62. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений Д/>^1,10 атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом - идеальный газ при температуре ^ = 27° С и давлении р₁ = 1,00 атм. Затем оба баллона нагрели до температу­ры t₂ = 107 °С. Найти давление газа в баллоне, где был вакуум.

63. Часть 6

    Газ с молярной массой М находится под давлением р между двумя одинаковыми горизонтальными пластинами. Температура газа растет линейно от Т₁ у нижней пластины до Т_г у верхней. Объем газа между пластинами равен V. Найти его массу.

4. Сосуд объемом V=20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре г=20 °С и давлении р =2,0 атм. Масса смеси т=5,0 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.

5. В сосуде находится смесь »ij = 7,0r азота и т₂= 11 г углекислого газа при температуре Г=290 К и давлении р₀= 1,0 атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеаль­ными.

6. В баллоне объемом К=7,5 л при Г=300 К находится смесь идеальных газов: v_x=0,10 моль кислорода, v₂=0,20 моль азота и v₃=0,30 моль углекислого газа. Считая газы идеальными, найти:

а) давление смеси;

б) среднюю молярную массу М данной смеси, которая входит в уравнение ее состояния pV=(m/M)RT, где т - масса смеси.

4. В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится массивный поршень, по обе стороны которого - по одному молю воздуха. При Г=300 К отношение верхнего объема к нижнему л =4,0. При какой температуре это отноше­ние станет т^'=3,0? Трение не учитывать.

5. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом V. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем ДК. Через сколько циклов давление в сосуде уменьшит­ся в л раз? Процесс считать изотермическим, газ - идеаль­ным.

6. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки t. Объем сосуда V, первоначальное давление р₀. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной С.

Примечание. Скоростью откачки назы­вают объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

4. Камеру объемом V=%1 л откачивают насосом, скорость откачки которого (см. приме­чание к предыдущей задаче) С = 10 л/с. Через сколько времени давление в камере уменьшится в ц = 1000 раз?

5. Ро

   1

   /

   Ро

   Рис. 6.1

   В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе, имеющей два разных сечения (рис. 6.1), находятся два поршня,

6. соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями - один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на

Д5 = 10 см² больше, чем нижнего. Общая масса поршней »и=5,0кг. Давление наружного воздуха р₀ = 1,0 атм. На сколько кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на /=5,0 см?

4. Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:

a) p^Po-aV²; б) p=p₀e>^v, где р₀, а и р — положительные постоянные, V — объем моля газа.

4. Определить наименьшее возможное давление идеального

газа в процессе, происходящем по закону Т=Т₀ + аУ², где Т₀ и

а - положительные постоянные, V - объем моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах

Р, V.

4. Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температу­ры dTldh.

5. Допустим, давление р и плотность р воздуха связаны

соотношением р1р^л=const независимо от высоты (здесь п - по­стоянная). Найти соответствующий градиент температуры.

4. Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха - не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине 5,0 км.

5. Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре 0 °С отличаются:

а) в в раз; б) на л = 1,0%.

4. Идеальный газ с молярной массой М находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого S и высота А. Температура газа Г, его давление на нижнее основание р₀. Считая, что температура и

ускорение свободного падения g не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.

4. Идеальный газ с молярной массой М находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в

однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно g. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной Т, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.

620. Идеальный газ с молярной массой М находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Найти давление газа как функцию высоты h, если при Л = 0 давление р =р₀, а температура изменяется с высотой как

а) Т=Т₀(1 -ah); б) T*T₀(l+ah), где а - положительная постоянная.

620. Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью « вокруг вертикаль­ной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи р₀, температура Т, молярная масса воздуха М. Найти давление воздуха как функцию расстояния г от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от расстояния г.

621. Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при Г=300 К, чтобы его плотность оказалась равной р=500 г/л? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.

622. Один моль азота находится в объеме 7=1,00 л. Найти:

а) температуру азота, при которой погрешность в давлении, определяемом уравнением состояния идеального газа, составляет г1 = 10% (по сравнению с давлением ван-дер-ваальсовского газа);

б) давление газа при этой температуре.

620. Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом У=0,250 л. При Г, = 300 К давление газа р_х=90 атм, а при Г₂=350 К давление р₂=110 атм. Найти постоянные Ван-дер- Ваальса для этого газа.

62. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

(6.2 а)

• Первое начало термодинамики:

<? = Д1/+Л,

где AU - приращение внутренней энергии системы. • Работа, совершаемая газом:

(6.2 б)

• Внутренняя энергия идеального газа:

{/ = — С„Г= — -Ю- (6.2 в) М ^У Му-1 Y-1

• Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе (pV"= =const):

С = -* * ⁽ⁿ-4^)R . (6.2 г)

у-1 л-1 (п- 1)(Y-1)

• Внутренняя энергия моля ван-дер-ваальсовского газа:

U ■ C_rT-alV_M. (6.2 д)

625. Показать, что внутренняя энергия U воздуха в комнате не зависит от температуры, если наружное давление р постоян­но. Вычислить U, если р равно нормальному атмосферному

давлению и объем комнаты V=40 м³.

625. Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с вентилем. Известны объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них (Kj, pj, Т₁ и V₂, р₂, Т₂). Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия вентиля.

626. Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом К=5,0 л, охладили на А Г=55 К. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.

627. Какое количество тепла надо сообщить азоту при изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу А =2,0 Дж?

628. Найти молярную массу газа, если при нагревании m = 0,50 кг этого газа на ДГ=10 К изобарически требуется на Д(? = 1,48 кДж тепла больше, чем при изохорическом нагрева­нии.

629. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на ДГ=72 К, сообщив ему количество тепла Q = = 1,60 кДж. Найти приращение его внутренней энергии и величину у = C_p\C_v.

630. Два моля идеального газа при температуре Г₀=300 К охладили изохорически, вследствие чего его давление уменьши­лось в п =2,0 раза. Затем газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первона­чальной. Найти количество тепла, поглощенного газом в данном процессе.

631. Вычислить у для газовой смеси, состоящей из Vj =2,0 моль кислорода и v₂=3,0 моль углекислого газа. Газы считать идеальными.

632. Вычислить удельные теплоемкости c_v и с_р для газовой смеси, состоящей из 7,0 г азота и 20 г аргона. Газы идеальные.

633. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем находится один моль некоторого идеального газа при темпера­туре Т. Пространство над поршнем сообщается с атмосферой. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно подни­мая поршень, изотермически увеличить объем газа под ним в

и раз? Трения нет.

625. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом V₀, в которых находится идеальный газ одинаковой температу­ры и под одним и тем же давлением р₀. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно двигая поршень, изотермически увеличить объем одной части газа в т] раз по сравнению с объемом другой части?

626. Три моля идеального газа, находившегося при темпера­туре Г₀=273 К, изотермически расширили в п=5,0 раз и затем изохорически нагрели так, что его давление стало равным первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла <2 = 80 кДж. Найти у Д^ля этого газа.

627. Один моль кислорода, находившегося при температуре Т₀=290 К, адиабатически сжали так, что его давление возросло

в т] = 10,0 раз. Найти:

а) температуру газа после сжатия;

б) работу, которая была совершена над газом.

625. Некоторую массу азота сжали в л =5,0 раз (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.

626. Внутри закрытого теплоизолированного цилиндра с идеальным газом находится легкоподвижный теплопроводящий поршень. При равновесии поршень делит цилиндр на две равные части и температура газа равна Т₀. Поршень начали медленно перемещать. Найти температуру газа как функцию отношения т] объема большей части к объему меньшей части. Показатель адиабаты газа у.

6.40. В закрытом с обоих торцов горизонтальном цилиндре, заполненном идеальным газом с показателем адиабаты у, находится поршень массы т с площадью сечения S. В положении равновесия давление газа равно р₀ и поршень делит цилиндр на две одинаковые части, каждая объемом К₀. Найти частоту малых колебаний поршня около положения равновесия, считая процесс в газе адиабатическим и трение ничтожно малым.

41. Определить скорость v истечения гелия из теплоизоли­рованного сосуда в вакуум через малое отверстие. Считать, что при этом условии скорость потока газа в сосуде пренебрежимо мала. Температура гелия в сосуде Т= 1000 К.

42. Объем моля идеального газа с показателем адиабаты у изменяют по закону V=a!T, где а - постоянная. Найти количество тепла, полученное газом в этом процессе, если его температура испытала приращение AT.

43. Показать, что процесс, при котором работа идеального газа пропорциональна соответствующему приращению его

внутренней энергии, описывается уравнением р V^я = const, где л — постоянная.

41. Найти молярную теплоемкость идеального газа при

политропическом процессе р К"=const, если показатель адиабаты газа равен у. При каких значениях показателя политропы я теплоемкость газа будет отрицательной?

41. При некотором политропическом процессе объем аргона был увеличен в а = 4,0 раза. Давление при этом уменьшилось в р = 8,0 раз. Найти молярную теплоемкость аргона в этом процессе, считая газ идеальным.

42. Один моль аргона расширили по политропе с показате­лем л = 1,50. При этом температура газа испытала приращение Д Г= -26 К. Найти:

а) количество полученного газом тепла;

б) работу, совершенную газом.

41. Идеальный газ с показателем адиабаты у расширили по закону р= aV, где а — постоянная. Первоначальный объем газа V₀. В результате расширения объем увеличился в л раз. Найти:

а) приращение внутренней энергии газа;

б) работу, совершенную газом;

в) молярную теплоемкость газа в этом процессе.

41. Идеальный газ, показатель адиабаты которого у, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти:

а) молярную теплоемкость газа в этом процессе;

б) уравнение процесса в параметрах Т, V.

6.49. Один моль идеального газа с показателем адиабаты у

совершает процесс, при котором его давление р <го Г", ще а - постоянная. Найти:

а) работу, которую произведет газ, если его температура испытает приращение ДГ;

б) молярную теплоемкость газа в этом процессе; при каком значении а теплоемкость будет отрицательной?

50. Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает

процесс, при котором его внутренняя энергия U со V^a, где

а — постоянная. Найти:

а) работу, которую произведет газ, чтобы внутренняя энергия испытала приращение AU;

б) молярную теплоемкость газа в этом процессе.

50. Один моль идеального газа с известным значением С_у находится в левой половине цилиндра (рис. 6.2). й* Справа от поршня вакуум. В отсутствие газа поршень находится вплотную к

левому торцу цилиндра, и пружина в _{Рис 62}

этом положении не деформирована. Боковые стенки цилиндра и поршень

адиабатные. Трения нет. Газ нагревают через левый торец цилиндра. Найти теплоемкость газа в этих условиях.

50. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость С_у которого известна. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его объема V, если газ совершает процесс по закону:

а) Т=Т₀е^аУ; б) р =р₀е^аУ, где Г₀, р₀ и ос - постоянные.

50. Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном давлении С_р, совершает процесс по закону р=р₀ + a/V, где р₀ и а - постоянные. Найти:

а) теплоемкость газа как функцию его объема V;

б) сообщенное газу тепло при его расширении от V_x до V₂.

50. То же, что в предыдущей задаче, но газ совершает процесс по закону T=T₀ + aV.

51. Найти уравнение процесса (в переменных Т, V), при котором молярная теплоемкость идеального газа изменяется по закону:

а) С=С_у+аТ; б) C=C_V+ в) C=C_v+ap. Здесь а, р и а — постоянные.

50. процессе.

    Имеется идеальный газ с показателем адиабаты у. Его молярная теплоемкость при некотором процессе изменяется по закону С = а/Т, где а - постоянная. Найти:

а) работу, совершенную одним молем газа при его нагрева­нии от Т₀ до температуры в ri раз большей;

б) уравнение процесса в параметрах р, V.

50. Найти работу, совершаемую одним молем ван-дер- ваальсовского газа при изотермическом расширении его от объема Vj до V₂ при температуре Т.

51. Один моль кислорода расширили от объема Fj=l,00 л до V₂=5,0 л при постоянной температуре 7*=280 К. Вычислить количество поглощенного газом тепла. Газ считать ван-дер- ваальсовским.

52. Найти для моля ван-дер-ваальсовского газа уравнение адиабаты в переменных Т, V, если его теплоемкость при постоянном объеме равна С_у.

53. Определить для ван-дер-ваальсовского газа разность молярных теплоемкостей C_p-C_v.

54. Два теплоизолированных баллона соединены между собой трубкой с вентилем. В одном баллоне объемом V^IO л находится v=2,5 моль углекислого газа. Второй баллон объемом К₂= 100 л откачан до высокого вакуума. Вентиль открыли, и газ расширился. Считая газ ван-дер-ваальсовским, найти прираще­ние его температуры.

55. Какое количество тепла надо сообщить v= 3,0 моль углекислого газа, чтобы при расширении в вакуум от объема Kj=5,0 л до V₂=10 л температура его не изменилась? Газ считать ван-дер-ваальсовским.

56. ЩЬ 2а

    v_x-b~ v_x)

    71 - Г. = — ² '

    Получить эту формулу, применив первое начало термодинамики к молю газа, проходящему через перегородку. Процесс считать адиабатическим.

    6.64. Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, найти значения Т_х водорода с начальным молярным объемом Fj=0,160 л/моль, при которых эффект Джоуля-Томсона будет положительным (т.е. Г₂<Г,).

    Прохождение газа через пористую перегородку в теплоизолированной трубе сопровождается расширением и изменением температуры газа (эффект Джоуля-Томсона). Если до расширения газ считать ван-дер-ваальсовским, а после расширения - идеальным, то соответствующее приращение температуры газа

6.65. Найти с помощью формулы из задачи 6.63 приращение А Т температуры газа, если в начальном состоянии при Г,=300 К его молярный объем ^=0,100 л/моль, а затем в процессе Джоуля -Томсона газ сильно расширили. Расчет провести:

а) для водорода; б) для азота.

63. Молекулярно-кинетическая теория. Распределения Максвелла и Больцмана

• Число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки за единицу времени:

V = (1/4) «Ы, (6.3 а)

где и - концентрация молекул, iv) — их средняя скорость.

• Уравнение состояния идеального газа:

р = пкТ. (6.3 б)

• Средняя энергия молекул:

(е) = ikT/2, (6.3 в)

^гД^{е 1=л}по_СТ^+и.р ^{+ 2и}™л-

• Функции распределения Максвелла:

<P(«g = (m/2itikr)^V2exp(-Mu_;t/2Jkr), (6.3 г)

f(v)=(.ml2«kT)^il2exp(-mi?l2kT), (6.3 д)

F(v) =4n(w/2tt¹r)^3/Vexp(-mi>²/2jfcr). (б.Зе)

• Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул:

²-> <»>=м

!.*Г

я m '

m \

( hzb\ Г кт у

^N2 82 — = — ехр

(6.3 и)

где и jj - кратности вырождения соответствующих уровней.

Средняя энергия квантового гармонического осциллятора:

= М + . (6.3 к)

2 _t^k«^kT-1

66. Современные вакуумные насосы позволяют получать

давления до р= 4-10"¹⁰ Па (при комнатной температуре). Найти число молекул газа в 1 см и среднее расстояние между ними при этом давлении.

66. В сосуде объемом К=5,0 л находится азот массы m = 1,40 г при Г=1800 К. Найти давление газа, если при этой температуре т|=30% молекул диссоциировано на атомы.

67. Плотность смеси гелия и азота при нормальных условиях р=0,60 г/л. Найти концентрацию атомов гелия.

68. Найти число степеней свободы молекулы газа, если при

нормальных условиях плотность газа р = 1,3 мг/см³ и скорость распространения звука в нем v=330 м/с.

66. Определить отношение скорости звука в газе к средней квадратичной скорости молекул газа, если молекулы:

а) одноатомные; б) жесткие двухатомные.

66. Найти приращение внутренней энергии 16 г водорода при увеличении его температуры от 70 до 300 К. Иметь в виду, что при этом происходит "размораживание" вращательных степеней свободы.

67. Пусть идеальный газ нагрет до температуры, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступа­тельные, вращательные и колебательные). Найти молярную теплоемкость такого газа при изохорическом процессе, а также показатель адиабаты у, если газ состоит из ^-атомных молекул:

а) линейных; б) нелинейных.

66. Идеальный газ из /V-атомных молекул расширяют изобарически. Считая, что у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные), найти, какая доля теплоты, сообщаемая газу в этом процессе, расходуется на работу расширения.

67. Найти число атомов в молекуле газа, у которого при "замораживании" колебательных степеней свободы постоянная Y увеличивается в л = 1,20 раза.

68. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул идеального газа, если известны его удельные теплоем­кости: с_к=0,65 Дж/(г К) и с_р=0,91 ДжДг-К).

69. Найти число степеней свободы молекул идеального газа, молярная теплоемкость которого

а) при постоянном давлении С_р=29 Дж/(моль-К);

б) в процессе рГ=const равна С=29 Дж/(моль-К).

66. Вычислить показатель адиабаты у для смеси, состоя­щей из Vj молей одноатомного газа и v₂ молей двухатомного газа из жестких молекул.

67. Молекулы идеального газа, у которого у = 1,40 и дав­ление /> = 100 кПа, имеют среднюю энергию (е)=2,5 • Ю^-20 Дж. Найти число молекул в единице объема.

68. Сосуд с газом из жестких двухатомных молекул движется со скоростью и=20 м/с. Молярная масса газа М=32 г/моль. Найти приращение температуры газа после внезапной остановки сосуда.

69. Вычислить при температуре f=17°C:

а) среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы 0₂;

б) среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметра d=0,10 мкм, взвешенной в воздухе.

66. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в л = 1,50 раза?

67. Азот массы /и = 15 г находится в закрытом сосуде при Г=300 К. Какое количество теплоты необходимо сообщить азоту, чтобы средняя квадратичная скорость его молекул возросла в л =2,0 раза?

68. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при Г=300 К. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость вращения молекулы, если ее момент инерции

7=2,1 Ю-³⁹ г см².

66. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся

при нормальных условиях, адиабатически сжали в т|=5,0 раз по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательно­го движения молекулы в конечном состоянии.

66. Во сколько раз изменится число ударов жестких двухатомных молекул газа о поверхность стенки в единицу времени, если газ адиабатически расширить в л раз?

67. Объем газа, состоящего из жестких двухатомных молекул, увеличили в tj =2,0 раза по политропе с молярной теплоемкостью C=R. Во сколько раз изменилась при этом частота ударов молекул о стенку сосуда?

68. Газ из жестких двухатомных молекул расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.

69. Найти для газообразного азота при 7"=300 К отношение числа молекул с компонентами скорости вдоль оси х в интервале 300 ±0,31 м/с к числу молекул с компонентами скорости вдоль той же оси в интервале 500 ±0,51 м/с.

70. Найти вероятность того, что при Т=300 К молекулы азота имеют компоненты скорости вдоль осей х, у, г соответ­ственно в интервале 300 ± 0,30, 400 ±0,40 и 500 ±0,50 м/с.

71. Определить относительное число молекул, компоненты скорости которых вдоль оси jk находятся в интервале (v_x, v_x+ +bv_x), а модули перпендикулярной составляющей скорости - в интервале v_±+bvj. Масса каждой молекулы т, темпера­тура газа Т.

72. Газ, состоящий из молекул массы т, находится при температуре Т. Найти относительное число молекул, у которых модули составляющих скорости, перпендикулярных некоторому направлению, лежат в интервале (и_х, v^bvj.

73. Получить с помощью (6.3е) функцию распределения Максвелла в "приведенном" виде F(u), где u = vjv_mр, v - наи­более вероятная скорость.

74. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул газа, у которого при нормаль­ном атмосферном давлении плотность р = 1,00 г/л.

75. Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на 6^ = 1,00% от:

а) наиболее вероятной скорости;

б) средней квадратичной скорости.

66. Определить температуру газа, для которой:

а) средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Д и=400 м/с;

б) функция распределения молекул кислорода по скоростям F(v) будет иметь максимум при скорости и=420 м/с.

66. Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул 1^=300 м/с и v₂=600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения F(v).

67. При изменении температуры идеального газа максимум функции распределения F(v) уменьшился в л раз. Как и во сколько раз изменилась температура Т газа?

68. Определить скорость v молекул азота, при которой значение функции F(v) для температуры Т₀ будет таким же, как и для температуры, в q раз большей.

69. При какой температуре газа, состоящего из смеси азота и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут отличаться друг от друга на Ли =30 м/с.

70. Смесь водорода и гелия находится при Т=300 К. При какой скорости v молекул значения функции F(v) будут одинаковыми для обоих газов?

71. Идеальный газ состоит из молекул, масса каждой из которых равна м. При какой температуре этого газа число молекул со скоростями в заданном малом интервале (и, и+би) будет максимально? Найти наиболее вероятную скорость молекул, соответствующую такой температуре.

72. Найти среднюю проекцию скорости (v_x) и если масса каждой молекулы m и температура газа Т.

73. Определить (v²_x) - среднее значение квадрата проек­ции v_x скорости молекул газа при температуре Т. Масса каждой молекулы равна те.

74. Вычислить с помощью функции <p(u_x) число v молекул газа, падающих в единицу времени на единичную площадку, если концентрация молекул я, температура газа Т и масса каждой молекулы те.

75. Определить с помощью функции ф(ь»_х) давление газа на стенку, если температура газа Т и концентрация молекул л.

76. Найти {1/v) — среднее значение обратной скорости молекул идеального газа при температуре Т, если масса каждой молекулы равна т. Сравнить полученную величину с обратной величиной средней скорости.

77. Идеальный газ, состоящий из молекул массы те с концентрацией л, имеет температуру Т. Найти с помощью распределения Максвелла число молекул, падающих ежесекун­дно на единицу поверхности стенки под углами (&, ft+dft) к ее нормали.

78. Исходя из условий предыдущей задачи, найти число молекул, падающих ежесекундно на единицу поверхности стенки со скоростями в интервале (v, v+dv).

79. Газ состоит из молекул массы те и находится при температуре Т. Найти с помощью функции F(v):

а) функцию распределения молекул по кинетическим энергиям f(K); изобразить примерный график f(K);

б) наиболее вероятную кинетическую энергию К_шр; соответ­ствует ли К_пр наиболее вероятной скорости?

66. Какая часть одноатомных молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, имеет кинетическую энергию, отличающуюся от ее среднего значения не более чем на 6т1 = 1,0%?

67. Распределение молекул по скоростям в пучке, выходя­щем из небольшого отверстия в сосуде, описывается функцией

&'(v)=Av³exp(-mv¹/2kT), где Т - температура газа внутри сосуда. Найти наиболее вероятные значения:

а) скорости молекул в пучке; сравнить полученную величину с наиболее вероятной скоростью молекул в сосуде;

б) кинетической энергии молекул в пучке.

66. Газ из молекул водорода находится при температуре Г. Найти:

а) функцию распределения молекул по дебройлевским длинам волн; изобразить примерный график этой функции;

б) наиболее вероятную дебройлевскую длину волны при Г=300 К.

66. Газ состоит из атомов массы ш, находящихся в термодинамическом равновесии при температуре Т. Пусть v₀ - собственная частота излучаемого атомами света.

а) Показать, что спектральное распределение излучаемого света определяется формулой /_v=/₀exp[-a(l -v/v₀)²], где /₀ - спектральная интенсивность, соответствующая частоте v₀, a=mc²/2kT.

б) Найти относительную ширину A v/v₀ данной спектральной линии, т.е. ширину линии на половине ее "высоты".

66. Длина волны резонансной линии ртути А=253,65 нм. Среднее время жизни атомов ртути в состоянии резонансного возбуждения т=0,15 мкс. Оценить отношение доплеровского уширения этой линии к ее естественной ширине при Г=300 К.

67. Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля, если концентрации этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на ДА = 30 мм (вдоль поля), различаются в т| =2,0 раза. Температура системы Г=280 К.

68. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в тонких слоях, расстояние между которыми А =42 мкм, отличается друг от друга в г] =2,0 раза. Температура среды Г=290 К. Диаметр

частиц d=0,40 мкм, и их плотность на Др=0,20 г/см³ больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным постоянную Больцмана.

66. Пусть т|₀ - отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности

Земли, ал — то же отношение на высоте А = 3000 м. Найти отношение л/Ло ^ПР^И Т=2&0 К, полагая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от высоты.

66. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами т₁ и т₂, причем т₂>т₁. Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно л, и л^ причем я^л,. Считая, что по всей высоте поддерживается одна и та же температура Т и ускоре­ние свободного падения равно g, найти высоту А, на которой концентрации этих сортов молекул одинаковы.

67. В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится углекислый газ при некоторой температуре Т. Считая поле тяжести однородным, найти, как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в л раз.

68. Азот находится в очень высоком сосуде в однородном поле тяжести при температуре Г. Температуру увеличили в л раз. На какой высоте А концентрация молекул осталась прежней?

69. Газ находится в очень высоком цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считая поле тяжести однородным, найти среднее значение потенциальной энергии молекул газа. Как зависит эта величина от того, состоит ли газ из одного сорта молекул или из нескольких сортов?

70. Закрытую с торцов горизонтальную трубку длины / = 100 см перемещают с ускорением а, направленным вдоль ее оси. Внутри трубки находится аргон при 2'=330 К. При каком значении а концентрации аргона вблизи торцов трубки будут отличаться друг от друга на x] = l,0%t

71. Найти массу моля коллоидных частиц, если при вращении центрифуги с угловой скоростью о> вокруг вертикаль­ной оси концентрация этих частиц на расстоянии г₂ от оси вращения в л раз больше, чем на расстоянии г_х (в одной горизонтальной плоскости). Плотности частиц и растворителя равны соответственно р и р₀.

72. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с угловой скоростью ы вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее торцов. В трубке находится углекислый газ при Г=300 К. Длина трубки /=100 см. Найти о), при котором отношение концентраций молекул у противопо­ложных торцов трубки л =2,0.

73. Потенциальная энергия молекул газа зависит от расстояния т до центра поля как U(r) =аг^г, где а - положи­тельная постоянная. Температура газа Г, концентрация молекул в центре поля и₀. Найти:

а) число молекул в слое (r,r+dr);

б) наиболее вероятное расстояние молекул г_мр;

в) относительное число всех молекул в слое (r,r+dr);

г) во сколько раз изменится концентрация молекул в центре поля при уменьшении температуры в г] раз.

66. Исходя из условий предыдущей задачи, найти:

а) число молекул с потенциальной энергией (U,U+dU);

б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии.

66. Идеальный газ из молекул массы m находится в центральном поле, где потенциальная энергия молекул равна U(r), г - расстояние от центра поля. Температура газа Т, концентрация молекул в центре поля в₀. Найти число молекул в сферическом слое (г,г + бг) со скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более чем на 5л-часть (5tj«1).

67. Какая относительная часть атомов водорода находится в состоянии с главным квантовым числом и =2 при Г=3000 К?

68. Определить отношение числа атомов газообразного натрия в состоянии ЗР к числу атомов в основном состоянии 35 при Г=2400 К. Переходу 3P-3S соответствует спектральная линия с Я=589 нм.

69. Система состоит из N частиц, которые могут находить­ся только в двух состояниях 1 и 2 с энергиями Е_х и Е_г, причем Е₂>Е₁. Найти зависимость от температуры Т системы числа частиц в состоянии 2 и средней энергии частиц. Изобразить примерный вид графиков этих зависимостей.

70. Система состоит из N атомов, которые могут нахо­диться в двух невырожденных состояниях с разностью энергий АЕ. Найти вклад этих состояний в теплоемкость данной системы как функцию температуры: С_у(Т). Упростить получен­ное выражение для случаев кТ«АЕ и кТ»АЕ.

71. Атомарный литий с концентрацией и=3,6-10¹⁶ см"³ находится при Г=1500 К. При этом мощность излучения резонансной линии А=671 нм (2P-2S) в расчете на единицу

объема газа i»=0,30 Вт/см³. Найти среднее время жизни атомов лития в состоянии резонансного возбуждения.

66. Найти отношение чисел молекул водорода на первых возбужденных колебательном и вращательном уровнях при

Г=880 К. Иметь в виду, что кратность вырождения вращатель­ных уровней равна 2J+1.

66. Имея в виду, что кратность вырождения вращательных уровней g=2J+l, найти вращательное квантовое число J_m наиболее заселенного вращательного уровня молекулы 0₂ при Т=300 К. Изобразить примерный график зависимости заселен­ности вращательных уровней Nj/N₀ от J при этой температуре.

67. Вывести формулу (6.3к), используя распределение Больцмана. Получить с помощью нее выражение для молярной колебательной теплоемкости С_Икол двухатомного газа. Вычис­лить С_Ухоя для газа, состоящего из молекул С^, при температу­ре 300 К.

68. Найти отношение интенсивностей фиолетового и красного спутников, ближайших к несмещенной линии в колебательном спектре комбинационного рассеяния света на молекулах С^ при температуре 300 К. Во сколько раз изменит­ся это отношение при увеличении температуры вдвое?

6.4. Второе начало термодинамики. Энтропия

(6.4 а)

(6.4 б)

• КПД тепловой машины:

п=л/<?, = 1-<?У<?,.

где С, — тепло, получаемое рабочим телом, Q'_t - отдаваемое тепло. • КПД цикла Карно:

Л = (Г,-Г₂)/Г„

(6.4 г)

(6.4 д)

(6.4 е)

где 7", и Т_г — температуры нагревателя и холодильника. • Неравенство Клаузиуса:

(6.4 в)

где bQ — элементарное тепло, полученное системой. • Приращение энтропии системы:

A S»J»Q/T.

Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов: TdS =dU + pdV.

• Свободная энергия:

F =U - TS, А_т = -AF.

• Связь между энтропией и статистическим весом Q:

S = ktaCl,

66. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура Г нагревателя в п = 1,60 раза больше температуры холодильника. За один цикл машина производит работу А = 12,0 кДж. Какая работа за цикл затрачивается на изотерми­ческое сжатие рабочего вещества?

67. Моль идеального газа из жестких двухатомных молекул совершает цикл Карно. Температура нагревателя Г,=400 К. Найти КПД цикла, если при адиабатическом сжатии

газа затрачивается работа А'=2,0 кДж.

66. В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на А Т или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?

67. Водород совершает цикл Карно. Найти КПД цикла, если при адиабатическом расширении:

а) объем газа увеличивается в и =2,0 раза;

б) давление уменьшается в и =2,0 раза.

66. Холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, должна поддерживать в своей камере температуру -10 °С при температуре окружающей среды 20 °С. Какую работу надо совершить над рабочим веществом машины, чтобы отвести от ее камеры Q₂=140 кДж теплоты?

67. Тепловую машину, работавшую по циклу Карно с КПД Л = 10%, используют при тех же тепловых резервуарах как холодильную машину. Найти ее холодильный коэффициент е.

68. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из чередующихся изотерм и адиабат (рис. 6.3). Температуры, при которых происходят изотермические процессы, равны Г,, Т₂ и

Т₃. Найти КПД такого цикла, если при каждом изотермическом расширении объем газа увеличивается в одно и то же число раз.

66. Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в и = 10 раз. Рабочим веще­ством является азот.

67. Найти КПД цикла, состоящего Р_ИС. б.з ^из Д^ВУ^Х изобар и двух адиабат, если в

(6.4 ж)

пределах цикла давление изменяется в

я раз. Рабочее вещество — идеальный газ с показателем адиабаты у.

66. Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти КПД такого цикла, если темперагура Т газа возрастает в л раз как при изохорическом нагреве, так и при изобарическом расшире­нии.

67. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из:

а) изохоры, адиабаты и изотермы;

б) изобары, адиабаты и изотермы,

причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Найти КПД каждою цикла, если температу­ра Г в его пределах изменяется в я раз,

66. То же, что в предыдущей задаче, только изотермичес­кий процесс происходит при миксимсиъной температуре цикла.

67. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермы, политропы и адиабаты, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла. Найти КПД такого цикла, если температура Т в его пределах изменяется в п раз.

68. Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает прямой цикл, состоящий из адиабаты, изобары и изохоры. Найти КПД цикла, если при адиабатическом процессе объем идеального газа:

а) увеличивается в л раз; б) уменьшается в я раз.

66. Воспользовавшись неравенством Клаузиуса, показать, что КПД всех циклов, у которых одинаковы максимальная температура 7'_нажс и минимальная 7_ь;ин. меньше, чем у цикла Карио при Т_иш и Т_шм

67. Какую максимальную работу может произвести тепловая машина, если в качестве нагревателя используется кусок железа массы от = 100 кг с начальной температурой Т₁₀= 1500 К, а в качестве холодильника - вода океана с температурой Г₂=285 К?

68. Найти (в расчете на моль) приращение энтропии углекислого газа при увеличении сто температуры Г в л = =2,0 раза, если процесс нагревания:

а) изохорический; б) изобарический. Газ считать идеальным.

66. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем идеального газа в количестве v= 4,0 моль, чтобы его энтропия испытала приращение AS=23 Дж/К?

155. Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем изобарически расширили так, что температу­ра газа стала равной первоначальной. Найти приращение энтропии газа, если его давление в данном процессе измени­лось в л=3,3 раза.

156. Гелий массы то = 1,7 г адиабатически расширили в л=3,0 раза и затем изобарически сжали до первоначального объема. Найти приращение энтропии газа.

157. Найти приращение энтропии двух молей идеального газа с показателем адиабаты у = 1,30, если в результате некото­рого процесса объем газа увеличился в «=2,0 раза, а давление уменьшилось в Р=3,0 раза.

158. В сосудах 1 и 2 находится по v = 1,2 моль газообразного гелия. Отношение объемов сосудов V₂/V_l=a=2,0, а отношение температур гелия в них T,JT₂= р = 1,5. Считая газ идеальным, найти разность энтропий гелия в этих сосудах (S₂-Sj).

159. Один моль идеального газа с показателем адиабаты у совершает политропический процесс, в результате которого температура Т газа увеличивается в т раз. Показатель политро­пы л. Найти приращение энтропии газа в данном процессе.

160. Процесс расширения двух молей аргона происходит так, что давление газа увеличивается прямо пропорционально его объему. Найти приращение энтропии газа при увеличении его объема в а=2,0 раза.

161. В результате политропического процесса сжатия идеального газа его объем уменьшился в v раз, а работа, совершенная над газом, A' = 2AU, где Д U - приращение его внутренней энергии. Найти приращение энтропии газа в этом процессе.

162. Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает процесс по закону p=p₀-aV, где р₀ и а - положительные

постоянные, V — объем. При каком значении объема энтропия газа окажется максимальной?

155. Один моль идеального газа совершает процесс, при котором энтропия газа изменяется с температурой Т по закону 8=аТ+С_у]пТ, где а — положительная постоянная, С_у - мо­лярная теплоемкость данного газа при постоянном объеме. Найти, как зависит температура газа от его объема в этом процессе, если Т=Т₀ при V=V₀.

156. Найти приращение энтропии одного моля ван-дер- ваальсовского газа при изотермическом изменении его объема от V_x до У₂.

157. Один моль ван-дер-ваальсовского газа, имевший объем Kj и температуру Г,, переведен в состояние с объемом V₂ и температурой Т_г. Найти приращение энтропии газа, считая его молярную теплоемкость С_у известной.

158. Один моль ван-дер-ваальсовского газа совершает политропический процесс T(V-b) = const, где b - постоянная Ван-дер-Ваальса. Считая теплоемкость С_у известной и не зависящей от температуры, найти:

а) теплоемкость газа в этом процессе;

б) приращение энтропии газа, если его температура изменилась от T_t до Т₂.

155. При очень низких температурах теплоемкость кристал­лов С=аТ³, где а - постоянная. Найти энтропию кристалла как функцию температуры в этой области.

156. Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массы m=3,0 кг при нагревании его от Г,=300 К до Г₂=600 К, если в этом интервале температур теплоемкость алюминия

с=а+ЬТ, где а=0,77 Дж/(г-К), 6=0,46 мДж/(г-К²).

155. В некотором процессе температура вещества зависит

от его энтропии S по закону TcvS", где я - постоянная. Найти теплоемкость С вещества как функцию S.

155. Найти температуру Т как функцию энтропии S вещества для политропического процесса, при котором теплоем­кость вещества равна С. Известно, что при температуре Т₀ энтропия равна S₀.

156. Один моль идеального газа с известным значением теплоемкости С_у совершает процесс, при котором его энтропия S зависит от температуры Т как S = a/T, где а - постоянная. Температура газа изменилась от Т_% до Т₂. Найти:

а} молярную теплоемкость газа как функцию Г;

б) количество теплоты, сообщенной газу;

в) работу, которую совершил газ.

155. Рабочее вещество со­вершает цикл, в пределах кото­рого температура Т изменяется в и раз, а сам цикл имеет вид, показанный:

а) на рис. 6.4 а; б) на рис. 6.46, где S — энтропия. Найти КПД цикла. S

155. Г

     

     

     Идеальный газ в коли- ^а честве v =2,2 моль находится в Рис. 6.4

одном из двух теплоизолированных сосудов, соединенных между собой трубкой с вентилем. В другом сосуде — вакуум. Вентиль открыли, и газ заполнил оба сосуда, увеличив свой объем в п =3,0 раза. Найти приращение энтропии газа.

155. Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем адиабаты у, а по другую сторону - вакуум. Начальная температура газа Т₀. Поршень отпустили, и газ заполнил весь цилиндр. Затем поршень медленно переместили в начальное положение. Найти приращение внутренней энергии и энтропии газа в результате обоих процессов.

156. Идеальный газ, находившийся в некотором состоянии, адиабатически расширили до объема V. Одинаково ли будет установившееся давление газа в конечном состоянии, если процесс:

а) обратимый; б) необратимый?

155. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две части так, что объем одной из них в и =2,0 раза больше объема другой. В меньшей части находится Vj=0,30 моль азота, а в большей части v,=0,70 мот кислорода. Температура газов одинакова. В перегородке открыли отверстие, и газы перемеша­лись. Найти приращение энтропии системы, считая газы идеальными.

156. Кусок меди массы /л, = 300 г при f,=97°C поместили в калориметр, где находится вода массы т₂= 100 г при t₂=l°C. Найти приращение энтропии системы к моменту выравнивания температур. Теплоемкость калориметра пренебрежимо мала.

157. Два одинаковых теплоизолированных сосуда, соединен­ные трубкой с вентилем, содержат по одному молю одного и того же идеального газа. Температура газа в одном сосуде 7",, в другом Т₂. Молярная теплоемкость газа С_у известна. После открывания вентиля газ пришел в новое состояние равновесия. Найти AS - приращение энтропии газа. Показать, что Д5>0.

158. Один моль ван-дер-ваальсовского газа расширили изотермически при температуре Т от объема до V₂. Найти приращение свободной энергии газа.

159. Найти энтропию одного моля азота при температуре Т=300 К, если при обратимом адиабатическом сжатии его в г]=5,0 раз приращение свободной энергии AF=-48,5 кДж. Газ считать идеальным.

160. Зная зависимость свободной энергии от температуры и объема F(T,V), показать, что давление p = -(dF/dV)_T и энтропия S = - (dF/d Т)_у.

161. Идеальный газ находится при нормальных условиях. Найти его объем V, в котором средняя квадратичная флуктуа­ция числа молекул составляет ri = l,0-10"⁸ среднего числа молекул в этом объеме.

162. N атомов гелия находятся при комнатной температуре в кубическом сосуде объемом 1,0 см . Найти:

а) вероятность того, что все атомы соберутся в одной половине сосуда;

б) примерное числовое значение N, при котором это

событие можно ожидать на протяжении f = 10¹⁰ лет (возраст Вселенной).

155. Найти статистический вес наиболее вероятного распределения W=10 одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда. Определить вероятность такого распределе­ния.

156. N молекул идеального газа находятся в некотором сосуде. Разделим мысленно сосуд на две одинаковые половины А и В. Найти вероятность того, что в половине А сосуда окажется и молекул. Рассмотреть случаи, когда N=5 и п = =0,1,2,3,4,5.

157. В сосуде объемом V₀ находится N молекул идеального газа. Найти вероятность того, что в некоторой выделенной части этого сосуда, имеющей объем V, окажется л молекул. Рассмотреть, в частности, случай V=V₀/2.

158. Идеальный газ находится при нормальных условиях. Найти диаметр сферы, в объеме которой относительная

флуктуация числа молекул q = l,0-10"³. Каково среднее число молекул внутри такой сферы?

155. Макросистема, энтропия которой равна 10 Дж/К, состоит из трех частей. Энтропия одной из них 6 Дж/К. Найти статистический вес {2 каждой из двух оставшихся, если их макросостояния одинаковы.

156. Какое количество тепла необходимо сообщить макро­скопической системе, чтобы изотермически при Г=350 К

увеличить ее статистический вес в ri = l,0-10^? раз?

155. Один моль идеального газа, состоящего из одноатом­ных молекул, находится в сосуде при Г₀=300 К. Как и во сколько раз изменится статистический вес этой системы (газа), если ее нагреть изохорически на ДГ=1,0 К?

6.5. Явления переноса

• Относительное число молекул газа, пролетающих путь s без столкнове­ний:

NIN₀ = exp(-slX), (65 а)

где X — средняя длина свободного пробега.

• Средняя длина свободного пробега молекулы газа:

X = * , (6.5 б)

у5*<г²п

где d — эффективный диаметр молекулы, п - концентрация молекул.

• Коэффициент диффузии D, вязкость г) и теплопроводность * газов:

d-j а(|/>, х = |А(«/>рс_к, (6.5 в)

где р - плотность газа, с_у — его удельная теплоемкость при постоянном объеме.

• Сила трения, действующая на единицу поверхности пластин при их движении параллельно друг другу в ультраразреженном газе:

5ЛЫр|_И1-«₂|, (6.5 г)

о

где и, и «j — скорости пластин.

• Плотность потока тепла, переносимого ультраразреженным газом между двумя стенками:

«-|(i»>pe_r|r_t-r,|, (6.5 д)

где Г, и Г₂ - температуры стенок.

155. Вычислить, какая часть молекул газа:

а) пролетает без столкновений расстояния, превышающие среднюю длину свободного пробега Я;

б) имеет длины свободного пробега в интервале от X до 2Х.

155. Узкий пучок молекул входит в сосуд с газом, давление которого достаточно низкое. Найти среднюю длину свободного пробега молекул пучка, если поток молекул в пучке убывает в Л раз на расстоянии ДI вдоль пучка.

156. Пусть adt — вероятность того, что молекула газа испытает столкновение в течение времени dt, а - постоянная. Найти:

а) вероятность того, что молекула не испытает столкновения

в течение времени t;

б) среднее время между столкновениями.

155. Найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между столкновениями молекул азота:

а) при нормальных условиях;

б) при f=0°C и давлении /> = 1,0 нПа (такое давление позволяют получать современные вакуумные насосы).

155. Во сколько раз средняя длина свободного пробега молекул азота, находящегося при нормальных условиях, больше среднего расстояния между его молекулами?

156. Найти при нормальных условиях среднюю длину свободного пробега молекулы газа, для которого постоянная

Ван-дер-Ваальса />=40 см³/моль.

155. Азот находится при нормальных условиях. При какой частоте колебаний длина звуковой волны в нем будет равна средней длине свободного пробега молекул данного газа?

156. Кислород находится при О °С в сосуде с характерным размером /=10 мм (это линейный размер, определяющий характер интересующего нас процесса). Найти:

а) давление газа, ниже которого средняя длина свободного пробега молекул к>1;

б) соответствующую концентрацию молекул и среднее расстояние между ними.

155. Азот находится при нормальных условиях. Найти:

а) число столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за одну секунду;

б) число всех столкновений между молекулами в 1 см³ азота ежесекундно.

155. Как зависят средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы в единицу времени от темпера­туры Т идеального газа в следующих процессах:

а) изохорическом; б) изобарическом?

155. Идеальный газ совершил процесс, в результате которого его давление возросло в п раз. Как и во сколько раз изменились средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы в единицу времени, если процесс:

а) изохорический; б) изотермический?

155. Идеальный газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, совершает адиабатический процесс. Как зависят средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно в этом процессе от:

а) объема V; б) давления р; в) температуры Г?

6203. Идеальный газ совершает политропический процесс с показателем политропы п. Найти среднюю длину свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно как функцию:

а) объема V; б) давления р; в) температуры Т.

6203. Определить молярную теплоемкость идеального газа из жестких двухатомных молекул, совершающего политропический процесс, при котором число столкновений между молекулами в единицу времени остается неизменным:

а) в единице объема; б) во всем объеме газа.

6203. Идеальный газ с молярной массой М находится в тонкостенном сосуде объемом V, стенки которого поддержива­ются при постоянной температуре Г. В момент t=0 в стенке сосуда открыли малое отверстие площадью S, и газ начал вытекать в вакуум. Найти концентрацию я газа как функцию времени t, если в начальный момент л(0)=л₀.

6204. Сосуд с газом разделен на две одинаковые половины 1 и 2 тонкой теплоизолирующей перегородкой с двумя отвер­стиями. Диаметр одного из них мал, а другого очень велик (оба - по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул). В половине 2 газ поддерживается при температуре в Л раз большей, чем в половине 1. Как и во сколько раз изменится концентрация молекул в половине 2, если закрыть только большое отверстие?

6205. В результате некоторого процесса вязкость идеального газа увеличилась в а =2,0 раза, а коэффициент диффузии - в р=4,0 раза. Как и во сколько раз изменилось давление газа?

6206. Как изменятся коэффициент диффузии D и вязкость Л идеального газа, если его объем увеличить в л раз:

а) изотермически; б) изобарически?

6203. Идеальный газ состоит из жестких двухатомных молекул. Как и во сколько раз изменятся коэффициент диффузии D и вязкость т|, если объем газа адиабатически уменьшить в л = 10 раз?

6204. Найти показатель политропы л процесса, совершаемо­го идеальным газом, при котором неизменны:

а) коэффициент диффузии; б) вязкость; в) теплопроводность.

6203. Зная вязкость гелия при нормальных условиях, вычислить эффективный диаметр его атома.

6204. Теплопроводность гелия в 8,7 раза больше, чем у аргона (при нормальных условиях). Найти отношение эффек­тивных диаметров атомов аргона и гелия.

6205. Гелий при нормальных условиях заполняет простран­ство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами.

Средний радиус цилиндров R, зазор между ними AR, причем AR«R. Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с небольшой угловой скоростью Найти момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра. До какого значения надо уменьшить давление гелия (не меняя температуры), чтобы искомый момент уменьшился в п = 10 раз,

если ДЯ = б мм?

6.214. Газ заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых равны Ji] и причем Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний

вращают с малой угловой скоростью о>. Момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра, равен N_t. Найти вязкость газа, имея в виду, что сила трения, действующая на единицу площади цилиндрической поверхности радиуса г, определяется формулой о = цг(дь>1дг).

6215. Два одинаковых параллельных диска, оси которых совпадают, расположены на расстоянии h друг от друга. Радиус каждого диска равен а, причем a»h. Один диск вращают с небольшой угловой скоростью ы, другой диск неподвижен. Найти момент сил трения, действующий на неподвижный диск, если вязкость газа между дисками равна г|.

216. Решить предыдущую задачу, считая, что между дисками находится ультраразреженный газ с молярной массой М, температурой Г и под давлением р.

217. Воспользовавшись формулой Пуазейля (1.7г), опреде­лить массу pi газа, протекающего в единицу времени через поперечное сечение трубы длиной / и радиусом а, на концах которой поддерживаются постоянные давления р_х и р_г. Вязкость газа равна ц.

218. Один конец стержня, заключенного в теплоизолирую­щую оболочку, поддерживается при температуре Г,, а другой конец - при температуре Т₂. Сам стержень состоит из двух частей, длины которых и 1₂ и теплопроводности и х₂. Найти температуру поверхности соприкосновения этих частей стержня.

219. Сложены торцами два стержня, длины которых и 1_г и теплопроводности и х₂. Найти теплопроводность однородного стержня длины Zj+/₂, проводящего теплоту так же, как и система из этих двух стержней. Боковые поверхности стержней теплоизолированы.

220. Стержень длины I с теплоизолированной боковой поверхностью состоит из материала, теплопроводность которого

изменяется с температурой по закону к=а/Т, где а - постоян­ная. Торцы стержня поддерживают при температурах Г, и Т₂. Найти зависимость Т(х), где х - расстояние от торца с температурой Г,, а также плотность потока тепла.

6221. Два куска металла, теплоемкости которых C_t и С₂, соединены между собой стержнем длины I с площадью поперечного сечения S и достаточно малой теплопроводностью х. Вся система теплоизолирована от окружающего простран­ства. В момент г=0 разность температур между двумя кусками металла равна (АГ)₀. Пренебрегая теплоемкостью стержня, найти разность температур между кусками металла как функцию времени.

6.222. Пространство между двумя большими горизонтальны­ми пластинами заполнено гелием. Расстояние между пластина­ми / = 50 мм. Нижняя пластина поддерживается при температуре Г,=290 К, верхняя - при 7^=330 К. Давление газа близко к нормальному. Найти плотность потока тепла.

6223. Гелий под давлением р = 1,0 Па находится между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на 1=5,0 мм. Одна пластина поддерживается при ^=17°С, другая — при r₂=37°С. Найти среднюю длину свобод­ного пробега атомов гелия и плотность потока тепла.

6224. Найти распределение температуры в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами R_x н R₁, заполненном однородным теплопроводящим веществом, если температуры цилиндров равны Т_{ и Г₂.

6225. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для двух концентрических сфер с радиусами R_x и и температу­рами r_t и Т₂.

6226. Постоянный электрический ток течет по проводу, радиус сечения которого R и теплопроводность х. В единице объема провода выделяется тепловая мощность w. Найти распределение температуры в проводе, если установившаяся температура на его поверхности равна Т₀.

6227. В однородном шаре, радиус которого R и теплопровод­ность х, выделяется равномерно по объему тепловая мощность с объемной плотностью w. Найти распределение температуры в шаре, если установившаяся температура на его поверхности равна Г₀.

6.6. Тепловое излучение

• Энергетическая светимость:

М_г = си/4,

где и — объемная плотность энергии теплового излучения.

• Формула Вина и закон смещения Вина:

u_u=o>^JF(o)/r), Тк„ = Ь,

где к_я — длина волны, соответствующая максимуму функции и_х.

• Закон Стефана-Больцмана:

М,= аГ*.

где а — постоянная Стефана-Больцмана.

• Формула Планка:

А со³ 1

и„ =

_Я2_С3 |

• Вероятности перехода атома в единицу времени между уровнем I и более высоким уровнем 2 для спонтанного и индуцированного излучения и поглощения:

21. ^ргГ=^В21^и«> (6.6 д)

где А и В — коэффициенты Эйнштейна, и_а - спектральная плотность излучения, отвечающая частоте ь> перехода между данными уровнями.

• Связь между коэффициентами Эйнштейна:

g_lB_l2 = g₂B_2l, В_п = (п²с^ъjЬи>^г)А_гг (6.6 е)

6228. Показать с помощью формулы Вина, что:

а) наиболее вероятная частота излучения и>_кр оо Т;

б) максимальная спектральная плотность теплового излуче­ния Юмпкс^^7,3;

в) энергетическая светимость М_в <ч> Г⁴.

6228. Имеются три параллельные друг другу абсолютно черные плоскости. Найти установившуюся температуру Г:

а) внешних плоскостей, если внутреннюю плоскость поддерживают при температуре Г;

б) внутренней плоскости, если внешние плоскости поддержи­вают при температурах Tw.1T.

6228. Имеется два абсолютно черных источника теплового излучения. Температура одного из них Г,=2500 К. Найти

6229. температуру другого источника, если длина волны, отвечающая максимуму его испускательной способности, на ДА=0,50 мкм больше длины волны, соответствующей максимуму испускатель­ной способности первого источника.

6230. Энергетическая светимость абсолютно черного тела

М_г=3,0 Вт/см¹. Определить длину волны, отвечающую максиму­му испускательной способности этого тела.

6228. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет этого излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на 1%.

6229. Найти температуру полностью ионизованной водород­ной плазмы плотностью р=0,10г/см², при которой давление теплового излучения равно газокинетическому давлению частиц плазмы. Иметь в виду, что давление теплового излучения р =и/3, где и - объемная плотность энергии излучения, и что при высоких температурах вещества подчиняются уравнению состояния идеальных газов.

6230. Медный шарик диаметра d=l,2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Г„=300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в Л =2,0 раза.

6231. Температура поверхности Солнца Г₀=5500 К. Считая, что поглощательная способность Солнца и Земли равна единице и что Земля находится в состоянии теплового равновесия, оценить ее температуру.

I

Рис. 6.5

6236. Имеется две по­лости (рис. 6.5) с малыми отверстиями одинаковых диаметров d=1,0 см и абсо­лютно отражающими на­ружными поверхностями. Расстояние между отвер­стиями / = 10 см. В полости

6237. Полость объемом V= 1,0 л заполнена тепловым излучением при температуре Т= 1000 К. Найти:

а) теплоемкость С_к; б) энтропию S этого излучения.

6237. Найти уравнение адиабатического процесса (в перемен­ных V, Т), проводимого с тепловым излучением, имея в виду, что между давлением и плотностью энергии теплового излуче­ния существует связь /»=и/3.

6238. Считая, что спектральное распределение энергии теплового излучения подчиняется формуле Вина и (со, Г) =

=Лсо³е"^вь>/г, ще а =7,64 пс-К, найти для температуры Г=2000 К наиболее вероятную:

а) частоту излучения; б) длину волны излучения.

6237. Получить с помощью формулы Планка приближенные выражения для объемной спектральной плотности излучения и_а в области, ще:

а) Ьш«кТ (формула Рэлея-Джинса);

б) Ь<л»кТ (формула Вина).

6237. Преобразовать формулу Планка (б.бг) от переменной с» к переменным v (линейная частота) и А (длина волны).

6238. Найти с помощью формулы Планка мощность излучения единицы поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий интервал длин волн ДА=1,0 нм вблизи максимума спектральной плотности излучения, при температуре тела Г=3000 К.

6239. Система квантовых осцилляторов с частотой со находится при температуре Т. С какой вероятностью можно обнаружить в этой системе осциллятор с энергией е_д= =(/» + 1/2)Аы?

6240. Найти с помощью формулы Планка выражения, определяющие число фотонов в 1 см полости при температуре Г в спектральных интервалах (со, w+rfco) и (A, A+dA).

6241. Атомарный водород находится в термодинамическом равновесии со своим излучением. Найти:

а) отношение вероятностей индуцированного и спонтанного излучений атомов с уровня 2Р при Г=3000 К;

б) температуру, при которой эти вероятности одинаковы.

6237. Через газ с температурой Г проходит пучок света с частотой <о, равной резонансной частоте перехода атомов газа, причем Ьы»кТ. Показать, учитывая индуцированное излуче­ние, что коэффициент поглощения газа х = х₀(1-е"^йи/1т), ще х₀ — коэффициент поглощения при Г-0.

6.7. Твердое тело

• Межплоскостное расстояние для простой кубической решетки:

d = a/Jh² + k² + l², (6.7 а)

где а — период решетки, h,k,l — индексы Миллера.

• Число нормальных колебаний одной поляризации в расчете на единицу объема кристалла:

_dN <Sdt> _(67б)

^и 2«V

• Формула Дебая. Молярная колебательная энергия кристалла:

в/г

(6.7 в)

^ +( —)

U = 9RB

где в — дебаевская температура,

• Молярная колебательная теплоемкость кристалла при Т«в:

С = у*⁴Д(Г/е)³. (6.7 г)

• Распределение свободных электронов в металле при Г-0:

dn = (fimW/^b^jEdE, (6.7 д)

где dn — концентрация электронов с энергиями в интервале (E,E+dE). Энергия Е отсчитывается от дна зоны проводимости.

• Уровень Ферми при Г->0:

£„=(А²/2т)(3*²и)^2/3, (6.7 е)

где л — концентрация свободных электронов в металле.

• Формула Ричардсона—Дэшмана. Ток насыщения:

j^A^e"'", (6.7 ж)

где еу - работа выхода.

• Собственная электропроводимость полупроводников:

ijtff^l 8 (ej J .«-I

О = а₀е"^Аг/24Г, (6.7 з)

где ДЕ — ширина запрещенной зоны.

6.247. Найти постоянную а пространственно-центрированной кубической решетки молибдена, зная его плотность.

6248. Зная плотность меди, вычислить постоянную а ее гранецентрированной кубической решетки.

6249. Определить плотность кристалла NaCl, постоянная кристаллической решетки которого а =0,563 нм.

6250. Зная постоянную а, определить межплоскостные расстояния d₁₀₀, d_m и d_in для кубической решетки:

а) простой; б) объемноцентрированной; в) гранецентрирован­ной.

6248. Показать, что межплоскостное расстояние d для системы плоскостей (hkl) в простой кубической решетке с

постоянной а определяется как d=aj\Jh¹^k²+l'¹.

6248. Постоянная кубической гранецентрированной решетки меди равна 0,361 нм. Написать миллеровские индексы системы плоскостей, плотность расположения атомов в которых макси­мальна. Вычислить эту плотность (атом/см²).

6249. Вычислить для кубической решетки углы между прямой [123] и осями [100], [010] и [001].

6250. Определить число собственных поперечных колебаний струны длины I в интервале частот (ш, <о+Ло), если скорость распространения колебаний равна v. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.

6251. Имеется прямоугольная мембрана площадью S. Найти число собственных колебаний, перпендикулярных ее плоскости, в интервале частот (со, со+Ло), если скорость распространения колебаний равна и.

6252. Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольного параллелепипеда объемом V в интервале частот (со, co+rfco), если скорость распространения колебаний равна v.

6253. Считая, что скорости распространения продольных и поперечных колебаний одинаковы и равны и, определить дебаевскую температуру:

а) для одномерного кристалла — цепочки из одинаковых атомов, содержащей л₀ атомов на единицу длины;

б) для двумерного кристалла - плоской квадратной решетки из одинаковых атомов, содержащей л₀ атомов на единицу площади;

в) для простой кубической решетки из одинаковых атомов, содержащей л₀ атомов на единицу объема.

6248. Вычислить дебаевскую температуру для железа, у которого скорости распространения продольных и поперечных колебаний равны соответственно 5,85 и 3,23 км/с.

6249. Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого в=396 К.

6250. Получить выражение, определяющее зависимость молярной теплоемкости одномерного кристалла - цепочки одинаковых атомов — от температуры Т, если дебаевская температура цепочки равна 0. Упростить полученное выраже­ние для случая Т» 9.

6251. Для цепочки одинаковых атомов частота колебаний « зависит от волнового числа к как ы = w_MaJCCsin(fca/2), где "миге ~ максимальная частота колебаний, к=2п/Х - волновое число, соответствующее частоте и>, а - расстояние между соседними атомами. Воспользовавшись этим дисперсионным соотношением, найти зависимость от w числа продольных колебаний, приходящихся на единичный интервал частот, т.е. dN/da, если длина цепочки равна /. Зная dN/da, найти полное число N возможных продольных колебаний цепочки.

6252. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди с дебаевской температурой 9=330 К.

6253. На рис. 6.6 показан график зависимости теплоемкости кристалла от температуры (по Дебаю). Здесь - классичес-

с/с_м

кая теплоемкость, в — дебаевская температура. Найти с помощью этого графика:

а) дебаевскую температуру для серебра, если при Т=65 К его молярная теплоемкость равна 15 Дж/(моль-К);

б) молярную теплоемкость алюминия при Г= 80 К, если при Г=250 К она равна 22,4 Дж/(моль К);

в) максимальную частоту колебаний для меди, у которой при Г= 125 К теплоемкость отличается от классического значения на 25%.

264. Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре Г«9, где в - дебаевская температура, определя­ется формулой (6.7г).

265. Найти максимальную частоту <->_ммс собственных колебаний в кристалле железа, если при температуре Г=20 К его удельная теплоемкость с=2,7 мДж/(г-К).

266. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при этих температурах равна 0,226 и 0,760 Дж/(моль-К)?

267. При нагревании кристалла меди массы т=25 г от Г₄=10 К до Т₂=20 К ему было сообщено количество теплоты 0=0,80 Дж. Найти дебаевскую температуру в для меди, если в» Г, и Т₂.

268. Вычислить среднее значение энергии нулевых колеба­ний, приходящейся на один осциллятор кристалла в модели Дебая, если дебаевская температура кристалла равна 9.

269. Оценить энергию нулевых колебаний моля алюминия, если межатомное расстояние а»0,3 нм и скорость распростране­ния акустических колебаний v~A км/с.

270. Изобразить спектр распределения энергии колебаний кристалла по частотам (без учета нулевых колебаний).

Рассмотреть два случая: Т=9/2 и Г=9/4, где 9 - дебаев­ская температура.

264. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового кванта) в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.

265. Кристалл состоит из N одинаковых атомов. Его дебаевская температура равна 9. Найти числй фононов в интервале частот (<о, w+dco) при температуре Т.

6273. Оценить фононное давление в меди при температуре Т, равной ее дебаевской температуре 9=330 К.

6.274. Найти с помощью формулы (6.7д) при Г-0:

а) максимальную кинетическую энергию свободных электро­нов в металле, если их концентрация равна и;

б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если их максимальная кинетическая энергия равна К_Ы1ЖС.

6275. Найти относительное число свободных электронов в металле, энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на л = 1,0%, если температура Т=0.

6276. Сколько процентов свободных электронов в металле при Г=0 имеют кинетическую энергию, превышающую полови­ну максимальной?

6277. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при Т=0, если уровень Ферми E_F= 3,07 эВ. Плотность натрия считать известной.

6278. До какой температуры надо было бы нагреть класси­ческий электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов в меди при Г=0? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.

6279. Вычислить интервал (в электронвольтах) между соседними уровнями свободных электронов в металле при Г=0 вблизи уровня Ферми, если концентрация свободных электронов л=2,0-10²² см"³ и объем метала V= 1,0 см³.

6280. Воспользовавшись (6.7д), найти при Т=0:

а) распределение свободных электронов по скоростям;

б) отношение средней скорости свободных электронов к их максимальной скорости.

6275. Оценить минимальную дебройлевскую длину волны свободных электронов в металле при Г=0, полагая, что металл содержит по одному свободному электрону на атом, а его решетка является простой кубической с периодом а.

6276. Квантовые свойства свободных электронов в металле становятся существенными, когда их дебройлевская длина волны оказывается сравнимой с постоянной решетки. Оценить из этих соображений температуру вырождения Т электронного газа в меди.

6277. Исходя из формулы (6.7д), найти функцию распределе­ния свободных электронов в металле при Г=0 по дебройлев- ским длинам волн.

6278. Вычислить давление электронного газа в металличес­ком натрии при Г=0, если концентрация свободных электронов

в нем в=2,5-10²² см"³. Воспользоваться уравнением для давления идеального газа.

6275. Имея в виду, что средняя энергия свободного электро­на в металле при температуре Г определяется как

(Е) = (3/5)£, [ 1 + (5*²/12) (кТ1Е_р)²],

найти для серебра, дебаевская температура которого 210 К и энергия Ферми Е_р= 5,5 эВ, отношение теплоемкости электронно­го газа к теплоемкости решетки при Т=300 К.

286. Повышение температуры катода в электронной лампе от значения Г=2000 К на А Г =1,0 К увеличивает ток насыще­ния на л = 1,4%. Найти работу выхода электрона.

287. Найти коэффициент преломления металлического натрия для электронов с кинетической энергией К =135 эВ. Считать, что на каждый атом натрия приходится один свободный электрон.

     6288. Найти минимальную энергию образования пары электрон — дырка в беспримесном полупроводнике, проводи­мость которого возрастает в л = 5,0 раз при увеличении температуры от Г,=300 К до Г₂=400 К.

     6289. При очень низких температурах красная граница фо­топроводимости чистого беспримесного германия Х_х=1,7 мкм. Найти температурный коэффициент сопротивления данного германия при комнатной температуре.

     6290. На рис. 6.7 по­казан график зависимос­ти логарифма проводи­мости от обратной темпе­ратуры (Г,кК) для неко­торого полупроводника л-типа. Найти с помо­щью этого графика ши­рину запрещенной зоны полупроводника и энер­гию активации донорных уровней.

     6291. Удельное сопро­тивление некоторого чис­того беспримесного по­лупроводника при ком­натной температуре р = =50 Ом-см. После вклю­чения источника света оно стало р_г=40 Ом см, а через t=8 мс после выключения источника света удельное сопротивление оказалось р₂=45 Ом-см. Найти среднее время жизни электронов проводимости и дырок.

     6292. 

           При измерении эффекта Холла пластинку из полупро­водника р-типа ширины А = 10 мм и длины /=50 мм поместили в магнитное поле с индукцией 5=5,0 кГс. К концам пластинки

     6293. приложили разность потенциалов 1/=10 В. При этом холлов- ская разность потенциалов U_H= 50 мВ и удельное сопротивление р=2,5 Ом-см. Найти концентрацию дырок и их подвижность.

293. При измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией В=5,0 кГс поперечная напряженность электрического поля в чистом беспримесном германии оказалась в rj = 10 раз меньше продольной напряженности электрического поля. Найти разность подвижностей электронов проводимости и дырок в данном полупроводнике.

294. В некотором полупроводнике, у которого подвижность электронов проводимости в л =2,0 раза больше подвижности дырок, эффект Холла не наблюдался. Найти отношение концентраций дырок и электронов проводимости в этом полупроводнике.

6.8. Жидкости. Капиллярные явления

• Добавочное (капиллярное) давление в жидкости под произвольной поверхностью (формула Лапласа):

(6.8 а)

где а - поверхностное натяжение жидкости.

(6.8 б)

• Приращение свободной энергии поверхностного слоя жидкости:

dF = adS,

где dS — приращение площади поверхностного слоя.

• Тепло, необходимое для образования единицы площади поверхностного слоя жидкости при изотермическом увеличении ее поверхности:

(6.8 в)

293. Найти капиллярное давление:

а) в капельках ртути диаметра </=1,5 мкм;

б) внутри мыльного пузырька диаметра d=3,0 мм, если поверхностное натяжение мыльной воды а=45мН/м.

293. В дне сосуда со ртутью имеется круглое отверстие диаметра d=70 мкм. При какой максимальной толщине слоя ртути она еще не будет вытекать через это отверстие?

294. В сосуде с воздухом при давлении р₀ находится мыльный пузырек диаметра d. Давление воздуха изотермически уменьшили в и раз, в результате чего диаметр пузырька

295. увеличился в л раз. Найти поверхностное натяжение мыльной воды.

     6298. На плоский каркас натянута мыльная пленка. На ней находится петля из нити. После того как пленку прокололи внутри петли, последняя приняла форму окружности радиуса R=7,5 мм. Найти силу натяжения нити, если поверхностное натяжение мыльной воды а =40 мН/м.

     6299. Два мыльных пузыря с радиусами R_x тл R₁, слившись, образовали пузырь радиуса R. Атмосферное давление равно р. Считая процесс изотермическим, найти поверхностное натяже­ние мыльной воды а.

     6300. На мыльном пузыре радиуса а "сидит" пузырь радиуса Ъ. Имея в виду, что Ъ<а, найти радиус кривизны пленки, их разделяющей. Каковы углы между пленками в местах их соприкосновения?

     6301. Найти давление в пузырьке воздуха диаметра d-4,0 мкм, который находится в воде на глубине h = 5,0 м. Атмосферное давление р₀ нормальное.

     6302. На дне пруда выделился пузырек газа диаметра d=4,0 мкм. При подъеме этого пузырька к поверхности воды его диаметр увеличился в и = 1,1 раза. Найти глубину пруда в данном месте. Атмосферное давление нормальное, процесс расширения газа считать изотермическим.

     6303. Найти разность уровней ртути в двух сообщающихся вертикальных капиллярах, диаметры которых d_x =0,50 мм и ^2 = 1,00 мм, если краевой угол Ф = 138⁰.

     6304. Вертикальный капилляр с внутренним диаметром 0,50 мм погрузили в воду так, что длина выступающей над поверхностью воды части капилляра А =25 мм. Найти радиус кривизны мениска.

     6305. Стеклянный капилляр длины / = 110 мм с диаметром внутреннего канала </=20 мкм опустили в вертикальном положении в воду. Верхний конец капилляра запаян. Наружное давление воздуха нормальное. Какая длина х капилляра должна быть погружена в воду, чтобы уровень воды в капилля­ре совпадал с поверхностью воды вне его?

     6306. Вертикальный капилляр длины I с запаянным верхним концом привели в соприкосновение с поверхностью жидкости, после чего она поднялась в нем на высоту А. Плотность жидкости р, диаметр внутреннего канала капилляра d, краевой угол Ь, атмосферное давление р₀. Найти поверх­ностное натяжение жидкости.

     6307. Стеклянный стержень диаметром = 1,5 мм вставили симметрично в стеклянный капилляр с диаметром внутреннего канала d₁=2,0 мм. Затем всю систему установили вертикально и привели в соприкосновение с поверхностью воды. На какую высоту поднимется вода в таком капилляре?

     6308. Две вертикальные пластинки, погруженные частично в смачивающую жидкость, образуют клин с очень малым углом бф. Ребро клина вертикально. Плотность жидкости р, ее поверхностное натяжение а, краевой угол ft. Найти высоту А поднятия жидкости как функцию расстояния х от ребра клина.

     6309. Из круглого отверстия вытекает вертикальная струя воды так, что в одном из горизонтальных сечений ее диаметр d=2,0 мм, а в другом сечении, расположенном ниже на /=20 мм, диаметр струи в п = 1,5 раза меньше. Найти объем воды, вытекающий из отверстия за одну секунду.

     6310. Капля массы т находится на поверхности стола. Высота капли А, плотность жидкости р, поверхностное натяжение о, радиус границы соприкосновения капли с поверхностью стола равен а. Считая, что имеется полное несмачивание, найти радиус кривизны поверхности капли в верхней точке.

     6311. Капля воды равномерно падает в воздухе. Найти разность между радиусом кривизны поверхности капли в ее верхней точке и радиусом кривизны в нижней точке, расстоя­ние между которыми Л =2,3 мм.

     6312. Алюминиевый диск радиуса Л=5,6 мм и толщиной А = 1,5 мм смазан парафином и плавает в воде так, что его _ _ верхняя сторона находится на

у //УУУ//УУ// - уровне поверхности воды

-л////////////я (рис. 6.8). Считая смачивание

~ полным, найти поверхностное натяжение воды.

Рис. 6.8 6313. Между двумя гори­

зонтальными стеклянными пластинками находится капля ртути в форме лепешки радиуса R и толщины А. Считая, что А «Я, найти массу т груза, который надо положить на верхнюю пластинку, чтобы расстоя­ние между пластинками уменьшилось в и раз. Краевой угол Ь. Вычислить т, если Я=2,0 см, А =0,38 мм, и =2,0 и 0 = 135°.

6314. Найти силу притяжения двух параллельных стеклян­ных пластинок, отстоящих друг от друга на расстояние А=0,10 мм, после того как между ними ввели каплю воды массы т= 70 мг. Смачивание считать полным.

6315. Два стеклянных диска радиуса Л=5,0 см смочили водой и сложили вместе так, что толщина слоя воды между

дисками А = 1,9 мкм. Считая смачивание полным, найти силу, которую нужно приложить перпендикулярно плоскости дисков, чтобы оторвать их друг от друга.

6315. Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные пластины частично погружены в воду. Расстояние между пластинами d=0,10 мм, их ширина 1 = 12 см. Считая, что вода между пластинами не доходит до их верхних краев и что смачивание полное, найти силу, с которой они притягиваются друг к другу.

6316. Найти высоту А поднятия жидкости у вертикальной плоской стенки. Жидкость смачиваемая, краевой угол Ь, поверхностное натяжение а, плотность р. Иметь в виду, что кривизна поверхности l/R=d<p/ds (по определению).

6317. Найти толщину А несмачивающей жидкости, образую­щей лужицу на горизонтальной поверхности. Известны поверх­ностное натяжение жидкости а, ее плотность р и краевой угол ft. Диаметр лужицы значительно больше ее толщины.

6318. Найти время исчезновения мыльного пузыря радиуса R, соединенного с атмосферой капилляром, который имеет длину I и радиус канала г. Поверхностное натяжение а, вязкость газа т|.

6319. Вертикальный капилляр привели в соприкосновение с поверхностью воды. Какое количество тепла выделится при поднятии воды по капилляру? Смачивание считать полным, поверхностное натяжение равно а.

6320. Найти свободную энергию поверхностного слоя:

а) капли ртути диаметра d = 1,4 мм;

б) мыльного пузыря диаметра d=6,0 мм, если поверхностное натяжение мыльной воды а =45 мН/м.

6315. Зная поверхностное натяжение а, найти:

а) приращение свободной энергии поверхностного слоя при изотермическом слиянии двух одинаковых капель ртути, каждая диаметром й? = 1,5 мм;

б) работу, которую нужно совершить, чтобы изотермически выдуть мыльный пузырь радиуса R при давлении окружающего воздуха р₀.

6315. Внутри мыльного пузыря радиуса г находится идеальный газ. Наружное давление р₀, поверхностное натяжение мыльной воды а. Найти разность между молярной теплоем­костью газа при нагреве его внутри пузыря и молярной теплоемкостью этого газа при постоянном давлении.

6316. Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости, показать, что при изотермическом процессе теплота, необходи­мая для образования единицы площади поверхностного слоя, q = -T-da/dT, где da/dT - производная поверхностного натяже­ния по температуре.

6317. Площадь мыльной пленки изотермически увеличили на До при температуре Г. Зная поверхностное натяжение мыльной воды а и температурный коэффициент da/dT, найти приращение:

а) энтропии поверхностного слоя пленки;

б) внутренней энергии поверхностного слоя.

6.9. Фазовые превращения

• Соотношения между постоянными Ван-дер-Ваальса и параметрами критического состояния вещества:

К, =ЗЬ, » = —-, (6.9а)

⁴ ^ 27 Ь^{1 4} 27 Rb

• Связь между критическими параметрами моля вещества:

(6.9 в)

3 8

Уравнение Клапейрона-Клаузиуса:

dp _ Яд dT~ T(V₂-V\)'

где — удельная теплота, поглощаемая при переходе 1—2, V\ и У'_г - удельные объемы фазы 1 и фазы 2.

6326. Насыщенный водяной пар находится при температуре г = 100° С в цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем. При медленном вдвигании поршня небольшая часть пара массы Дм =0,70 г сконденсировалась. Какая работа была совершена над газом? Пар считать идеальным газом, объемом жидкости пренебречь.

6327. Вода со своим насыщенным паром находится в сосуде объемом V=6,0 л при температуре 250°С и давлении 40 атм. Удельный объем пара при этих условиях К^=50 л/кг. Масса

системы (воды с паром) то=5,0 кг. Найти массу и объем пара.

6328k Пространство в цилиндре под поршнем, имеющее объем F₀=5,0 л, занимает один насыщенный водяной пар,

температура которого t= 100°С. Найти массу жидкой фазы, образовавшейся в результате изотермического уменьшения объема под поршнем до F=l,6 л. Насыщенный пар считать идеальным газом.

6329. Некоторую массу вещества, взятого в состоянии насыщенного пара, изотермически сжали в п раз по объему. Найти, какую часть tj конечного объема занимает жидкая фаза, если удельные объемы насыщенного пара и жидкой фазы отличаются друг от друга в N раз (N>n).

Тот же вопрос, но при условии, что конечный объем вещества соответствует середине горизонтального участка изотермы на диаграмме р, V.

6329. Вода массы ш = 1,00 кг, кипящая при нормальном атмосферном давлении, целиком превратилась в насыщенный пар. Найти приращения энтропии и внутренней энергии этой системы, считая насыщенный пар идеальным газом.

6330. Вода массы т =20 г находится при температуре 0°С в теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем,

площадь которого 5=440 см². Внешнее давление равно нор­мальному атмосферному. На какую высоту поднимется по­ршень, если воде сообщить количество теплоты Q=20,0 кДж?

6329. В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем находится один грамм насыщенного водяного пара. Наружное давление нормальное. В цилиндр ввели т = 1,0 г воды при t₀=22°С. Пренебрегая теплоемкостью цилиндра и трением, найти работу, которую произвела сила атмосферного давления при опускании поршня.

6330. В тепловой машине, работающей по циклу Карно, рабочим веществом является вода массы т = 1,00 кг, которая испытывает фазовые превраще­ния в пар и обратно. Цикл по­казан на рис. 6.9, где штриховой кривой ограничена область двух­фазных состояний. Изотермичес­кое расширение 1—2 происходит при Г,=484 К, изотермическое сжатие - при Г₂=373 К. Найти работу, совершаемую рабочим веществом за один цикл.

6331. 

      Рис. 6.9

      Если дополнительное давление Ар насыщенных паров над выпуклой сферической по­верхностью жидкости значитель­

6332. но меньше давления пара у плоской поверхности, то Др = = (р_п/р_ж)2сс/г, где р_п и р_ж - плотности пара и жидкости, о - поверхностное натяжение, г - радиус кривизны повер­хности. Найти с помощью этой формулы диаметр капелек воды, при котором давление насыщенных паров на rj = l,0% превышает давление паров над плоской поверхностью при t=21°С. Пар считать идеальным газом.

6333. Найти массу всех молекул, вылетающих за одну секунду с одного квадратного сантиметра поверхности воды в находящийся над ней насыщенный водяной пар при * = 100°С. Считать, что ц=3,6% всех молекул водяного пара, падающих на поверхность воды, ею задерживаются.

6334. Найти давление насыщенного пара вольфрама при Г=2000 К, если при этой температуре вольфрамовая нить, испаряясь в высоком вакууме, теряет в единицу времени с

единицы поверхности массу ц = 1,2 • 10~¹³ г/(с-см²).

6329. На какую величину возросло бы давление воды на стенки сосуда, если бы исчезли силы притяжения между ее молекулами?

6330. Найти "внутреннее давление" p_t в жидкости, если известны ее плотность р и удельная теплота парообразования д. Считать, что теплота q равна работе против сил внутреннего давления и жидкость подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса. Вычислить p_t у воды.

6331. Показать, что для вещества, подчиняющегося уравне­нию Ван-дер-Ваальса, в критическом состоянии справедливы соотношения (6.9а) и (6.96).

Указание. Использовать то, что критическому состоянию соответствует точка перегиба на изотерме p(V).

6329. Вычислить постоянные Ван-дер-Ваальса для углекисло­го газа, если его критическая температура 7^=304 К и крити­ческое давление р^=1Ъ атм.

6330. Найти удельный объем бензола (С₆Н₆) в критическом состоянии, если его критическая температура Т^=562 К и критическое давление />^=47 атм.

6331. Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных параметрах я, v иг, приняв за единицы давления, объема и температуры соответствующие критические величины. Используя полученное уравнение, найти, во сколько раз температура газа больше его критической температуры, если давление газа в 12 раз больше критического, а объем газа вдвое меньше критического.

6332. Зная постоянные Ван-дер-Ваальса, найти:

а) наибольший объем, который может занимать вода массы w = l,00 кг в жидком состоянии;

б) наибольшее давление насыщенных паров воды.

6329. Вычислить температуру и плотность углекислого газа в критическом состоянии, считая газ ван-дер-ваальсовским.

6330. Какую часть объема сосуда должен занимать жидкий эфир при комнатной температуре, чтобы при критической температуре он оказался в критическом состоянии? Для эфира 7^=467 К, р_кр=35,5 атм, М=74 г/моль.

6331. Показать, что положение прямой 1 -5, соответствующей изотермически-изобарическому фазовому переходу, таково, что площади I и II, ограниченные этой прямой и изотермой Ван- дер-Ваальса, равны друг другу (рис. 6.10).

6332. Какая часть воды, пере­охлажденной при нормальном давлении до f=-20°C, превра­тится в лед при переходе систе­мы в равновесное состояние? При какой температуре переох­лажденной воды она целиком превратится в лед?

6.348. Найти приращение температуры плавления льда вблизи 0°С при повышении давления на Ар = 1,00 атм, если удельный объем льда на AV' =

=0,091 см³/г больше удельного объема воды.

6349. Найти удельный объем насыщенного водяного пара при нормальном давлении, если известно, что уменьшение давления на Ар = 3,2 кПа приводит к уменьшению температуры кипения воды на ДГ=0,9 К.

6350. Определить давление насыщенного водяного пара при температуре 101,1°С, считая его идеальным газом.

6351. В закрытом сосуде находится небольшое количество воды и ее насыщенный пар при f=100°C. На сколько процен­тов увеличится масса насыщенного пара при повышении температуры системы на ДГ=1,5 К? Пар считать идеальным газом, а удельный объем воды - пренебрежимо малым пр сравнению с удельным объемом пара.

6352. 

      Рис. 6.10

      v

      Давление р насыщенного пара ртути зависит от температуры Г по закону Ъхр=-а/Т-ЬЫТ+с, где а, Ь, с - по­

6353. стоянные. Найти молярную теплоту испарения ртути как функцию температуры q(Г).

6354. Найти давление насыщенного пара как функцию температуры, если при температуре Г₀ его давление р_в. Считать, что удельная теплота парообразования q не зависит от Т, удельный объем жидкости пренебрежимо мал по сравнению с удельным объемом пара, насыщенный пар подчиняется уравнению состояния идеального газа. При каких условиях эти упрощения допустимы?

6355. Лед, находившийся при нормальных условиях, подвергли сжатию до давления р=640 атм. Считая, что пониже­ние температуры плавления льда в данных условиях линейно зависит от давления, найти, какая часть льда растаяла.

Удельный объем воды на Д V = 0,09 см³/г меньше удельного объема льда.

6349. Вблизи тройной точки давление р насыщенного пара двуокиси углерода зависит от температуры Г как lgp=a-b/T, ще а и b - постоянные. Если р - в атмосферах, то для процесса сублимации а =9,05 и ft=1800 К, а для процесса испарения л=6,78 и b = 1310 К. Найти:

а) температуру и давление в тройной точке;

б) значения удельных теплот сублимации, испарения и плавления вблизи тройной точки.

6349. Воду массы m = 1,00 кг нагрели от температуры ■fj-lO'C до f₂= 100°С, при которой она вся превратилась в пар. Найти приращение энтропии системы.

6350. Лед с начальной температурой fj=0^oC, нагревая, превратили сначала в воду, а затем в пар при Г₂=100°С. Найти приращение удельной энтропии системы.

6351. Кусок меди массы /и =90 г при Г₁=90°С положили в калориметр, в котором находился лед массы 50 г при темпера­туре —3°С. Найти приращение энтропии куска меди к моменту установления теплового равновесия.

6352. Кусок льда массы «^=100 г при t₁=0°C поместили в калориметр, в котором находилась вода массы т₂=100 г при температуре г₂. Пренебрегая теплоемкостью калориметра, найти приращение энтропии системы к моменту установления теплового равновесия. Рассмотреть два случая:

a) f₂=60°C; б) *₂=94°С.

6349. В калориметр, наполненный большим количеством льда при температуре t₁=0°C, вылили м=5,0 г расплавленного свинца, находившегося при температуре плавления f₂=327°C. Найти приращение энтропии системы свинец-лед к моменту установления теплового равновесия. Удельная теплота плавле­ния свинца q =22,5 Дж/г, его удельная теплоемкость с =

=0,125 Дж/(г К).

6.361. Водяной пар, заполняющий пространство под по­ршнем в цилиндре, сжимают (или расширяют) так, что он все время остается насыщенным, находясь на грани конденсации. Полагая, что удельная теплота парообразования равна q и не зависит от температуры, найти молярную теплоемкость С пара в данном процессе как функцию температуры Т. Пар считать идеальным газом, удельным объемом жидкости по сравнению с удельным объемом пара пренебречь. Вычислить С при 100°С.

6362. Один моль воды, находившийся в равновесии с пренебрежимо малым количеством своего насыщенного пара при температуре Г,, перевели целиком в насыщенный пар при температуре Т_г. Полагая, что удельная теплота парообразования

практически не зависит от Т и равна q, найти приращение энтропии системы. Пар считать идеальным газом, удельным объемом жидкости пренебречь по сравнению с удельным объемом пара.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

1. v =//2т = 3,0 км/ч.

2. Аналогично.

1J. (u> = 2u₀(u₁+ v₂)/(2v₀+ i>j+ v₂). 1.4. a) 10 см/с; б) 25 см/с; в) t₀= 16 С.

1-5- ('Г^)/ 1*1—«21 =(v₂~^vi>/ I ^v2"^vi I •

6. u'=(uo+i>²+2u₀i>cos(p)^l/2*40 км/ч, <p' = 19°.

7. и = — = 3,0 км/ч.

l/yMV')²-¹

6. V^Te = l/v'n²-l =1»8.

7. 0=arcsin(l/n) + я/2 = 120°.

8. / = v₀t\/2(l - sinO) =22 m.

9. l = (v_l+v₂)Jv^v₁lg = 2fi u.

10. f = 2a/3u.

11. Из рис. 1 видно, что скорость сближения точек Л и В равна U-KCOSO, где угол а зависит от времени. Для встречи точек необходимо, чтобы были выполнены два условия:

т т

J"(u-ucosa) dt=l, Jvcosa dt=ux, о о

где т — искомое время. Из этих двух выражений следует, что т= и//(и²-ц²).

6. x_l-x₂ = l-aT(t + xf2) = 0£4 км. Навстречу поезду со скоростью К=4,0 м/с.

7. а) 0,7 с; б) соответственно 0,7 и 1,3 м.

8. *„ = («,,/, ₊ v₂l₂)l(v²_{1 +} vl), I1/,^-/^,!//^.

9. CD = llJr\²-l.

10. См. рис. 2.

1.19-а) {v}=nR/x=50 см/с; б) |<v>| =2Л/т=32 см/с; в) |<а>|=2яЯ/т²= = 10 см/с².

20. a) v=b(l-2ott), а=-2ab=const; б) Af = l/a, s=ft/2a.

21. а) ДГ= u„f(l -*/2т); 0,24, 0 и -2,0 м; б) 1,1, 9 и 11 с.

22. а) u=a²f/2, а = а²/2; б) (и) = (а/2)у/5.

23. 5 = (2/3a)t»f, t = (2/a)/^.

24. a) y = (P/a²)Jt²; б) u=Ja²+4p²t², a=2|J; в) tg<p = a/2р*.

25. a) j=Ao)t; б) я/2.

26. о₀=^(1 + а^)а/2р.

27. a) r=v₀f+gf²/2; 6) <v>=vg</2, (v)=v₀-g(v₀g)/*².

/д

Рис. 1

20. a) t=2(u₀/g)sina; 6) ft=(i£/2g)sin²a, l=[v\lg)sin2a, a=76°; в) y = = x tg a ~(g12 vlcoePa )x².

21. a) cosa= 1/л^1/3, « = 60°; 6) tga=y^,2, «=54,7°.

22. / = 8Asina.

23. Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла.

24. Д* 2 1-i—^- = 11 с.

g( cosftj + cosdj)

20. а) х = (а/2и₀)у^г; б) l+(ay/u₀)², e. = ei»₀/₁/l+(ey/»₀)².

21. а) у = (Р/2а)дс²; б) R=v^l/a_H = v²/^²-^ = (а/Р)[1 +(*р/а)²р.

22. v=ij2ax.

23. а = a t/l + (4 ял)² = 0,8 м/с².

24. а) и= 1>₀/(1 + v₀t/R) = u₀e~^s/*; б) a=_v/2^/(Re^2s/s)=_v/2u²/JJ.

25. tg<p=2s/K.

26. a(0) = Л²й>²/Д = 2,6 м/с², =у4со²=ЗД м/с².

27. а = ^4 а²+ (9 a⁴/ 16p²i?)².

28. Д = а³/2р.у, д = a \/l + (4р ,s²/a³)².

29. a) a=2av², Л=1/2а; б) a = pu²/«², Я = а²/р.

30. и=2Дш=0,40 м/с, й=4Лш²=0,32 м/с².

31. a = (v/t)\jl +4p²f⁴ = 0,7 м/с².

32. <о =2nnvjl =2,0 • 10³ рад/с.

33. v> = v/yjR²-vth/я.

34. 						/ /
    					5/ /
    					/
    		Л/		Ч,	к,
    					\
    						ч
    /		J	4	5	£	7	t

    Рис. 2

    W=2a/3 =4 рад/с, (р)=^ЗйЬ=6 рад/с², р =2^/3ab=12 рад/с².

35. f=^(4/«)tgq>=7 С.

36. <(о) = о>₀/3.

37. а) <р = (1 -е'^а,)и>₀]а; б) <o = a>₀e"^<". LSI. <o_t=±^2P₀sin<p, см. рис. 3.

52. а) а_л= v²/R=2,Q м/с², вектор направлен все время к центру колеса; б) j=8.R=4,0 м.

53. a) v_A=2at=lO см/с, v_B=fiat=7 см/с; б) a_A=2ajl+(at²l2R)²* =5,6 см/с¹, a₀=a¹t¹IR=2,5 см/с².

54. Л,=4г, R_B=rfi.

55. 

    «=^<о²+»² =5 рад/с, p = »₁(i>_J=12 рад/с².

52. cosa = (я²+ р²)/ р v/3 a²+ р², отсюда « = 19°.

53. а) w=v/Rcosa =2,3 рад/с; б) Р = (и/Я)² tga = 2,3 рад/с².

54. со = о)₀^1+(Р₀г/<й₀)²=0,6 рад/с, р = р_о^1+<о²г²=ОД рад/с².

55. Соответственно -F₀ и ^-2F„.

56. F= -тш²г, где г — радиус-вектор частицы относительно начала координат; F=mu>²Jx²+y².

t=F_J9(m_l+m₂)l(m_la₂+m₂a_l).

62. Am=2ma/(g+a) = 10 кг.

63. a= g, F = >n₂g.

mQ+Wj+Wj mp+Mj+Mj

62. a) _{6) tga<}WM^

Wj⁺etj m^m₂

62. *=[(t|²-l)/(tl²+l)]tga = 0,16.

63. *=[(ri + l)/(_n-l)]tga = 0,3.

64. a) m₂/m, >sina +£cosa; 6) n^/m^ since-fccosa.

65. aj = g(n-sine-Jfccose)/(ii + l)=0,05g.

66. При f«r₀ ускорения e_l=a₂=at/(i»₁+M₂); при ti»₀ ускорения a_l = kgmjm_l, ^"(at-kn^g)^. Здесь t₀ = *;ginj(i«₁+m₂)/am₁.

67. x =J2ll(3a+kg).

68. tg2a = -1/Jt, o=49^e.

69. При tga = l/ifc имеем =

70. tga F_tm = kmg/Jl +к^г.

71. F^ = (2g-a')mMI(m*M).

m, - m. 4 m. m.

62. a) »',--!—-(g-a₀); 6) F = — (g~a₀).

i»j + т_г ^mi ^{+ m}2

4iw_lw₂ +w₀(w₁-m₂)

1-77. a_m-g(l-k)Kl+k).

79. a=fsinacosa/(sin²a +m₁/m₂).

80. a) u=mg²cosa/(2*sin²a); 6) s=m²g³eoea/(6fc²sin³a)-

82. D=-(g/«)lncosd=4,0 м/с.

83. Ap=mgf, |Др| = -2m(v₀g)/g.

84. a) p=bt³/6; 6) s=bz*/l2m.

85. s = (wt-sino)t)/^!'₀/'«w², см. рис. 4.

86. f = n/t», S=2F₀/mw², v_uac=F₀imti>.

87. a) u = v₀atj?(-trlm), f-oo; 6) v = v₀-sr/m, s^mvjr.

88. * = й(|;₀-и)/1)₀1>1п(1>₀/г>).

89. s = (2/v)tga, u_utIC=v/(^/Y)sinatga. Чтобы привести уравнение дви­жения к виду, удобному для интегрирования, надо представить ускорение как dvjdt и затем произвести замену переменных по формуле dt=dxlv.

90. s = i((-f₀)³/6m, где Г_ц = kmg/b - момент времени, с которого нач­нется движение. При путь s = 0.

91. 2,1, 0,7 и 1,5 кН.

92. a) a=gjl+ 3cos²ft, F=3mgcosd; б) F=fimg\ в) cos0 = l/v/3, 0=54,7°.

93. tg(ft/2) = 1/2, 0*53°.

94. a'=yla(g-al4)=5,9 м/с².

95. 0=arccos(2/3)»48", vfigRfb.

96. e = l/(x/mco²-l). От направления вращения не зэвисит.

97. г-Щ2, v^jk^m.

98. 5 = (/f/2)^(ig/a_t)²-l =60 м.

99. u4ajkg/b.

100. F=(ctgb + to²R/g)mg/2ic.

101. u = i>₀exp(-ifca)=5,0 м/с.

102. а) Рассмотрим малый эле­мент нити на блоке (рис. 5). Вслед­ствие его невесомости dT = dF_Jf = = kdF_n и dF_H=T dot. Отсюда dT/T= = kda. Проинтегрировав это уравне­ние, получим Ar=(Inri₀)/jt; б) a=g(r|-

-ЧоЖч+По)-

79. F=(mvl/R)cos²a.

80. а) u=(2F/«<o)|sin(<of/2)|; б) A5=8F/ma)², (u)=4F/n m<o.

81. v=v₀/(l +cas<p). Указа­ние. Здесь <*_х=-а_х, поэтому и = - - v_x + const. Из начального условия следует, что const = v_Q. Кроме того, 11^= к costp.

82. a = [l-cos(Z/K)]tfg//.

83. v = j2gR/3.

84. Если оi²R>g, то имеется два положения равновесия: ft, = 0 и t)₂ =

= arccos(g/(»²£). Если ca²R<g, то положение равновесия только ©₁ = 0. Пока существует одно нижнее положение равновесия, оно устойчиво. При появлении же второго положения равновесия (оно всегда устойчиво) нижнее положение становится неустойчивым.

79. ft = (a>s²/l>)sin<p =7 СМ, где <о - угловая скорость вращения Земли.

80. F=mti>²R/4=A5 Н.

81. a) F=2m i>wsin<p=3,8 кН, на правый (по ходу поезда) рельс; б) по параллели с востока на запад со скоростью v = (o).R/2)cos<p =420 км/ч. Здесь о) — угловая скорость вращения Земли, R - ее радиус.

82. F_Iop=2mcov_a\j\ + <o²r² =4,2 Н.

83. F=m\jg²+ <o⁴r²+ (2 u'g>)² = 8 H.

84. F_Iop=2wto²r^/l +(и₀/ш7-)²=2,8 H.

85. a) а' = о>²Я; 6) F_HH=mw²r\/(2R/r)²-l.

86. Отклонится на восток на x=(2/3)<oA^2A/g=24 см, где <о - угловая скорость вращения Земли.

87. a_c=g(m₁-m_J)²/(m₁+m₂)².

88. r = (glv>²)tg<>=0,8 см, F=mg/cos0 = 5 Н.

89. F_tp=mg[sina+(w²//g)cosa]=6 H. ^1Ш- м/с.

Рис. 5

1.121. Импульс p=p₀+mgf, где p₀=m₁v, + mjv₂, т=т₁+т₂; r_c=v₀f+gt²/2, где v₀=(m,Vj+m₂v₂)/ («j+m₂).

122. где \i=m_lm₂/(m_l+m₂).

123. a) l = -l'm/(M+m); 6) F= -[mMKM+m)]dv'/dt.

124. 1 = 1' m/2M.

125. v=(v₁+tjv₁)/(l+n)_> u=4 м/с.

126. « = u₀cosO/(l+ri)=25 м/с.

127. x={pcosa-M^2gl^na)lMgsma.

128. й_я=(m, fel-m₂+ m₂ )² = 2,0 м/с².

129. v'=^vl+lu¹ = 14 м/с.

130. v₂ = \jv²_l+4 VqCOS*(i =0,17 км/с.

131. u_t =^2kg(r\²s₁-s_l)=5 м/с.

132. p = (2mj3)\f2gl=i,5 кг-м/с.

133. Т,= -иу/(М-М), Vj=l/v/(M-ffl).

¹¹³⁴- v_MXB=v₀-u»i/(Af+»»), v_mt=v₀+umM/(M+mf.

- ч 2m „ m(2M+3m) „

135. a) v.= н; 6) v,= ²—11. Отношение скоростей

¹ M+2m ² (M+m)(M+2m)

u₂/"i ^{= 1} +m/2(Af+m) > 1.

135. Пусть в некоторый момент i ракета имела массу m и скорость и (относительно интересующей нас системы отсчета). Рассмотрим инерциальную систему отсчета, имеющую ту же скорость, что и ракета в данный момент. В этой системе отсчета приращение импульса системы "ракета — выброшенная порция газа" за время dt есть dp = m dv+\i dt-n = V dt. Дальнейшее очевидно.

136. v=-uln(mjm).

137. m=m₀exp(-at/u).

138. v=u]n(m₀lm)-gt.

139. а) г = (и/^)1п(1+п)=20 с; 6) \i = (glu)m₀cxp(-gtlu).

140. а=(и/и₀)1п(т₀/м).

141. a=FKm₀-\xt), v=(F/^)ln[m₀/(/n₀-_lif)].

142. \=Ftl(m₀+\it), &=FmJ(m₀+\it)².

143. u=v/2gAln(Z/A).

144. a) A=2Fl; 6) A =Fl.

145. A =F(Cj-r,) = -17 Дж.

146. v =Jvl+2FR/m = 16 м/с.

147. A=ma*t²/S.

148. F=2asJl+(s/R)².

149. F=xlma².

150. A=mg(h+kl).

151. v=y]2(2gh-A/m) =2,0 м/с.

152. A = -kmglKl -/fcctga) = -0,05 Дж.

153. A_lp=-2F²/_Ymg=-0,12 Дж. 1155. F_ian[=(m_i + mJ2)kg.

156. A^kmgll2=28 мДх.

157. A = -(i-n)nmgll2 = -l£ Дх.

158. (P>=0, P=mg(gt-lysine).

159. P=mR«t, (P}=mRatl2.

160. (P) = -kmgvjl = -2,0 Вт.

162. P=Mgu/2.

163. A=mto²(r|-rj²)/2=0,20 Дж.

164. A_4>=m(w²-Uo-«o²r²)/2 = -0,10 Дх.

165. Л_т=к(Д/)²/2, где x = x,x₂/(x, + x₂).

166. A = 3mg/4a, b.U=mg!2a.

167. jr_o=3«/20=2,O m.

168. v=Jl(allm-g)=3,0 м/с.

169. F^c^b'Wа². См. рис. 6.

     а) г₀=2а/Ь, устойчиво; ( 1-170. А_яор=ж(1»²-^)/2 + а(х_гу₂-х₁у₁) = 6 мДх. 1.171. х=4л²и/3г₀т²=12 Дх/м³.

1.171 F=J-2a С//sin20 =2,4 Н.

173. Л=Я/2,

174. o=v'(4/27)gA.

175. m = AF/6g = 40 r.

177. F=^xm(2gl- и²) = 8 H.

178. ^ = x/₀²t₁(l_+n)/2(l-ri)². где л =mw²/x.

179. ft=2mg/x.

180. a) AZ=(l+yl+2xZ/mg)x xmg/x; б) £_l-Ej=mgZ(l+mg/2xZ).

x_talc=(g⁺j2ga^:aⁱ)m/x = 23 см.

182. A^mgOhzIl-Л,) = -11 мДж.

183. i_w=g(l-*),/m/2x = 0,62 м/с. 1 -cos«

1.184. Л =

Тр

2 cosft(sinft+itcosft)

185. tga₂= UjSmaj/^о*cos* a, -2(l/₂ - При (mu²/2)cosa, <(f/₂-(/,).

186. _Vmm^2gl(2-fi)/3, ДА_МЖС=2//3.

187. a) V=(M₁v₁+w_Jv₂)/(m₁+w₂); 6) iT=|i(v₁-v₂)²/2, где ц=т,т₂/(т,+ +ж₂).

189. £ = ji(i>²+i;²)/2, где ц =/И,М₂/(ж_|+т_г).

190. 

     Рис. 6

     а) АО^-ж^/гСж.+ж,); б) £_C0<=m₁u²/2₊OT₂i)²/2-in,²^/2(m₁+m₂).

1.191. u_c=Acy*mj/(m,+m₂). 1192. l^l^F/x,

193. M>3mg/x.

194. a) u=(2Af/m)^siii(»/2); 6) ri «1 -m/M.

195. h=Mv²/2g(M+m).

196. A = -\xgh, где ц=1иМ/(т+М).

197. v₀>j2kgl(l +ti) = 1,8 м/с.

198. AJC»-h(v,-Vj)²/2, где ц =m₁m₂/(m₁+m₂).

199. М=т(р₀^г +/>²-2p₀pcosa)/(p£ V)-

200. 1_т=alj (a+l₀mv² cos² a).

201. v₂=Jl?-v\, 90°.

202. cose'=(u_|i>₂/i>',uJ)ccs8.

203. а) я =2m_l/(m_i+m_J); 6) tj =4m,»»₂/(»»₁+m₂)².

204. m₂ = 3m,.

205. m_llm₂ = 1 +2cos8 =2,0.

206. v_jmB=s/2AE/\i, где \1=тМЦт+М), m - масса нейтрона.

207. К1=(1/2)сов²о = 0Д5.

208. 1^= u(l +^/2(n-l)) = 1,0 км/с.

209. Будет двигаться в ту же сторону, но со скоростью u' = (l- -^l-2ii)u/2. При ri«l скорость u' = rit>/2 = 5 см/с.

210. AK/K=(_kl+m/M)tg²f> +mlM-1 = -40%.

211. a) P = \i]jv] + vl; б) iT=n(i>² + i>₂)/2. Здесь ^«^/(т^й^).

212. sinft_Klrc=w₂/»l₁.

213. v'=-v(2-ti²)/(6-n²)- При r\%j2.

215. N = (aB -bA)ii, где k — орт оси z; l=\aB-bA\ljA²*B².

216. N=2bv/S7U.

217. Af=(l/2)»i£U₀r²cosa, M=(mi)o/2y)sin²acose = 37 кг-м²/с. 1^18. M=(l/2)mghtsm2a = 1,6-10"² кг м²/с.

219. а) Относительно всех точек прямой, перпендикулярной стенке и проходящей через точку О; б) | AM | =2m vlco&a,

220. М=т²\?lF_m = 1,2' Ю"² кг • м²/с.

1-221. Относительно центра окружности. | А М | =2^1-(g/a»²/)² mglf4>.

222. |ДМ|

223. Af=m<i>ujf².

224. w=2Jfcrf/u²,

225. Л=п²г₀.

226. v₀= J2gl/cost.

228. F=mv>lr£lr³.

229. M=Rmgt.

1J30. M=FRtl2sm(b/2) = 30 кг-м²/с.

231. M=Rmgtsaui. He изменится.

232. M'=M-[l^p]. Если p=0, т. е. в системе центра масс.

234. Sfc-Kvt^.nOvj-v,)], ще и =m₁m₂/(m₁+m₂>.

235. M=lmu₀/3.

1-236. t^mul/xtf.

237. T=2nyMjv³=225 суток.

238. а) В 5,2 раза; б) 13 км/с, 2,2-10 "⁴ м/с².

239. T=n^(r_l+r₂)³/2yM. Достаточно рассмотреть движение по окружно­сти, радиус которой равен большой полуоси данного эллипса, т. е. (г, + г₂)/2; по Кеплеру период обращения будет тем же.

1-240. r_m-r{lЯ^2/3-1).

241. Падение тела на Солнце можно рассматривать как движение по очень вытянутому (в пределе вырожденному) эллипсу, большая ось которого равна

радиусу R земной орбиты. Тогда по Кеплеру (2т/Т)²=(Л/2)³/.К³, где т -

время падения (время половины оборота по вытянутому эллипсу), Т - период

обращения Земли вокруг Солнца. Отсюда = 64 суток.

241. t=(it(<JyM)[(r+R)/2]^J'², где М и R - масса и радиус Луны.

242. Не изменятся.

243. ш=4я²/³/уГ².

244. M=m^2ym_cr_lr₂l(r_l+r₁), где т_с - масса Солнца.

245. E=K+U= -утт_с12а, где т_с - масса Солнца.

246. r„=(l±\/l-(2-ri)rism²c()r₀/(2-n), где r\=r₀v²₀lym_c.

1-248- г_т^1*{1ь11ут_с)^г-l)ym_clv\.

249. а) Рассмотрим сначала тонкий сферический слой радиуса р и массы ЬМ. Энергия взаимодействия частицы с элементарным пояском Ь S этого слоя (рис. 7) есть dU = - у (m6MI2l)wai)dt. Для треугольника ОАР по теореме косинусов /²= p²+r²-2ргcosft. Найдя дифференциал этого выражения, пре­образуем формулу для dU к виду, удобному для интегрирования. После интегрирования по всему слою найдем 61/= -утбМ/r. И наконец, интегрируя по всем слоям шара, получим U= -ymMjr.

б) F_r=-dU/dr=-ymM/r².

249. Рассмотрим тонкий сферический слой вещества (рис. 8). Построим конус с малым углом раствора и вершиной в точке А. Площади участков,

вырезанных этим конусом в слое, относятся как dS_x\dS₂=r*:r₂. Массы вырезанных участков пропорциональны их площадям. Поэтому силы притяже­ния к ним частицы А равны по модулю и противоположны по направлению. Дальнейшее очевидно.

Рис. 7

249. С(г«й) = -(уЛ//Д³)г, С(г^Д) = -(_УЛ//г³)г; <р(г«Д) = -3(1 - -r²l3R²)yM/2R, <р(/-»К) = -уМ/г. См. рис, 9.

250. G=-(4/3)nypl. Поле внутри полости однородное.

L2S3. р = 3 (1 - г¹/Я²) уМ²18яЖ⁴. Около 1,710® атм.

254. а) Разобьем сферичес­кий слой на малые элементы, каждый массы 6т. Тогда энергия взаимодействия каждого элемен­та со всеми остальными равна &U=-ymbmlR. Суммируя по всем элементам и учитывая, что каж­дая пара взаимодействующих элементов войдет при этом дваж­ды, получим U"-ym²l2R\

б) U=-3ym²/5R.

254. л,: а₂: а₃ = 1:0,0034:0,0006.

255. h*r\R/2 = 32 км; h=R(\/2-1)=2640 км, где R - радиус Земли.

256. h=Rl(2gRlvl-l).

257. Г=\/Зп/ур =1,8 ч.

258. h = R(gR/v²- 1).

259. |Др| =m^tgIfsm(a/2).

260. г=/уМ(Г/2 л)²=4Д'10⁴ км, где МиГ- масса Земли и период ее вращения вокруг оси; 3,1 км/с.

261. T*3mgl/2r\³R =0,20 Н, где U - радиус Земли.

262. М=4я^гЯ³(1+Г/т)²/уТ²=6 10²⁴ кг, где Т - период вращения Земли вокруг оси.

1264. а) v' =2пЩТ+^уМЩ=1,0 км/с; б) a' ={l+(2KRIT)jRfyMfyMIR²= =4,9 м/с². Здесь М — масса Земли, Г — период ее вращения вокруг оси.

Рис. 8

1.265. v₀-^/2gR(l-R/2a), где R - радиус Земли.

1266. Убыль полной энергии спутника за время dt есть -dE-Fvdt. Представив Е и о как функции расстояния г между спутником и центром Луны, преобразуем это уравнение к виду, удобному для интегрирования. В

результате: Т

1261. w,=l,67 км/с, и₂=2,37 км/с.

268. Au=/yM/5(l-v^) =

-0,70 км/с, где М я R — масса и радиус Луны.

268. Д o=(₁/2-l)_v/g^R = 327 км/С, где Я - радиус Земли.

269. v_r=jgR/i\ =5,0 км/с, где Л - радиус Земли.

270. Воспользуемся законом сохранения энергии в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром Земли: mv₃l2 = ymMIR ⁺ +mv*l2, где т — масса тела, и — его скорость вдали от Земли, масса кото­рой М и радиус R. И второе условие: v + V_r =у^/2К₁, где V_x - скорость Земли на орбите, \j2V_x — скорость, необходимая для того, чтобы тело смогло покинуть Солнечную систему. Исключив из этих двух уравнений v, получим:

v₃~\j2v\+{yj2-if И,² = 17 км/с. Здесь ы² = уMjR, *f = yMJr, М_с - масса Солнца.

268. 1=2ЬР₂1та = 1,0 м.

269. F=—^— = 13 Н, e = -^-(ctg«-l) = 12 м/с².

(l+ifc)sma 1+к

268. l=}aA-bB\jjA²+B².

269. а) b = (k+Flmg)l/2 = 30 мм; б) *m£<F<(l-Jfc)»i£.

270. A=(ll2a-l)kmgll2.

271. а) /=mf²/3; б) /=(m/²/12)siii²a.

272. I=m(a²*b²)/3.

273. /=тл²/6=4,0 гм².

274. а) J=npW?⁴/2=2,8 г м²; б) /=ЗтД²/10.

275. 1=та^г12. L282. /=тЯ²/4.

1-283. /_с =(/,*²-1₂х²)/(4 -Х²)=0,75 гм².

284. а) /₀=13тЛ²/24; б) /_с=37тД²/72.

285. /=2иД²/3.

286. ^(msKj-F^/^+MRj²),

где ось Z направлена за плоскость

рис. 1.54.

284. а) о> =gt/R(l+MI2m); б) *=и»£²Г²/2(1+М/2м). ЬШ. a=gmr²/I.

1.289. w = J6Fsin<p/ml. L290. F=mg/4.

1291. Л7=(2/я)т^//ю/²-1/12 = 1,2 Нм.

1.292 p- K-*ilg . ₌

(m^m^+m/DR' F₂ #*,(/»+4m,)'

т.-km, (m.-km.)km.g²t²

1.293. a) a=g 2 !_; _б) A = ²- ^l- Ц—.

Wj+Mj+m/l т+Цт^п^)

i-²⁹⁴- F^mgH-, F^mg/4.

295. t = v₀R(l+k²)!2k(l+k)g.

296. «j/n,=(tgft ⁺k)l(tgb -Л) = 1,3.

297. t=3a>RI4kg.

298. t=2Jlkmg = VJ c.

299. {<!>)= ti>₀/3.

300. $=2mgx/Rl(M+2m).

301. cos ft = 3g/2(d²/; если правая часть не менее 1, то 0=0.

302. <0 =j2g/I=6,0 рад/с; F=mgl₀/l=25 Н.

303. 8Mi>²

     v; б) F-

     a) Af = (l/12)m<o/²sinft, Af =A/sinft; б) tf=(l/24)w<o²/²sin2ft.

1.304. v' =<o₀llJl+3m/M.

, Зт-Ш

й' —

1.305. a) v'

Зм+4М /Ц⁺4М/Зт)²

306. a) v=(Mlm)^2gll3sia(a/2); б) Др =Afv/g776sin(«/2); в) х=2//3.

307. a) ю=(1+2«/М)ш₀; б) А = (1/2)тШоЛ²(1+2ж/Л/).

308. <р = -2ж,<р7(2т,+т₂).

306. a) w = -!—i——; б) А = -

А ^{+ /}2 . . ..

2(V₂)

4/./,Ш_а 27, А <о л

306. 7_{i +} 7₂

     а) М₂-М,= ——б) ¹

7_{i +} 7₂

306. ъл =MNt/(I₀ + mNa²t/2). См. рис. 10, ще <о_Щ1=2М1та

307. w =2\^l2Fl/3mR². _Ш1

308. и = (м//2я7) |JJjF₂- J?,F, |/^F? +F².

309. и = <о J?/2 sin ft = 3,0 м/с.

310. <j = (5/7)g sma, *>(2/7)tga.

311. JT=(5/14)mg²(²sm²e=0,ll кДж.

312. v=yj3glsine = 5,3 м/с.

313. F₄₁=/b)²/2s.

314. i)=V(10tf+4A)g/7 = 2,8 м/с.

315. а) p =2g/3R=5■ 10² рад/с²; 6) F = =2mg²f/3.

1-321. *' =2(g-a₀)/3, F=«(g-a₀)/3.

322. a =gsina/(1 +//i»r²) = 1,6 м/с².

323. F<3kmgj(2-3k).

UK a) a д _ F²t² (cosa - rjRf

m(l+Y) 2m(l+y)

Рис. 10

1.325. a=4g/5.

326. a=g(jn-M)/(A/+m+//£²).

F(3m.+2m,) F²t²(3m.+2m₂)

326. a) a = ——! ²-; б) K= _n \ ¹ -2-.

m^mj+mj) 2w,(mj+»t₂)

326. л, =F/(«₁+2M₂/7), л₂ = 2Л₁/7.

327. a) t = u>_gR/3kg', 6) A = -mu>²₀R²l6.

328. со =)/lQg(R+r)inr².

329. v₀=\/gR(l cose -4)/3 . L332. N=Rm u²/5s=20 мНм.

333. F=9J²l2ml=9 H.

334. a) s = nl/3; 6) K=lJ²jm.

335. to =2jgsin<pJl(cos²<p +1/3).

336. a) w=y(3«/2/)(l-sina), P = (3g/4Z)cosa; 6) sina=2/3, a =42°.

1-337. u_0Mm =j3gllc^b.

338. u_c=2u/(4 + q). При ti = 4 и ti>4.

339. v=<Jgkj2.

340. a) «' =mgljlu> =0,7 рад/с; 6) F=mto'²/sinf> =10 мН. Эта сила на­правлена в сторону, противоположную наклону волчка.

341. <а -(g+a)l/nttR²=3 ■ 10² рад/с.

342. ь>' =ml\/g²+a²/Iu> =0,8 ра^С. Вектор со' составляет с вертикалью угол ft =arctg(a/g) = 17°.

343. F'=2mR²wu>'/51=0,30 кН.

344. F_Mtrc= nrnR<p_mо)//Г=30 H.

345. N=2rcnIvlR = 6 кНм.

346. F_ao6=2nnIv/Rt = 1,4 кН. На такую величину сила давления на наружный рельс возрастет, а на внутренний уменьшится.

347. р = а £Д 7"=0,22 ГПа =2,2 • 10³ атм, где а - коэффициент линейного расширения стали.

348. а) р*о_тАг/г=2,0 МПа=20 атм; б) р"2а_тАг/г=4,0 МПа=40 атм. Здесь а_т — предел прочности стекла.

349. n = ^2a_mlp/izl=0,8-10² об/с, где о_ж - предел прочности, р - плот­ность меди.

350. п = у/о_я/р/2яЯ=23 об/с, где а_ж — предел прочности, р - плотность свинца.

351. x*³\jmgl2nd²E=2,5 см.

352. t=FJ2ES.

353. F=(l -r²jl²)ma>²l/2, Д1 = ри>^г1^г/ЗЕ, где р - плотность меди.

354. Д V=(l-2p)FZ/£=l,6 мм³, где |х - коэффициент Пуассона.

355. а) M = pgl²/2E; б) ДК/7=(1-2ц)Д///. Здесь р - плотность, ц - коэффициент Пуассона.

356. а) ДК/К=-3(1-2ц)р/£; б) Р =3(1-2ц)/Е.

357. a) ч>=Ш/2пг*Агв; б) <p=2lN/nr*G.

358. N=*(d}-dt)G<f>l32I=0,5 кНм.

     1359. Р_1аи.=(я/2)г⁴0фш = 17 кВт.

     1360. N=pm(r₂⁴-r⁴)/2(r_}²-r₁²).

361. U=mEe²l2p = 40 Дж, где p - плотность стали.

362. а) U=(n/6)r²l³p²g²IE; б) г/=(2тг/3)г²/£(Д///)². Здесь р - плот­ность стали.

363. А = л²Ав³Я/6/=80 Дж.

364. t/=Jtr⁴G<p²/4/ =7 Дж.

365. « = Gcp²r²/2/².

366. u = Pp²g²A²/2=23,5 кДж/м³, где Р - сжимаемость.

367. P_i^>Р₂> tJ,< и₂. Плотность линий тока растет при переходе от точки 1 к точке 2.

368. Q=S₁S^2gAhl(sl-Sf).

369. Q=S_sJ2gAkp₀/p.

370. r=r₀/y'l+2gA/uj.

371. /' = Z(n'²-l)/(tl²-l)=5/.

372. A = A₀/2=25 см, г_мая:с=Л₀.

373. >4 = p V³j2s²t², где p - плотность воды.

374. a=-g/(r)²-l), a=10"V

375. т =(,Sls)i/2hJg.

376. < = (А/Зл)у/ЗД-

377. u = <oAv/2i/A-I.

379. F=2pgSAA=0,50 H.

380. F=pgbl(2h-l)=S H.

381. a) p = 2pSRv; 6) F=2pSv².

382. N=plQ²l*r²=0J Нм.

383. Сила направлена вправо, F=pu²(5_l-5₂)²/2S,= 1,3 кН.

384. а) Параболоид вращения: z = (w²/2#)r², где Z - высота от поверх­ности жидкости на оси сосуда, г - расстояние от оси; б) р =р₀+ рш²Г²/2.

385. jP = тег| а>²Л⁴/А =9 Вт.

386. и = и₀1п(г/Л_г)/1п(Л₁/Л_!).

387. а) «=-^-7" ЛЧЬ ^б>

Щ-RI [R² Г²J r^-R²

379. v = v₀(l-r²/R²).

380. a) Q = kv₀R²/2; б) JT= w/Л²рв) F_Tp=4nr|iu₀; r) Ap=4r\lvJR².

381. Q, = (A³/3ti)pgsina.

1.391. В левом конце трубки дополнительный напор Л h =5 см сообщает кинетическую энергию жидкости, втекающей в трубку. Из условия р 1^/2 = = р#Дй получим v=<j2g\h = 1,0 м/с.

1J92. Искомое отношение равно ехр(аДд:) =5.

1.393. u₂=u₁r₁p,ii₂/r₂p₂ti₁=5 мкм/с.

L394. d= yi8Reri²/(p-p₀)p₀g=5 мм, где р₀ и р - плотности глицерина и свинца.

1Л95. Г=-(р</²/18п)Ья=0Д0 с.

396. v =С\/г| (2 - г)) =0,10 С, где с - скорость света.

397. a) tga'=tga/Vl-p², ще Р = и/с; «'=49°; б) -P²+tg²a = = 3,8 м, J'/Z₀=0,66.

398. Z₀=^(l-p²siii²«)/(l-p²) = l,08 м, где Р = и/с.

399. /₀=Ддс(Г₃-»₂)/^(Г₂-Г₁)²-(ДД:/С)².

400. u=C\/(2-At/0At/t=0,6-10* м/с.

401. Z₀=cAtVl-(A'M«')²=4,5 м.

402. 5=сДГ^1 -(ДГ₀/ДГ)² = 5 м.

403. а) Д£₀=(//в)^1~(v/c)² = 1,4 мкс; б) /'=/^1 -(г»/г)² = 0,42 км.

404. /₀= иД(/^1 -(v/c)² = 17 м.

405. /₀=^Д*,Дж₂ = б,0 м. и=с^/1-Ддс₁/Дх₁ = 2Д-10* м/с.

406. _и=(2уДО/[1₊(/₀/сДг)²].

407. Частица, двигавшаяся впереди, распалась позже на время Д? = =JP/C(1-P²) = 20 мкс, где Р = и/с.

408. а) /„=[*,-*,- u(f₄-f_B)]/7l -WO²; б) t_A-t_B={\-Jl-(vlc?)l₀lv или t_B-t_A = (l+\/l-(vlc)²)l₀lv.

409. а) t(B)=l₀/v, t{B')={l₀lv)yll-(vlcf-, б) t(A)=(.l₀lvUl-(vlc)², t(A')=l₀/v.

410. С "точки зрения" If-часов см. рис. 11.

Рис. 11

1.411. i=(l-VT^rP⁵)c/p, где Р=И/с.

1412. Для этого необходимо убедиться, что при f₂ > и f₂' > . L413. а) 13 не; б) 4,0 м.

414. v'=^V_x-V)²^v²_y(l-V²lc²)f(l-v_xV/c²).

415. a) ds/dt= Uj= 1,25 с; б) и = ( и, + u₂)/( 1 + и, о₂/с²) = 0,91 с.

416. /=/₀(1 -р²)/(1 +р²), ще Р ⁼ vfc.

417. 1.418. 5 = ДГ„

     " =^и²+ и² - ( Uj/c)².

, ще Р=*7с.

(1-P²)(1-»'²/C²)

419. tgft'=(Vl-P²sinft)/(cosO-K/u), тае Р=К/с.

420. tgft=«>'V7cVl-(K/c)².

421. a) e'=a(l-р²)^3/2/(1 -pt»/c)³; б) а'=а(1~Р²). Здесь p = F/c.

422. Воспользуемся связью между ускорением а' и ускорением а в

системе отсчета, связанной с Землей: а'=(1 - t^lc²)'^²dvldt. Эта формула приведена в решении предыдущей задачи (пункт а)), где следует положить V-v. Проинтегрировав данное уравнение (при a'=const), получим v=

=a't/Jl +(a't/c)². Искомый путь /=(>/1 +(a'f/c)²-l)c²/a'=0,91 светового года; (с - i»)/c=(c/a'f)²/2=0,47%.

419. dt

     ■ In

     Имея в виду, что v=a't/^ 1 + (a'tjc)², получим

а'г

= 3,5 мес.

о VWaT/c? ^а'

419. m_r/m = l/v/5«f «70.

420. u=cVri(2 + ii)/(l+r)) = 0,6c.

421. (с -1О/с = 1 - 1/y/l +(тс/р)²= 0,44%.

422. u=(c/ri)vV-1 = 0,70 с.

423. i4=0,42wc² вместо 0,14отс².

424. v=C\fb[i=2,6-10¹ м/с.

425. При г)«1 отношение JT/mc²<4ti/3 = 0,013.

1.431 .р=Щк *2тс²)/с= 1,09 ГэВ/с, где с - скорость света.

432. v=2pK/(p² + K²lc²) =0,87 с.

433. F=(I/ec)\/K(K+2mc²), Р=КЦе.

434. ДЕ/м =(l/Vl-(«>/c)²-l)c² = 3,6• 10" Дж/кг.

435. v=clJl+(mc/Ft)², s*(\l 1⁺ (Ftlmcf -1) mc²/F.

436. F=mc²/a.

437. а) В двух случаях, когда F||v и Fxv; б) F_x = ma/^l-р², Р„=»а/(1-р²)³« где P = i>/c.

1.439. e'=ey/(l-|J)/(l + P), ще P = K/c, K=3c/5.

441. v=cJl-(2m/M)².

442. а) t=2mc²{\jl +К/2тс^г -l)=777 МэВ; б) p=JmEj2 = 940 МэВ/с, где с — скорость света.

443. М=^2т(К+2тс^г)/с, V=o/K/(K+2mc²).

444. К'=2К(К+2тс²)/тс^г = 1,43-10³ ГэВ.

445. Е_1ию=[т$ + mf - (т₂ + т₃)²]с²/2т₀. Частице т, будет иметь наибольшую энергию в том случае, когда энергия системы двух других частиц (т₂ и т₃) будет наименьшей, т.е. когда они движутся как единое целое.

446. u/c=[l-(m/»t₀)²"^/eMl +(т/т₀?^и,с]. Воспользоваться законом сохранения импульса (подобно решению задачи 1.136) и релятивистской формулой преобразования скорости.

1. Отношение F^/F^ равно соответственно 4 10⁴² и 1 10³⁶; q/m=0,S6x

xlO"¹⁰ Кл/кг.

2. q_{1 = l^4m₀F(l ±JT+fJf) = + 1,20 и -0,133 мкКл или те же значе­ния, но с противоположными знакэми.

3. + *З ⁼ (^ri⁺ )/⁺ fii)•

4. q = lfi2nz₀mg$a?а. / \/9-12sin²a = 0,50 мкКл.

5. dq/dt = 1,5 ite₀mgft = 0,40 нКл/с.

6. a=s/3q²/20iie_oml¹= 13 м/с².

7. &F=qq₀/SK²z₀R² = 50 H.

8. E=2,7i - 3,6j, £=4,5 кВ/м.

9. E=ql/y/2Kt₀(l² + x²)³'² = 9кВ/м.

10. E=¹}q/4itz₀l² = 1,0 кВ/м.

11. E=q/2it\R² = 0,l0 кВ/м.

12. E=ql/4nz_g(R^z+l²)³¹². При /»Я E = q/4nt_Ql², кэк для точечного заряда. E_lItKe = q/6</3nt₀R² при l=R/Jl.

13. E=X/4ne₀R.

14. Е=о/4г₀= 1,7 кВ/м.

15. E=ol/2tjR²+l².

16. E=qX/4itz₀R.

17. а) E=X₀/4e₀R; б) E=X₀R²/4t₀(x² +R²)³'², при Ж»К E*p/4nt₀x\ ще p = nR²X₀.

г18. а) E = q/4nz₀r^]r² + a²-, б) Е = q/4lte₀(r²-a²). В обоих случаях при г»а напряженность Е « q/4nz₀r².

19. E=X\j2/4-Kz^y. Вектор Е направлен под углом 45° к нити.

20. з) Е = Х^2/4*е₀Я; б) £=0.

21. Е= -аг/3е₀.

    222. Е = -ко₀/3е₀, где к - орт оси г, от которой отсчитывается угол О. Как видно, поле внутри данной сферы однородно.

    223. Е= -*Я²/6г₀.

    224. Е_х=а(х*-а^г)12г₀, Е = \Е_Х\.

25. Е_шт = X/ite₀J = 40 кВ/м.

26. F = А.²/2е₀.

27. Е=о₀12е₀, направление вектора Е соответствует углу <р=я.

28. a) f=og/6e₀; б) f=a²/²/2e₀.

29. ^ = 4яе₀аЛ. 230. р = 4е₀аг.

31. a) E(r^R) = р₀г(1 -Зг/4Л)/Зе₀, £(r= p_QR³/l2t₀r²; б) £„„„= = Р₀Д/9е₀ при r_m = 2R/3.

32. q=2itR²a, £=a/2e₀.

33. Е = ар/3е₀.

34. Е = ар/3г„.

2-³⁵- ^vu*c ⁼ 4l\J^6lteo^ma-

236. Д<р = (l ~l/i/l+(l/R)²)q/2nt₀R = 12 кВ.

2.37. <р, - ф₂ = (Х/2яе₀)1пг1 =5 кВ.

238. Л =(l-ll\/l+(llR)²)q'ql4iie_gR = 0_y10 Дж.

Рис. 12

5

a

2.39. q> = (y'l +(/J//)² - l)a//2e₀, E = (l-1/y/l + (Д/г)²)°/2г₀. При I -0 потенциал <p = oR/2t₀, E = o/2e₀; при /»if потенциал <p = g/4ice₀Z, E * ^/4я8₀/², где д=аяЯ². Z40. <p = аЯ/2е₀. 2.41. <p =aR/itc₀.

2.42.3) ф₀=3$/8ле₀Л; б) <р= ф₀(1-/^/ЗЯ²), гЩ.

43. Б = -Ж, т.е. поле однородное.

44. а) Е =-2a(xi-yj); б) B=-e(yi+*j). Здесь i и j и у. См. рис. 12, соответствующий случаю а> 0.

45. Е =-a(y-6z)//l0=-6,0a.

46. E=yE* + El = 0>/4яе₀г³)^1+Зсов²Ф, где £_г - радиальная, — перпендикулярная к ней составляющие вектора Е.

47. Л = ³_у/р/4яе₀£₀.

48. q>*(A.//2ire₀r)cosO, £ » А.//2яе₀г².

49. p=al³/6.

50. 2.51. ф =

    		9/
    —	Ч j	0 /RV2. х

    Рис. 13

    а) p=2qafn; б) £ = $д/я²е₀г³.

где £ — проекция

4яе₀ (r² + x²)³¹²' ¹ 4яе₀ (д² + х²)^5/2 вектора Е на ось X. Графики этих зависимостей показаны на рис. 13. При |аг|»Я потенциал <p~ql/4nt_Qx² и E_x~ql/2n£₀xⁱ.

52. A=pE_t, от £_г не зави­сит.

53. а) Сила F = 0; б) F = =-Ар/2яе₀г²; в) F = Ар/2яе₀г².

54. £ = 3р²/2яе₀/⁴ = 2,1х

х10¹⁶ Н.

52. а) ф= -адсу +const; б) <p=ay(y²f3-x²)+const; в) ф= = -у(ах + bz) + const.

53. p = 6e₀ax.

2^7. р = 2г₀ДфId¹, £ = pd/e₀.

58. p = -6e₀a.

59. q =4Цке₀хх.

60. / = je116пt₀E = 6,0 мкм.

61. A = $²/16*e₀Z = 0,15 Дж.

62. F = (2\/2 - l)q²/8ize₀l².

63. F = (2y5 - 1)д²/4яе₀/²= 8 H.

64. F = (2y/2-l)q²l32nt₀l² = 3,3 H.

65. F = 3/>²/32rce₀/⁴.

66. a = -gZ/2n (Z² + r²)³'².

2-⁶⁷- a) F_w=X²/4ffe₀Z; б) а = М/я(/² + х²).

орты осей х

2.68.а) o = A/2*Z; б) о(г)=А/2я^²+г². Z69. о = ₉//2я (Z² + Л²)³'² = 70 нКл/м². 2.70. ф = $/4*e₀Z = 15 кВ.

71. v = ql4KtjR² + l* =0,18 кВ.

72. 2.73. q₂'-q_lb/a; <р =

    			х2		X
    Х1

    Рис. 14

    <p = (l/r-l/*,+ l/lf₂)?/4iie₀=l,0 кВ.

q. (l/r-1/а) при

— X'

4we₀ ц1-Ь/а)/г при

74. а) £_и=Д(рМ, Е_и = Е_м = Е_п12\ 6) |o_t| = o₄= е₀Д<р/2<*, °₂=|a₃| = = Зе₀Д<р/2

75. Д q=qlld.

76. -q(l-x)ll, q₂ = -qx/l. Указание. Если заряд tf мысленно "размазать" по плоскости, проходящей через этот заряд и параллельной проводящим плоскостям, то заряды q_l и q₂ не изменятся. Изменится только их распределение, и электрическое поле станет простым для расчета.

77. dF/dS = о²/2е₀ = 0,12 кН/м².

78. F=q²l32m₀R² = 0,5 кН.

79. F = icR²olf4t₀.

80. w=pe₀£²/2=pE/2.

81. F=3P/>²/4tc²e₀/⁷.

82. а) x₀ = Rlfi; б) x_t = 0,29R (отталкивание), *₂ = 1,1 Л (притяжение). См. рис. 14.

83. P = q(e-1)г/4лег³, q' = = -q(t-l)/e.

84. a'=q(e_l-t₂)/4nt_lt₂a².

86. Заряд -?(*"l)/e = = -2,0 мкКл; «'_мруж = «(е-1)/е = = 2,0 мкКл.

87. Величина р' = - р(е - 1)/е =

= -30 мкКл/м³.

86. 

    См. а) рис. 15, б) рис. 16.

2.89. Е = (Е₀/е)^cos²a₀ + e²sin²о₀ = 5,2 В/м; tga = etga₀, отсюда «=74"; (x' = e₀(I-l/e)£₀cosa₀ = 64 пКл/м².

90. cosO = a/e₀(l-e)E, a<0.

91. a) fEdS = -^-nR²E₀cos»; 6) fDdr = -e₀(e-l)2£₀sinO.

92. a) E(l<d) = pl/tt₀, E(l>d) = p<f/e₀; if(l^d) = -p/²/2ee₀, <p(f = = -(rf/2e +l-d)pd/t₀. См. рис. 17, где p>0.

6) o' = pd(e-l)/e, p' = -p(e-l)/e.

90. a) E(r<R) = pr/3e₀e, E(r>R) = pR³l3e₀r²;

6) p' = -p(e-l)/e, a' = pR(e -l)/3e. См. рис. 18.

90. В = -Pd/4e₀R.

91. В = -P₀(l -x²/d²)/e₀, U = 4P₀d/3t₀.

92. a) £, = 2e£₀/(8 + l), £₂ = ²V(^{e+ 1})> D_x = D₂ = 2ге₀£₀/(г +1); 6) = E₂ = EJt, D_x = D₂= i₀E₀.

93. a) E^E^Eq, D^ t₀E₀, D₂=eZJ,; 6) = E₂ = 2E_QKe +1), D, = = 2e₀£₀/(e₊l), 0,-tZV

94. £ = ^/2яе₀(е +l)r².

95. а^_жс=(е-1)е₀£ = 3_>5 нКл/м², = яЛ²(с-l)e„£ = 10 пКл.

96. a) a' = -ql(e -l)/2itr³(e +1); 6) =-g(e-l)/(e+1).

97. F = «²(e-l)/16ite„/²(8+l).

98. Z) =^/2я(1 + e)r² в вакууме, D = eq/2it(l + t)r² в диэлектрике; всюду £ = 0/2яг_о(1+е)г², <р = $/2ite₀(l + e)r.

99. о' = $/(е-1)/2яг³е(г + 1); а'-0при/-0.

100. a' = ql(t -1)/2яг³е.

101. E, = PA/e₀d (в зазоре), Ej = -(1 -Л/Й)Р/е₀, D, = D₂ = PA/d.

102. р' = -2«, т.е. от г не зависит.

103. а) Е=-Р/Зг₀.

104. Е=ЗЕ₀/(е+2), Р=Зг₀Е₀(г-1)/(е +2).

105. р = р₀е/(е — 1) = 1,6 r/см³, где 8 и р₀ - диэлектрическая проницае­мость и плотность керосинз.

106. F=q²V(e -1)/8я²ее₀г⁵.

107. C=4m₀eRJ(l +(e= 1,9 пФ.

108. Уменьшилась в (е + 1)/2=2,0 раза; q=CU(e-1)/2(е +1) = 1,0 нКл. 2.113.3) С-е^/Ц/е,**/,^); б) o' = t₀U(e_l - 8₂)/(8,dj+ e₂d,). 2.114.3) C = e₀(e₂-e₁)S/dln(e₂/e₁); б) p'= -q(e₂-t^jdSt².

115. a) C=4ne₀eabl(b-a); 6) С=4яе₀а/1п(Ь/а).

116. a) С=2яе₀е//1п(Ь/а); 6) C=2itt₀la/(b-a).

117. С=2пг₀(1+г)аЬ/(Ь-а).

118. C_w*n8₀/ln(fc/a) = 7,l пФ/м.

119. С = 2яе₀/1п(2£/д).

120. С«2яе₀еа. Указание. При А» а можно считать, что заряды распределены по поверхности шариков практически равномерно.

121. С=4яе₀а.

122. а) С^ = С, + С₂+С₃; б) С^ = С.

123. а) С = 2e₀S/3<f = 0,13 нФ; б) С = 3t₀S/2d = 0,29 нФ.

124. l/,(l + С₁/С₂) = 9 кВ.

125. 17=г7(1+Зт1+п²)=Ю В.

126. C_X=C(J5-l)/2. Так как цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, можно заменить емкостью С,, равной искомой.

127. t/, = 9/Cj = 10 В, U₂ = q/C₂ = 5 В, где заряд 0 = («Р^ " <Р_Я+ + £)С,С₂/(С, + С₂).

128. Направление Е в конденсаторах совпадает с направлением обхода контура по часовой стрелке. U_{ = (^- £^)/(1 + С,/С₂) = 3,0 В, U₂ = (W₂~ -^₁)/(1₊С₂/С₁)=2,0 В.

129. а) - <р_а = %(С_гС_ъ- С,С₄)/(С, + С₂)(С₃ + С₄); б) <Р„- -Г.С.ЖС. + С. + Сз).

130. q = 1//(1/С, + 1/С₂+ 1/С₃) =0,06 мКл.

131. = £С₂, $₂= -&С₁С₂1(С₁ * С₂).

132. ?₁ = ^С,(С₁-С₂)/(С₁ + С₂)=-24 мкКл, ?₂= ^(С₂-С,)= +60 мкКл. 2-133. Ср^гсууСзСС, + С₂)/(С, ₊ с_{2 +} 2С₃).

134. и^ = с/у/2яе₀та = 2,25 • 10² м/с.

135. Ж₄-(^ + 4)_?^г/4я8₀а, W_e={fi-4)q²l4m₀a, W,=-fiq²l4Tzz₀a.

136. W = (jl +(I/R)²- l)q₀qRI2nt₀l².

137. а) Ж_м=-₉²/8яе₀/; б) И^ <?²/16яе₀/.

138. Л = 2t₀E²Sd = 30 мкДж.

139. ДЖ = - £/²С₁С₂/2(С, + С₂) = -0,03 мДж.

140. а) <? = ^²СС₀/(2С + С₀); б) <? = С^/2, от ^ не зависит.

141. Ж=Ж₁₊^₂₊Ж₁₂ = (q²/2R_{l +} ^/гя, ₊ ^₂/Я_г)/4я8₀.

142. а) W=3q²/2Ont₀R; б) Ж,/Ж₂= 1/5.

143. W = (1/а - 1/Ь)д²/8яг₀г =27 мДж.

144. W = q²l32nt₀a.

145. A = (1/JJj - l/R₂)q²ISm₀.

146. A = д($₀ + д/2)(1/Я,- l/*j)/4we₀= 1,8 Дж.

147. F_n=o²l2e₀.

148. A = (1/a - l/b)q²l$ite₀.

2.149; a) A=q²(x₂-x₁)/2z₀S; б) Л = e₀SI/²(Xj-xjllx^.

150. a) A =CU²ri/2(l-t))²= 1,5 мДж; б) A = -1)/2[e-ii(e - -1)]² = 0,8 мДж.

151. Ар =г₀е(г - l)U²/2d² = 7 кПа = 0,07 атм.

152. h = (e-l)a²/2e₀epg.

153. F =яйе₀(е -1) U²/d.

154. N = e„(e - l)R²U²/4d, от угла а не зависит.

155. I = 2m₀aEv = 0,5 мкА.

156. 1 * 2яе₀(е - l)r v U/d = 0,11 мкА.

157. а) 5Я/6; б) 7Я/12; в) ЗЯ/4.

158. Я₁ = я(^-1).

159. Я = (1 + +4R₂jR_l^]) RJ 2 = 6 Ом. Указание. Поскольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, могут быть заменены сопротивле­нием, равным искомому сопротивлению Я.

160. Подключим мысленно к точкам А и В напряжение U. Тогда 17=/Я=/₀Я₀, где I - ток в подводящих проводах, /₀ - ток в проводнике АВ. Ток /₀ можно представить как сумму двух токов. Если бы ток I "втекал" в точку А и растекался по сетке на бесконечность, то по проводнику АВ — из симметрии — шел ток //4. Аналогично, если бы ток I поступал в сетку из бесконечности и "вытекал" из точки В, то по проводнику А В шел тоже ток //4. Сумма этих токов /„ = //2. Поэтому Я = Я₀/2.

161. Я = (р/2я/)1п(Ь/а).

162. Я = p(b-a)/4icab. При Ь-оо Я = р/4яй.

163. р = 4пШЬ/(Ь-а)СЫг\.

164. Я = р/2ял.

165. a) j = 2alUIрг³; б) Я=р/4яд.

166. а) j = Ш/2рг²1п(//а); б) Я_г = (р/я)1п(//а).

167. /= 1/С/рег₀= 1,5 мкА.

168. ЯС=рег„.

169. о = D_f = Dcosa, У = (2>/рге₀)япа.

170. /= l/S(o₂-a₁)/dln(a₂/o₁) = 5 еА.

172. $ = е₀(р₂-р,)/= -15 аКл.

173. о = tjala₀ = 2,0 мКл/м³.

174. a = e₀l/(E₂p₂-e₁p₁)/(p_ld₁+p₁<ij); о=0 при e,_Pl=E₂p₂.

175. ^ = Е₀/(Е₂р₂-Е₁р₁).

176. a) R_t = 2a/ita*; б) £ = 2а//ла⁴.

177. t = -ДС1п(1 - UIU₀) = 0,6 мкс.

178. p = т/е₀еЫ2 = 1,4-10¹³ Омм.

179. / = (2T/R)(,r\ -1)е"^ч''*^с. ^;

180. U = «"/(л +1) = 2,0 В.

181. = - -4 В.

182. R=R₂-R_l, Дф = 0 у источника тока с сопротивлением R^.

183. а) /=«; б) Ф^~Ф, = 0.

184. I = (a/2R)²(jl+4RU₀la²- l)².

185. J? = 5 Ом. Дута еще будет гореть, когда прямая U=U_Q-R1 станет касательной к кривой графика на рис. 2.40.

186. «р^-<р_в=(Г₁-^)Л₁/(Я,+/г₂) = -0^ В.

187. /, = ^R₂l(RR_l + R_lR₂ + R^R) = 1,2 А, /₂ = /.Л,/^ = 0,8 А.

188. U = U_t)Rxl(Rl*R_g(l-x)xll), U(.R»R„) = и_ох/1.

189. ^(^Jtj+^U^/^ + JJj), R^R^HR^RJ.

190. I = (R_l%_l-R₂g_i)l(RR_i + R_iR₁*R_lR) =0,02 А; направление тока - слева направо (см. рис. 2.44).

191. а) /. = ^ ^{1 3}- = 0,06 А; б) Ф. - Ф. = £ - /.Л. = 0,9 В.

¹ r₁R₂+R₂R₃^R₃R₁ ' ^а ' ^{1 1 1}

+R.) + Z.R,

172. / = 2 2 . От R. не зависит.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 3