое ребро равно . В призме проведено сечение через вершину основания параллельно противоположной стороне основания под углом 45к плоскости основания. Найти поверхность большей части призмы.

П лан решения.

1. Построения:

1.1. КРВ – сечение.

1.2. l – линия пересечения плоскости сечения и основания призмы,

(l || КР).

1.3. О₁ – середина КР.

О₁В  l, ВО  l (О- центр АВС).

1.4. О₁ ВО = 45.

2. О₁В₁. 3. КВ₁. 4. Поверхность меньшей части призмы ( .

5. Поверхность призмы. 6. О₁В. 7. S _KBP. 8. Поверхность большей части призмы.

Ответ:

№ 33. Основанием наклонной призмы служит равнобедренный треугольник. Боковая грань призмы, проходящая через основание а равнобедренного треугольника,  квадрат и образует с двумя другими боковыми гранями углы, каждый из которых равен α. Найти боковую поверхность призмы.

План решения.

1. Построения: РВВВ₁, РССС₁.

CВР – угол между гранями ВВ₁С₁С и

А А₁В₁В.

Рис. 249

Аналогично, РCВ – угол между гранями

ВВ₁С₁С и А А₁С₁С.

CВР=РCВ=α.

2. ВРС – перпендикулярное сечение. 3. РВ (ВРС). 4. Р_(ВРС). 5.ВВ₁.

6. S_{боковой поверхности призмы}.

Ответ:

№ 34. Боковое ребро наклонной призмы равно в, а площадь её основания равна S. Определить объём призмы, если известно, что плоскость, перпендикулярная к боковым рёбрам призмы, образует с плоскостью основания угол α.

П лан решения.

1. Построения:

1.1. ВР  АА₁, РС.

Плоскость ВРС  АА₁.

1.2. АК  ВС, РК, АКР=α. Доказать.

1

Рис. 250

.3. А₁О АВС. А₁О  А₁АК. Доказать.

2.  А₁АО = АКР=α.

3. А₁О. 4. V_призмы. Ответ: bScosα.

№ 35. Правильная четырёхугольная призма пересечена плоскостью так, что в сечении получился ромб с острым углом α. Найти угол  плоскости сечения с плоскостью основания призмы.

П лан решения.

1. Построения (рис. 251).

1.1 О – точка пересечения диагоналей

призмы.

1.2. Прямая l: О l, l || АС, точки М, Р.

1.3. В₁N = DD₂.

1.4. MNPD₂ – сечение.

2. Доказать MNPD₂ – ромб

(параллелограмм с перпендикулярными

диагоналями).

3. ND₂B₂ =. Доказать. (На чертеже n – линия пересечения плоскости сечения и плоскости А₂В₂С₂D₂, параллельной основанию призмы).

4. Пусть МР= а, тогда B₂D₂ = а. 5. Выразить ND₂ через а. 6. cos .

Ответ: