3.3.2. Теорема о биссектрисе угла

№ 42. Прямые АВ и АС взаимно перпендикулярны, а прямая АD составляет с каждой из них угол 60. Найти угол между прямой АD и плоскостью AВC.

План решения.

1.Построения: DO  ADC, DAO –

искомый.

2. АО – биссектриса САВ.

3. cosDAO по теореме о трёх косинусах.

Ответ: 45

№ 43. Длины рёбер параллелепипеда равны а, в и с. Рёбра, длины которых а и в взаимно перпендикулярны, а ребро длиной с образует с каждым из них угол 60. Определить объём параллелепипеда.

П лан решения.

1. Построения: А₁О  АВС.

2. АО – биссектриса ВАС.

3. cosA₁AO (по теореме о трёх

косинусах), sinA₁AO.

4. A₁O.

5. S_ABC.

6. V_призмы.

Ответ:

№ 44. Основанием призмы ABCA₁B₁C₁ служит правильный треугольник АВС со стороной а. Вершина А₁ проектируется в центр нижнего основания, а ребро АА₁ наклонено к плоскости основания под углом в 60. Определить боковую поверхность призмы.

План решения.

1. Построения: ВРАА₁, РС.

2. А₁АВ=А₁АС.

3. РВ. 4. АО. 5. АА₁. 6.

7. .

8. ВВ₁С₁С – прямоугольник.

9. 10. S_{боковой поверхности призмы}.

Ответ: .

№ 45. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и с острым углом 60. Ребро АА₁ также равно а и образует с рёбрами АВ и AD углы 45. Определить объём параллелепипеда.

План решения.

1. Построения: А₁О  АВСD.

2. О  АС.

3. cos А₁АО ( по теореме о трёх

косинусах), sin А₁АО.

4. А₁О.

5. S_ABCD.

6. V_призмы.

Ответ:

№ 46. Все грани призмы – равные ромбы со стороной а и острым углом α. Найти объём призмы.

Решение задачи аналогично решению задачи №45.

Ответ: , который можно привести к виду .

№ 47. Основанием параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит квадрат со стороной а, боковые ребра параллелепипеда равны в. Боковое ребро АА₁ образует с пересекающими его сторонами острые углы, равные . Найти площади диагональных сечений АА₁С₁С и ВВ₁D₁D параллелепипеда.

План решения.

1. Построения.

1.1. А₁Р  АВСD.

1.2. Диагональные сечения.

2. А₁Р  АС. Доказать.

3. cos А₁АР ( по теореме о трёх

косинусах), sin А₁АО.

4. А₁Р. 5. АС. 6. Площадь АА₁С₁С.

7. ВВ₁D₁D – прямоугольник. Доказать.

8. Площадь ВВ₁ D₁D.

Ответ:

№ 48. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит прямоугольник ABCD, стороны которого равны а и в. Боковое ребро АА₁ равно с и составляет с плоскостью основания угол 45, а с прилегающими сторонами основания AB и AD равные острые углы. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

П лан решения.

1. cosA₁AD (по теореме о трёх

косинусах), sin А₁АD.

2. Площадь грани AA₁D₁D.

3. Площадь грани AA₁В₁В.

4. Боковая поверхность призмы.

Ответ:

№ 49. В треугольной пирамиде все боковые рёбра и два ребра основания равны а. Угол между равными рёбрами основания равен α. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. SAC=SAB, АО – биссектриса А.

2. cosSAO (по теореме о трёх

косинусах), sin SAO.

3. SO.

4. S_ABC.

5. V_SABC.

Ответ:

№ 50. Боковые рёбра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину и равны а. Из трёх плоских углов, образованных этими рёбрами при вершине пирамиды, два содержат по 45, а третий – 60. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. Расположить данную пирамиду так, чтобы её основанием была грань РАВ, а вершиной точка С (рис. 266).

2. Построения: ОС  РАВ.

3. О  РК, где РК – биссектриса Р.

4. cos СРО ( по теореме о трёх косинусах), sin CPО.

5. СО. 6. Площадь АРВ. 7. Объём пирамиды. Ответ: .

№ 51. В треугольной пирамиде SABC грань SВС перпендикулярна грани АВС, все плоские углы при вершине S равны 60. SB=SC= 1 см. Найти объём этой пирамиды.

П лан решения

1. Рассмотреть пирамиду ABSC.

2. Построения: Точка О: ВО=ОС, АО.

3. AO  SBC, АО – высота пирамиды.

4. SO – биссектриса BSC.

5. cos ASО (по теореме о трёх косинусах),

tg ASО.

6. SO. 7. АО. 8. Площадь BSC

9. Объём пирамиды. Ответ: