1.1. Кинематика 3

s=J vdt, (l.lr) 3

w =d(f/dt, ^ = dv>ldt. (1.1д) 3

20 t,c 5

12. Основное уравнение динамики 16

K = K*mv²_c/2, (1.3л) 41

if> = ~ymlr. (1-4в) 84

-С±) |h 183

4 183

1,0 218

tg,,^^. ₍з.З е) 421

v-ujfi, /-/„V5. 579

= JL 600

1,0 620

о о' о О' 625

С 650

a) ⁶F- б) ⁴0_1/2; в) ^$F₂; г) д) ³Р₀; 691

^гД^{е 1=л}по_СТ^+и.р ^{+ 2и}™л- 719

S = ktaCl, 729

с/с_м 745

4/./,Ш_а 27, А <о л 775

и = 0,1,2,... 801

= UjClL-(RC!L? = 1,0 А, /₁₌ Uv/CTI = 1,0 А. 3.171 tg<p = [»С(Л²+й>²/.^г) - «1]/Д. 804

® 812

от неподвижного наблюдателя Р на ^[₆р расстояние I (рис. 3.43). Найти частоту

Рис. 3.43

сигналов, принимаемых наблюдателем в момент:

а) когда источник окажется в точке О;

б) когда наблюдатель увидит его в точке О.

3.288. Узкий пучок элект­ронов проходит над поверх­ностью металлического зер­кала, на котором нанесена система штрихов с шагом d = 2,0 мкм. Электроны дви­жутся с релятивистской ско­ростью v перпендикулярно штрихам. При этом наблюда­ется видимое излучение: тра­ектория электронов имеет вид полоски, окраска которой меняется в зависимости от угла наблюдения 0 (рис. 3.44). Объяснить это явление. Найти длину волны наблюдаемого излучения при & = 45°.

289. Из-за движения Земли направление на звезду в плоскости эклиптики в течение года периодически меняется, и звезда совершает кажущиеся колебания в пределах угла а =41". Найти скорость Земли на орбите.

290. Рис. 3.44

     Найти угол полураствора конуса, в котором будут видны звезды, расположенные в полусфере для земного наблюдателя, если двигаться относительно Земли со скоростью, отличающейся от скорости света на q = 1,0 %.

(4.1 в)

(4.1 г) 203

Часть 4

ОПТИКА

4.1. Фотометрия и геометрическая оптика

• Кривая относительной спектральной чувствительности глаза К(Х) показана на рис. 4.1.

V

г

0,3

0,6

О,¹

0,2 О

1,0

А = 1,6 мВт/л м для A=0,555»/viL

t

s

• Связь между преломляющим углом в призмы и углом а наименьшего отклонения:

яп[(« +в)/2] =nsm(6/2),

где Л - показатель преломления вещества призмы.

• Формула сферического зеркала:

1/s' + l/s-2/Я, где R — радиус кривизны зеркала.

• Формулы центрированной оптической системы (рис. 4.2):

n'/s' - n/s ** Ф, f'/s' +f/s - 1, -f?.

® H

Рис. 4.2

• Соотношения между фокусными расстояниями и оптической силой:

/'=П'/Ф, /=-п/ Ф, f'lf=-n'ln. (4.13)

• Оптическая сила сферической преломляющей поверхности:

Ф = (л' -n)/R. (4.1 и)

• Оптическая сила тонкой линзы:

Ф-(я-л₀)(1/Л,-1/Л₂), (4.1 к)

где л и л₀ - показатели преломления вещества линзы и среды.

• 'Л 1

  I

  A"

  d //^

  y?

  0'

  '/ П//, Рис. 4.3

  (4.1 m) (4.1 н)

  Оптическая сила толстой линзы толщины d:

I Н'

t

Ф =Ф, + Ф_г - (<*/л)Ф, Ф₂. (4.1л)

Эта формула справедлива и для системы из двух тонких линз, между которыми находится среда с показателем прелом­ления л.

• Главные плоскости Я и Я' отстоят от вершин О и О' поверхностей толстой линзы (рис. 4.3) на расстояниях:

X=(d/n) Ф₂/Ф,, Х' = -(^/л)Ф,/Ф.

• (4.1 Д) (4.1 e) (4.1 ж)

  Увеличение оптического прибора:

r = tgitr7tgf.

-X

где f и ф — угловые размеры предмета при наблюдении через прибор и без него (в случае лупы и микроскопа угол t|r соответствует наблюдению на расстоянии наилучшего зрения Ц, = 25 см.).

4.1. Найти с помощью кривой относительной спектральной чувствительности глаза (см.рис. 4.1):

а) поток энергии, соответствующий световому потоку 1,0 лм и длиной волны 0,51 и 0,64 мкм;

б) световой поток, приходящийся на интервал длин волн от 0,58 до 0,63 мкм, если соответствующий поток энергии Ф_э = 4,5 мВт, причем последний распределен равномерно по всем длинам волн этого интервала. Считать, что в данном спектральном интервале функция V(X) линейная.

42. Точечный изотропный источник испускает световой поток Ф = 10 мл с длиной волны X =0,59 мкм. Найти амплитуд­ные значения напряженностей электрического и магнитного полей этого светового потока на расстоянии г = 1,0 м от источника. Воспользоваться рис. 4.1.

43. Найти световую энергию, которая падает на планету за период ее обращения вокруг Солнца (по вытянутому эллипсу), если световая мощность Солнца Р, площадь сечения планеты S и в момент, когда планета находится на минимальном расстоянии г₀ от Солнца, ее скорость равна v₀.

4. Определить среднюю освещенность облучаемой части непрозрачной сферы, если на нее падает:

а) параллельный световой поток, создающий в точке нормального падения освещенность Е₀;

б) свет от точечного изотропного источника, находящегося на расстоянии I = 100 см от центра сферы; радиус сферы Л = 60 см и сила света / = 36 кд.

4. Найти светимость поверхности, яркость которой зависит от направления как L = L₀ cosO, где & - угол между направле­нием излучения и нормалью к поверхности.

5. Некоторая светящаяся поверхность подчиняется закону Ламберта. Ее яркость равна L. Найти:

а) световой поток, излучаемый элементом Д S этой повер­хности внутрь конуса, ось которого нормальна к данному элементу, если угол полураствора конуса равен ft;

б) светимость такого источника.

4. Над центром круглого стола радиуса R = 1,0 м подвешен небольшой светильник в виде плоского горизонтального диска площади S = 100 см². Яркость светильника не зависит от

направления и равна L = 1,6 • 10⁴ кд/м². На какой высоте от поверхности стола надо поместить светильник, чтобы освещен­ность периферийных точек стола была максимальной? Какова будет эта освещенность?

4. На высоте h = 1,0 м над центром круглого стола радиуса R = 1,0 м подвешен точечный источник, сила света которого I так зависит от направления, что освещенность всех точек стола оказывается равномерной. Найти вид функции 1(b), где ft - угол между направлением излучения и вертикалью, а также световой поток, падающий на стол, если 1 (0) = /₀ = 100 кд.

5. Вертикальный луч проектора освещает центр потолка круглой комнаты радиуса R = 2,0 м. При этом на потолке образуется небольшой зайчик площадью S = 100 см². Освещен­ность зайчика Е = 1000 лк. Коэффициент отражения потолка р =0,80. Найти наибольшую освещенность стены, создаваемую светом, отраженным от потолка. Считать, что отражение происходит по закону Ламберта.

6. Равномерно светящийся купол, имеющий вид полусфе­ры, опирается на горизонтальную поверхность. Определить освещенность в центре этой поверхности, если яркость купола равна L и не зависит от направления.

7. Ламбертовский источник имеет вид бесконечной плоскости. Его яркость равна L. Найти освещенность площад­ки, расположенной параллельно данному источнику.

8. Над столом находится светильник - плоский горизон­тальный диск радиуса R= 25 см. Расстояние от него до повер­хности стола h = 75 см. Освещенность стола под центром светильника Е₀ = 70 лк. Найти светимость этого источника, считая его ламбертовским.

9. Небольшой светильник, имеющий вид равномерно светящейся сферы радиуса R = 6,0 см, находится на расстоянии

h = 3,0 м от пола. Яркость светильника L = 2,0 • 10⁴ кд/м² и не зависит от направления. Найти освещенность пола непосред­ственно под светильником.

4. Записать в векторном виде закон отражения светового луча от зеркала — через направляющие орты е и е' падающе­го и отраженного лучей и орт п внешней нормали к повер­хности зеркала.

5. Показать, что луч света, последовательно отразившийся от трех взаимно перпендикулярных плоских зеркал, изменит свое направление на прямо противоположное.

6. При каком значении угла падения ftj луч, отраженный от поверхности воды, будет перпендикулярен преломленному лучу?

7. Имеются две оптические среды с плоской границей раздела. Пусть ft_lnp — предельный угол падения луча, а — угол падения, при котором преломленный луч перпендикулярен отраженному (луч идет из оптически более плотной среды). Найти относительный показатель преломления этих сред, если sint_inplsmb₁=v\ = 1,28.

8. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину толщины d = 6,0 см. Угол падения ft = 60°. Найти смещение луча, прошедшего через эту пластину.

9. На краю бассейна стоит человек и наблюдает камень, лежащий на дне. Глубина бассейна А, На каком расстоянии от поверхности воды видно изображение камня, если луч зрения составляет с нормалью к поверхности воды угол ft?

10. Показать, что в призме с малым преломляющим углом 6 луч отклоняется на угол а »(л -1) 0 независимо от угла падения, если последний также мал.

11. Луч света проходит через призму с преломляющим углом 8 и показателем преломления п. Пусть а - угол отклонения луча. Показать, что при симметричном ходе луча через призму:

а) угол а минимален;

б) связь между углами а и 9 определяется формулой (4.1 д).

422. Для некоторой стеклянной призмы угол наименьшего отклонения луча равен преломляющему углу призмы. Найти последний.

423. Найти пределы, в которых может меняться угол отклонения луча при прохождении стеклянной призмы с преломляющим углом 0 = 60°

24. Трехгранная призма с преломляющим углом 60° дает угол наименьшего отклонения в воздухе 37°. Какой угол наименьшего отклонения даст эта призма в воде?

25. Луч света, содержащий две монохроматические составляющие, проходит через трехгранную призму с преломля­ющим углом 0 = 60". Определить угол Д а между обеими составляющими луча после призмы, если показатели преломле­ния для них равны 1,515 и 1,520 и призма ориентирована на угол наименьшего отклонения.

    426. Вывести с помощью принципа Ферма законы отраже­ния и преломления света на плоской границе раздела.

    427. Открытый сверху сосуд, на дне которого находится точечный монохроматический источник света, заполняют снизу водой так, что ее уровень поднимается со скоростью v — 9,0 мм/с. Найти относительный сдвиг частоты Д <о/м света, который наблюдают над поверхностью воды вдоль вертикали, проходящей через источник. Наблюдатель предполагается неподвижным.

4.28. Найти построением ход луча после отражения в вогнутом и выпуклом сферических зеркалах (рис. 4.4 и рис. 4.5, где F — фокус, ОО' — оптическая ось).

Рис. 4.4 Рис. 4.5

429. Найти построением положение зеркала и его фокуса для случаев, показанных на рис. 4.6 и 4.7, где Р и Р' - сопряженные точки.

•Р' »Р

Р'.

о о' о О'

•р

Рис. 4.6. Рис. 4.7

429. Определить фокусное расстояние вогнутого зеркала, если:

а) при расстоянии между предметом и изображением / = 15 см поперечное увеличение р = -2,0;

б) при одном положении предмета поперечное увеличение Pj = -0,50, а при другом положении, смещенном относительно первого на расстояние / = 5,0 см, поперечное увеличение Р₂ = -0,25.

429. Точечный источник, сила света которого /₀ = 100 кд, помещен на расстоянии s = 20,0 см от вершины вогнутого зеркала с фокусным расстоянием /=25,0 см. Определить силу света в отраженном пучке, если коэффициент отражения зеркала р =0,80.

430. 

     Вывести с помощью принципа Ферма формулу преломления параксиальных лучей на сферической поверхности радиуса R, разделяющей среды с показателями преломления и и и'.

431. Параллельный пу­чок света падает из вакуу­ма на поверхность, которая ограничивает область с показателем преломления и (рис. 4.8). Найти форму этой поверхности - урав­нение х(г), при которой пучок будет сфокусирован в точке F на расстоянии / от вершины О. Пучок какого максимального ра­диуса сечения может быть сфокусирован?

432. Луч света падает из воздуха на сферическую повер­хность стекла (на рис. 4.9 точками отмечены положения фокусов). Найти построением ход преломленного луча, считая лучи параксиальными.

433. Точечный источник распо­ложен на расстоянии 20 см от передней поверхности стеклянной симметричной двояковыпуклой линзы. Толщина линзы 5,0 см, радиус кривизны поверхностей 5,0 см. На каком расстоянии от задней поверхности линзы образуется изо­бражение источника?

434. Перед выпуклой поверх­ностью стеклянной выпукло-плоской линзы толщины d = 9,0 см находит­ся предмет. Его изображение обра­зуется на плоской поверхности

линзы, которая служит экраном. Определить:

а) поперечное увеличение, если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы jR=2,5cm;

б) освещенность изображения, если яркость предмета L = 7700 кд/м² и диаметр входного отверстия линзы D = 5,0 мм; потерями света пренебречь.

429. Определить оптическую силу и фокусные расстояния тонкой стеклянной линзы и жидкости с показателем преломле­ния я₀ = 1,7, если ее оптическая сила в воздухе Ф₀ =-5,0 дптр.

Рис. 4.8

429. Рис. 4.9

     /// '/'//'А

     Вычислить оптическую силу и фокусные расстояния тонкой симметричной двояковыпуклой стеклянной линзы, с