Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Иродов текст.docx

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2019

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

1.1. Кинематика 3

s=J vdt, (l.lr) 3

w =d(f/dt, ^ = dv>ldt. (1.1д) 3

20 t,c 5

12. Основное уравнение динамики 16

K = K*mv²_c/2, (1.3л) 41

if> = ~ymlr. (1-4в) 84

-С±) |h 183

4 183

1,0 218

tg,,^^. ₍з.З е) 421

v-ujfi, /-/„V5. 579

= JL 600

1,0 620

о о' о О' 625

С 650

a) ⁶F- б) ⁴0_1/2; в) ^$F₂; г) д) ³Р₀; 691

^гД^е
1=лпо_СТ^+и.р ^{+ 2и}™л- 719

S = ktaCl, 729

с/с_м 745

4/./,Ш_а 27, А <о л 775

и = 0,1,2,... 801

= UjClL-(RC!L? = 1,0 А, /₁₌ Uv/CTI = 1,0 А. 3.171 tg<p = [»С(Л²+й>²/.^г) - «1]/Д. 804

® 812

R^*R^R^* R₃R_l

/= U(Ri- R₁)I2R₁R₁= 1,0 А. Ток течет от 1 к 2.
R_ab = R₂(R_j + SR_l)l(R_l + 3£j) = 70 Ом.
C/ = (l -e²"*^c)£/2.
a) <?=4$²*/3Af = 20 кДж; б) (? = 1п2 «²Я/2Дг = 0,13 МДж.
R = 3Rq.

2.201. Q*I(g-U)= 0,6 Вт, Р = - 07 = -2,0 Вт. 2202. /= U/2R, P^-lfilAR, rj =1/2.

P = UI*5 Вт, где I л U - значения тока и напряжения в точке пересечения прямой / = &IR_t~ U(R+R_t)/RR_t с кривой графика (см. рис. 2.53).
R_x=R_lR₂/(R_l + = 12 Ом.

2305. R=R_lR₂KR_l*R₂), <?„« = (Г,у ^Я^^ЗД + Л,). 2.206. <? = C&¹RJ2(R_l + R₂)=60 мДж.

2.207-а) ДЖ=-С1/²п/2(1-п) = -0,15 мДж; б) Л = С^²ц/2(1-tj) = = 0,15 мДж.

2308. ДЖ=-(е-1)СУ²/2=-0,5 мДж, Л =(е-1)С1/²/2 =0,5 мДж.

2.209. h ^в e₀(e - l)l/²/2pgd², где p — плотность воды.

2Л10. a) q = q₀txp(-tlt_otp); 6) Q = (1/a - 1/й)^₀²/8ле₀г.

2.211. a) q=q₀(l -е"^,/яс) = 0,18 мКл; 6) <?=(l -e"^2t'*^c)$₀²/2C = 82 мДж.

2Л12. a) I = (U₀IR)c^2,i*^c; 6) Q=Cl7²/4.

ejm = /иг/дД = 1,8 • 10^u Кл/кг.
p=Ilm/e =0,40 мкН-с.
a) t = enlSjl = 3 Mc =35 сут; 6) F = enlpl= 1,0 MH, где p - удельное сопротивление.
£ = (II2m_ar)Jml2eU = 0,32 кВ/м, Д<p = r£/2 = 0,80 В.
a) p(x) = ~(4f9)e₀ax'²¹³; 6) j = (4/9)t_l)a³'²^2eJm.
n = Id/e(Ug + «о")СЛ5 = 2,3 • 10* см"³.
a₀=w₀/²/2tf₀.
a) n_f = /_MC/cK = 6'10⁹ cm"³-c^_1; 6) n = у/л^г = 6• 10⁷ см"³.
* = (л - 1)/у/гЛ| = 13 mc.
f = e₀n U/en^² = 4,6 сут.
I = e\₀c"^d.
j = ijenja.
В = e₀|i₀u£sina = 3,0 пТл.
а) В = p₀I/2R = 6,3 мкТл; б) В = р₀Я²7/2(Я² +х²)^3/2 = 2,3 мкТл.
B=sj2ii₀II4R = 20 мкТл.
В = ( ц₀//4тег₀) ln( 1 + 2* ).
В =np₀/tg(ir/«)/2itfl. При и - оо В = р₀//2Д.
В = 4p₀//Ti<fsin<p = 0,10 мТл.
В = (я -<р + tgф) ji₀//2nЛ =28 мкТл.
а) В = ♦ ±); б) В = ₊ й].

4я ^ а Ь) 4я 2а Ъ )

В * \i₀hl/4it²Rr, где г - расстояние от прорези.
В = ц₀//я²Я = 28 мкТл.
а) В = ц₀я//4яД; б) В = (1 +Зя/2)ц₀//4яД; в) В = (2 + я)р₀//4яД.
а) В = (ц₀/4я)2//а; б) В = (р₀/4я)4//а.
В = >/2р.₀//4я / = 2,0 мкТл.
В, = (1 ₊ у^)ц₀//2/; В₂-(1-Д)|х₀//2/.
а) В = v/4 + я² р₀//4я Л = 30 мкТл; б) В = + 2я + я² ц₀//4я Л = = 34 мкТл.
В = (ц₀/4я)//Д. Вклад от токов в кольце равен нулю. 2-241. а) В = Ц₀1'/2; б) В = ц₀! между плоскостями и В = 0 вне. 2.242. £(*«*)-|i,Jx, B(x>d) = \i₀jd.

2.243. В полупространстве, где находится прямой провод, В = р₀//2я г, г — расстояние от провода. В другом В= 0.

В = (p₀//2itr)tg(0/2).
Этот интеграл равен р₀/.
В(г«Я) = р₀иг]/2, B(r>.R) = p₀[jr].R²/2r².
B = n₀[jl]/2, т.е. поле в полости однородное.
/(»■) = (Ь/р₀)(1 +а)г*~¹.
В = р₀л//^1 + (2R/1)¹.
Л = p₀n/(l -xlJx² + R²)/2, где х > 0 вне соленоида и X < 0 внутри соленоида; см. рис. 19.

B(r<R) = v'l - (h/lnR)² ц₀//А = 0,12 мТл, B(r>R) = р₀//2:гг.
ri =0,8 10³.
1. Ф_ад = p₀//4it = 1,0 мкВб/м.
2. Ф = Ф₀/2 = р₀и/5/2, где Ф₀ — поток вектора В сквозь поперечное сечение соленоида вдали от его торцов.

2.255. Ф = (\i₀j2it)INh 1пт) = = 8 мкВб.

2356. />_т = 2яД³В/р₀=30 мА м².

p_K = NId²/2=0,5 А-м².
а) В = р₀/ЛПп(Ь/а)/2(&- -а) =7 мкТл; б) p_m=nIN(a² + ab +

+ b²)/3 = 15 мА м². 2359. u>'=qB/2m. 2360. a) B = ii₀ou>R/2; б) p_m=nau>R*/4.

В = 2р₀о<1>Я/3 = 29 пТл.
p_m = q^R²!5, pJM = ql2m. 2363. В =0.

2.264. F_M/F, = р₀е₀ к² = ( к/с)² = 1,00 • 10'⁶.

а) р₀/²/4Л = 0Д0 мН/м; б) ц₀/²/к/=0,13 мН/м.
(Р_ад)_1ИЖС=Ро⁷²/^4яв-
B=*nd²aJ4RI = & кТл, где о_ж - предел прочности меди.

2.268. Р = «/|Ф₂-Ф₁|.

F = K\i₀n²I¹R²l2 = 12 мН.
В = (2pgS//)tg® = 10 мТл, где р - плотность меди.
a) W = (p₀/«)//₀(&-a); б) N = (p₀/it)//₀(b-a)sin<p. 2.272. В = Дmgl/NIS = 0,4 Тл.

2373. a) F = 2р₀//₀/я(4_П²- 1) = 0,40 мкН; б) А = (р₀а/уя)In[(2n + + l)/(2n-l)] =0,10 мкДх.

2.274. - -5,0 мкДж/м.

R «= ^₀/е₀lnt)/я = 0,36 кОм.
F_w= р₀/²/я²Я =0,5 мН/м.
F_n=n₀I²l/2n(a²-b²).
F^i^IJlnb)ln(l + Ь/а).
F_w = B²/2H₀.
Во всех трех случаях F^ = (в,² - В²)/2ц₀. Сила действует вправо. Ток в листе (проводящей плоскости) направлен за чертеж.
Др = /В/а = 0,5 кПа. 2281 /> = \i₀I²/Sk²R²= 16 мПа. 1283. /> = ц₀п²/²/2 = 1,0 кПа. 2.284. - fiFJwR = 1,4 кА.

2285. Р = vⁱB²d²R/(R + prf/S)²; при Л = prf/5 мощность F = F_liJIC = = u²B²dS/4 p.

U=\i₀I²/4-n²R²ne=2nB.
и = jBjeE = 2,5 • lO²* м"^э, почти 1:1.
a_o=l/iiB = 3,2-10"³ м²/(В с).

2289. a) F = 0; 6) F = \i₀IpJ2itr², FltB; в) F = \i₀IpJ2nr², Flfr. 2.290. F = 3 \i₀R²Ip_mx/2(R² + x²)⁵'². 2291. F = ЗИоР_1яР_1т/2я/⁴ = 9 нН. 2.291 Г*2Вх^э/у₀Я² = 0,5 кА.

В' = B<Jcos?а + n²sin² а.
a) $HdS = яЛ²ВсовО; б) <£ВЛ = (1 - n)B/sin0.

^J М-Ц-о ^J

2.295. a) P_пош ⁼ б) I' _ов = %I', в противоположные стороны.

2296. a) J = (aBJ ц₀)г²; б) / = (2аВ₀/ц₀)г.

См. рис. 20.
В = ^₁ц₁//(ц₁+ц₁)яг.
В =2В₀р/(1 + ц).
В = ЗВ₀р/(2 + ц).
а) В = 0 всюду, вне пластины Н = 0, внутри H=-J; б) В = 0 вне пластины, внутри Н = 0, В = ц₀1.

~д % 2301 Н_с = N111 = 6 кА/м.

V-

Рис. 20
Н»ЪВ\ p₀ic d = 0,10 кА/м.
В « ц₀/_г/(1 + bJ_r/2*aH_c) = = 1,0 Тл.

1305. При b«R \i*2itRB/(\i₀NI-bB) =3,710³. 2306. Я = 0,06 кА/м, и. = 1,0 • 10*.

Из теоремы о циркуляции вектора Н получим:

В « \i₀NIIb - {у._йк<ЦЪ)Н = 1,51 - 0,986Н (кА/м).

Кроме того, между В и И имеется зависимость, график которой см. на рис. 2.89. Искомые значения И к В должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Решив эту систему уравнений графически, получим:

И = 0,26 кА/м, В * 1,25 Тл и ц = В/1И₀Я = 4• 10³.

F = xSB²/2p₀.

2-309. а) х_т= 1/^4а; б) Х = И₀^/г»«сУ^/^/^_о² = 3,6-10-⁴.

X « х ИВ²/2р₀.
= р₀%п²1²/2, эта сила направлена вверх. 2312. В = (ц₀//2д)[1 -(1 +4/²/Л²)"³'²].

а) < = Л//яг²; б) F_w= р₀/²/яА.
«; = (n/2)a²JJwsina>r.
1. а) Z^lBvy/yjk-, б) Щ = By^Sajk.
2. а) Д<р =co²a²m/2« =3,0 нВ; б) Д<р "ыВа²/2 =20 мВ. Здесь m и С — масса и заряд электрона.

2.317. «;= \i₀lvl/2nr. 2318. 3=p₀/a²i>/2ir*(x+<l). 2.319. v = mgR/B²l².

a=g/(l + 1²В²С/т).
<P)=(.Ka>a²B)²l8R.
AZ(0 = (wS²B²/R)sa?v>t.
В = qRllNS = 0,5 Тл.
q = (p₀a//2n/J)ln[(i+a)/(fe-a)], т.е. от L не зависит. 2.325. а) / = ( р₀/₀ и/2*Я) ln(i/a); б) F = (ц₀/₀/2я)² In²(ft/a) • и/Я.
1. а) s = v₀mR/l²B²; б) Q = mvh2.
2. и = (1 -t'"^lm)Fla, где a = l²B²/R.

I_m = a>B₀(a -i)/4p = 0,5 A.
g_lm = na²N<s>BJ3. 2330. &_t = 3alBt²l2 = 12 мВ. 2.331. &=B₀NSuco&2u>t.
1. E(r<a) = v₀nir/2, E(r>a) = р₀и/а²/2г.
2. J = p₀nS<i//4p = 0,2 А, где p — удельное сопротивление меди.
3. «= -($/2т)В(Г).

<?=а²т³/ЗД.
/ = (Ь²-а²)РЙ/4р. 2337. I = J4nl₀L/n₀ « 100 м.

233$. L = (ц₀/4я)жЯ//рр₀, где р и р₀ - удельное сопротивление и плотность меди.

t = - (L/R) ln( 1 - ) = 1,5 с.
т = (ц₀/4л)ж//рр₀ = 0,7 МС, где р - удельное сопротивление, р₀ — плотность меди.
1_ад=(цц₀/2я)1пг1=ОДб мкГн/м.
£=(р₀/2я)рЛГ²л1п(1+д/Ь). 2.343. i_w=n₀A/fe = 25 нГн/м.
1. 1_ад=(р₀/я)1пг1. Точное значение £_вд = (р₀/4я)(1 +41nv)).
2. /=яа²ВД,= 15 А.

а) /=яа²В/1; б) A=n²a⁴B²/2L.
/=(1+ц)/₀ = 2 А.
/= [1 + (л - l)e~"^|R/i] Г/Я.
1. / = (1 - e~'*^/2i) %"jR.
2. /, = %Ц\К(Ъ_Х + 1^), /₂ = + Lj).
3. 1._12бд=р₀цл₁л₂5.
4. L₁₂=(ji₀b/2n)ln(l+a/l).

Z,_t2=(^₀pAJV/2it)ln(fc/a).
1,2= (₁i₀/2«)^₁iV₂(fc-a)ln(i/a).
а) р„яа²/2&; б) Ф₂, = р₀яа²//2&.
Ь_п=ЦЪ.
Ф = (р₀/2я)а/1п(1
В = p₀a²//4r³. Воспользоваться тем, что L_a = L_ll. 2359. p_m = 2aRq/ \i_gN.

2.360. р₀яа⁴/2/³.

/₂=-[1-cxp(-r«/I₂)]«i_I2/^-
Q=Lg-*l2R²(l + Я<,/Я)=3 мкДж. 2.363. »^г_ад=рц₀/²/16я.
1. W = N9112=0,5 Дж.
2. W*BHn²a²b = 2,0 Дж, где H=NI/2icb.
3. а) WJW_K*iib/*d = 3,0; б) L = \i₀SN²l(b + я<*/р) = 0,15 Гн.
4. L =[1/4 + 1п(Ь/а)]р₀/2я. Здесь необходимо воспользоваться определением L через энергию магнитного поля.

И;_д= ц₀Х²и>²а^г18п.
£ = Blfa[T₀ = 3 • 10» В/м.

2370. w_m/h-,= e₀p₀o)²a⁴/Z²= 1,1 10'¹⁵. ^а) W²ⁱ'> ^б> L_o6m = LI2.

Ь_д6щ = 4L.
Lu-JEfe.
а) /' = //2; б) ДЖ= -£/^г/2.

2.377. W^f_|2=((i₀ita"/2ft)/_l/jCOStJ.

а) }_ш = - j; б) 1_ш = Я/е₀гp.
Кроме тока проводимости следует учесть ток смещения.
Е_м = IJ e₀wS =7 В/см.
Я = #_Mcos(<of + а), где H_m = *Jo² + (e₀ew)²гUJ2d, а а определяется формулой tga =г₀еы/о.

j_cu(r<R) = e₀Br/2, ;'_CM(r>7?) = е₀ВК²/2г. Здесь В = ^₀n/_mw²sina>f.
a) j„'2qYl*itr³; б) j_M= -qv/4nr³.
j^³ е„[«Е], где Е напряженность электрического поля в центре

системы; /_см= ^Ъ2г\т² ф¹ /nq.

H = ?[vr]/4irr³.
а) Если B(f), то VxE = -ЭЪ/dt * 0, т.е. не равны нулю пространственные производные Е-поля, что возможно только при наличии электрического поля.

б) Если B(f), то VxE = -ЗВ/dt * 0. В однородном же поле VxE = 0. 2387. Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения VxH = j + dD/dt. Имея в виду, что дивергенция ротора всегда равна нулю, получим 0 = V'j +

+ 3(V-D)/dt. Остается учесть, что V-D = p.

Возьмем дивергенцию от обеих частей первого уравнения. Так как

дивергенция ротора равна нулю, то V^-(3B/dt) =0, или d(V-B)/3f = 0. Отсюда V' В = const, что действительно не противоречит второму уравнению.

VxE = - [«В].
E' = [vB],
о = t₀vB = 0,40 нКл/м².
Р = е₀(1-l/e)[vB], о' = е₀(1-1 /e)vB.
р = -2е₀юВ = -0,08 нКл/м³, а = е₀а«В =2 пКл/м². 2.394-а) Р= е₀(1 - 1/е)Вшг; б) X' = 2яе₀(1 - l/e)Bwa². 2.395. В = |i₀g[vr]/4it/-³.

2.397. X' = v₀I/c²= 11 аКл/м, N_l=X'/e=10 м"¹. 2398. В'= a[rv]/c²r², где г - расстояние от оси.

а) £' = ЕУ( 1 - p²cos²a)/(l - р²)=9 кВ/м, tga' = tga/уТ^р², «' = 51";

б) В' = pEsina/c^l-p² = 14 мкТл.

а) Е' = pBsina/cv/l-p² = 1,4 нВ/м; б) В' = 1 - p²cos²a)/(l - р²) = = 0,9 Тл, «' = 51°.

B' = Bv/l -(E/cBf* 0,15 мТл.
Пусть заряд # движется в положительном направлении оси X К- системы отсчета. Перейдем в 1Г'-систему, в начале координат которой этот заряд покоится (оси х' и X обеих систем совпадают, оси у' и у параллельны). В -системе поле заряда имеет вид:

Теперь совершим обратный переход в АГ-систему. В момент, когда заряд q проходит через начало координат ^-системы, проекции х, у вектора г связаны с проекциями х', у' вектора г' соотношениями дс = гссвв =

= х' (и/с) и у = Г sin ft - у'- Кроме того, согласно преобразованиям,

обратным (2.6к), Е_х = Е_х', E_y = E_y!\jl ~(v/c)². Решив совместно все эти уравнения, получим

E-FjlPi- Я* 1-Р²

Существенно, что при v = const вектор В коллинеарен вектору г. з.

и = J9tle/2m= 16 км/с.
tga = tl²JmJ32eU³.
x = 2EJt.
t = <JK(K + 2mc²)/ceE = 3,0 не.
tgft = yl-(v₀/c)²eEt/mv₀, где ей m - заряд и масса протона.
и = aicsin(dB^q/2mU) = 30^е.
а) и = геВ/т = 100 км/с, Т = 2кт/еВ = 6,5 мкс;

б) u = c/v'l + (тс/геВ)² = 0,51 с, T = 2nm/eB\Jl ~(v/c)² = 4,1 не.

if = Г|/ис². Соответственно 5 кэВ и 9 МэВ.
Д/ = 2п^2тU/eB²cosa = 2,0 см.
= 8я²1///²(В_г- -Bj)².
г = 2p|sin((p/2)|, где р = (iwu/eB)sina, <р = leB/mvco&a. ²-⁴¹⁶- r^'aexpf.vjb), где Ь = р₀е//2яж.

v=U/rB\a(b/a), q/m = U/r²B²]n(b/a).
а) y_H = 2it²mEn²lqB²; б) tga = v₀B/2nEn.
z = ltgj(qB²l2mE)y;

при г«l это уравнение упрощается:

у = (2 mElql²B²)z².

F = mEljqB = 20 мкН.
Д^ = (2я»^£/вB²)tgф =6 см.
₉/т = 2ЕАх/а(а + 2й)В².
а) *=а(й>г-я1шг), у =a(l-costof)» где a = mE/qB², ta = qB/m. Траекторией является циклоида (рис. 21). Движение частицы представляет собой движение точки на ободе круга радиуса а, катящегося без скольжения вдоль оси x так, что его центр перемещается со скоростью v = E/B.

б) s = SmE/qB²; в) {о_х) = Е/В.

СГ = 2(е/т)(р₀//4я)²1п(с/Ь).
В^ у/ВтU/e b/(b² - а²).

Рис. 21

у = (a/2ci>)?sin<of, х = (a/2o>²)(sina>f-wfcoswf), где a=qEJm. Траектория имеет вид раскручивающейся спирали.
и^2к^г\^гтгАг1е =0,10 MB.
а) К = (erBfj2m = 12 МэВ; б) v^ = ^Щт/кг = 20 МГц.
а) t = K²vmr²/eU = 17 мкс; б) s =4n³v²mr³/3e(/ = 0₎74 км. Указание. Здесь 3 oj^ иJn, где и, — скорость частицы после и-го прохождения ускоряющего промежутка (п меняется от 1 до N). Так как N велико, то £ }/п » jyjn dn,
«=2wvJF/eBc² = 9.
<о =<o₀/V 1 + af, где <o₀ = qB/m, a=qBAW/iim²c².
v = rqBI2m, p = r/2.
ЛГ = WleФ = 5 • 10⁶ оборотов, s = 2ягЛГ = 8 • 10³ км.
Производная по времени от импульса электрона dp/dt = eE = = («/2яг)г/Ф/Л, где г - радиус орбиты, Ф — магнитный поток внутри нее: Ф =тсг²{В). С другой стороны, dp/dt можно найти, продифференцировав соотношение р = егВ при г = const. Из сравнения полученных выражений следует, что dBJdt = (l/2)d{B)/dt. В частности, это условие будет выполнено, если Bq=(B)/2.
г₀ = _у/2В₀/За.
Действительно, dE/dr = — (B(r₀) - <В>/2) =0.

ДЖ = 2яг²«В/Дг = 0,10 кэВ.
а) W = (^1 + (геВ/тс)¹ - l) mc²; б) s = WAtjreB.

а) См. рис. 22; б) (vJAto)²* (х/А?= 1, а_х= -<о²х.
з) Амплитуда равна Л/2, период Т=я/а>; см. рис. 23; б) и² = = 4ы²дс(у4 -х), см. рис. 24.

33. а = 4Х^г + В².

3.4. дс = y'^ + (o_jt0/(o)²cos(<ol - я/4) = -29 см, и_х= -81 см/с. 3-5- <**№~4)l{x}-xt), a^(v]4-vlx²)l(v]-vl).

а) {|>)=За/Г = 0,50 м/с; б) <и> = ба/Г = 1,0 м/с.
В обоих случаях А - 7.

3-8- ь^'ЩЪаи.

47,9 и 52,1 с"¹, 1,5 с.
vj= (3Vj- v₂)/2 = 19 Гц, v^=(3v_I-v_l)/2=23 Гц.
а) х²/А² + у²В² = 1, по часовой стрелке; б) а=-м²г.
а) у² = 4х²(1 -*²/я²), см. рис. 25; б) у=а(1 -2х²/а²), см. рис. 26.
Т = 2п^т1а^ги₀.
Т*Ака^2та/Ь².
r=itVm7/F = 0^ с.
T=2Ki/x\llg(x\ - 1)= 1,1 с.
r = 2it/^g// + 2x/m = 0^ с.
T = 2-Jljg[nl2 + arcsin(a/P)].
Г = 2я\fEJfg = 0,52 с. 330. Т=к\/2V/Sg = 0,8 с.

T=2njV/gS(l + cosft) = 0,83 с.
T = V4itm/pgr² = 2,5 с.
При параллельном увеличится в два раза.
Т = -ti)m/x = 0,13 с.
Г = 2Я^Ш/(*, + Х₂).

336. Т = 2к^пфс, где х =xjx₂/(x, + х₂).

T=itj2llkg= 1,5 с.
г = (я/2)1»^/ж/х. 339. t" K/^/agcosa.

ft=/coswf, где w = v£/7; t₀ = (n/2)fijg.
a) £ + (g/R)x = 0, где ж — смещение тела относительно центра Земли, Я - ее радиус, £=9,807 м/с²; б) т = njR/g = 42 мин; в) и = у/£Я = 7,9 км/с.
T = 2it^/|g-a|, где |g-a| = Vg² + a²-2gacosp.
и =^х/от - <4=30 с"¹.
T = 2ic/^x/m - a>² = 0,7 с, со i/x/m = 10 рад/с.
/fc = 4it²a/gJ^ = 0,4.

336. а) Л = 3,0" cos 3,5 f; б) ft = 4,5° sin 3,5*; в) ft =5,4° cos (3,5 f + 1,0). Здесь t - в секундах.

F = (ж, + »«₂)g ± ж,ясг>²= 60 и 40 Н.
а) a_Mim = g/«²=8 см; б) a = (u>s/2hlg - 1 )g/<o² = 20 см.
а) у = (1 - cos<of)mg/x, где <о = ^фй; б) T_VXKe = 2mg, ^ = 0.
s=2F/x, t = яv^w/x.
(ж/г₀)²₊а(у/к₀)²=1.
f = itnyfmfx, где п = 1,3,5,...

а) у = (1 -cos<af)<»/<i>²; б) у = (ь>Г-ип<о1)Ф⁵- Здесь ю = /х/«.
3.46. а =

„ ж^ ² 2*А 3.46. в = —^£ +

х (m*M)g
ДА^д, = mg/x = 10 см, Е = m²g²/2x = 0,24 Дж.

3.45. о = (mg/*)₁/l + 2hx/mg, E = mgh+m²g²l2x.

v_c=itjgll8.
Запишем уравнение движения в проекциях на оси X и у: X = ыу, у = -слх, где <о = а/ж. Их интегрирование (с учетом начальных условий) дает: x = (d₀/w)(1-cos<ot), у = (u₀/o>)sni<of. Отсюда (х - и₀/ш)² + у² = (v₀/w)². Это уравнение окружности радиуса и₀/о> с центром в точке х₀= vjw, у_о = 0.
r = 2n^2//3g.

3.50. х =

см.

(1*^1-/^г/зф₀/2 = Юи 30

<о = J3g/2l + Зх/ж.
T = 2irV»t/3x.
a) T = 2it///3g = 1,1 с; б) E = mgla²l2 =0,05 Дж.
<Р„=<Р₀/1+тЯ²Фо/2*Фо> E = k_V²J2.
(AT) = mgltll& + ml² b\l 12.
Г=2я/<а.
1 = ml²(w\-gll)l(<*\ - (о²) = 0,8 г м².
w = (/, о>² + /₂+ /_г).
х = 1//12,

a) T = 2nj2Rlg; б) T = 2nfiR/2g,
/_пр = А/2,
Увеличится в \/l +2(J?/i)²/5 раз. Здесь учтено, что вода до замерзания

движется поступательно, и система ведет себя как математический маятник.

о>₀=^Заш²/2Л
а>₀= ^х/(ж + I/R²).
u₀ = v/2mgcosa/[ASK + 2мЛ(1 +sina)].
T=2icJ3(R-r)/2g.
Г=яу/3т/2х.
« =V(1 +mlM)gll.
u>₀ = Jx~j\i, где p = т,ж₂/(т₁ + m₂).
а) w=v/x/JT = 6 с"¹; б) £ = = 5 мДж, а = 1/,/ю = 2 см. Здесь ц = ж,ж₂/(ж, + м₂).
Т = 2к,/Щ, где Г = /,/_а/(/, ⁺ /₂)-
o)₂/o), = yi +2/Я₀/т_с= 1,9, ще т₀ и т_с - массы атомов кислорода и углерода.
а) Г=2яу^/ж/к = 0Д8 с; б) п = (х₀- Д)/4Д = 3,5 колебания, где Д = kmg/x.
а) а₀ и а₀й>; б) [arctg(<o/(5) + пя]/<о, где п = 0,1,...

3.77. а) ф(0) = -Р<р₀, ф(0) = (Р²- w^z)<p₀; б).*„ =

и = 0,1,2,...

a) a₀ = iju>, а = -я/2; б) а₀ = *₀*/1 + (Р/&>)², -я/2<а<0.
i₀= -д^/т = -0,5 см/с.
ш²- В²

arctg — + яя

2Р(о

где
p=«vV-l =^5
с_1-

a) v(t) =o_oV^/o)²+ pV"; б) = +(Р/«)²е"»'.
X = nkj\fl+ (1 - п²)л²/4тс² = 3,3, п' = /Г+(2яД₀)² = 4,3 раза.
Г = ^(4я² + Х²)Дx/g = 0,70 с.
а) <? = яи/1п11=510²; б) <? = У«5т²-1/2=3,0-10³.
s =1(1 +e"^V2)/(l - е~^¹'²) =2,0 м.
<? = t_v/g7I/lnri = l,3 10².
Г = у^/3(4я²+Л²)Л/2^ = 0,9 с.
« - <j2a/тЛ¹ - (ят) Я²/т)².
r\=2XhIlnR²T.
дс = (F₀/m)(cos«₀t-costoO/(«²-«о).
дс = (F₀f/2mto₀)siniD₀(.
Уравнения движения и их решения:

Зс + <alx = F/m, * = (1 -coso>₀f)F/x; fz-t, i + o)jX = 0, x = acos[<o₀(r-x)+ a],

i ,

где w₀= Jt/w, a и a - произвольные постоянные. Из условия непрерывности х и i в момент *=т находим: a = (2F/x) |sin(&>₀*/2) |.

FJm FJm

*o=-y > *₀ ^=
0- Тогда x=—- cos at.

o)₀-«² wj-&>²

T«2<?/a>_o = 4'10² c.
<2 = 1/2^/1 - t|² =2.
tgф = ^(<о₀/Р)² - 2, q> = 84° .

3.101. й,_рм = У(ш?+^)/2 = 5,1-10² с"¹.

а) б) р = |со₂-<0,1/2^/3, со = ^c0j0>₂- (со₂- <0^/12.
ц = (1 + Х²/4к^г) жД = 2,1.
(Е) = та²(й>² + о²)/⁴-
(P_p) = 2fiE; это справедливо, если частота вынуждающей силы о)=о>₀.
А = naF₀sin<p.
А= -Jt<p_^_sina.

тр < м Я

Q =yto²tog/(to²-tog)²tg²(p-1/4 = 2Д, где о>² = х/т.

, . F, Рй)²/т „ F₀

а) </>)- , б) о)=со₀, P^-JL.
w₀ = 250 С"¹, р =Ды/2 =25 с"¹, где До) - ширина контура на половине высоты, Q ~ ш₀/Д« = 5.
q =4hjne₀mg(i)²- 1) =2,0 мкКл.
Индукция поля увеличилась в т^² = 25 раз.
х = (Uq/co) sin со f, где со =

IB/i/mL.

jc = (1 - cos G>t)g/<j> , где со = iBlJmL.
L = l/cojc = 1,0 мГн, U(0) = U_m = I_mlu>₀C = 0,40 В. З.И6. t/² + /²i/c = i/².

a) I = I_Ksinw₀t, где I_m=U_my/Cfl, u„=l//£C; 6) g_a=Ujj2.
I_K = %m, V_Cmic = 2W.
A = (n²- 1)W.
<o₀= \Jd/nt₀\i_Qar².
co₀ = J2dle₀)i₀a²h]n(bla).
a) r = 2re_v/L(C₁ + C₂) =0,7 мс; б) /„ = + C₂)/Z. = 8 A.
U = (l ± coStof) UJ2, где знак плюс - для левого конденсатора, знак минус — для правого; со =

•Щьс.

/ = (<*>/I)cos(f/v£c).
a) f„= пп/со; б) f_B = [arctg(-p/co) + ял]/<о. Здесь и =0,1,2,...
U₀/U_m = J 1 - R²C/4L.
U_c = l_MjLiCt*'

sin(cof + oc), где a определяется формулой tga = to/p; СГ_с(0)=/_я^1/С(1₊р²/со²).

WJW_c = L/CR²= 5.
L=L_t + L₂, R=R_l + R₂.
t = (Q/itv)lnr) =0,5 MC.
л = ^41/Ctf²-1/2* = 16.
(м₀- «■>)/«„ = 1 - + 1/4Q² = 1/8Q² = 0,5%.
т=2Rlja*В².

1134 a) W₀ = #²(1 + СЯ²)/2(г + Л)² = 2,0 мДж; б) W = = 0,10 мДж.

* = (<?/2nv₀)lnn = 1,0 мс.
a) w = \Jl/LC - 1/4Я²С²; б) Q = \j4R²C/L -1/2. При решении следует учесть, что dq/dt = 1-1', где q — заряд конденсатора, I - ток через катушку, V — ток утечки (/' = U/R).
Q = U_M^UfLj2{P)= 1,0-10².
(Р) = Д</²> = Д/²/2 = 20 мВт.
<Р> = RCU²J2L = 5 мВт.
о) = Jl/LC - l/4R²C².
1/^+1/^=1/2,, l/^+l/^l/tf.
I=(UJL)ttxp(-tls/LC), / = /_мис=(Ц₎/е)у^/С71 в момент г_
/ = (ujjR² +<o²L²) [cos(« t - <p) - е"'*^дсс«(р ], tgcp=col/fl.
I = (uj\/R² + l/(0²c²)[cos(cot - <p) -e"'^/jfcc0s9], tg<p= -1/й>ДС.
Ток отстает по фазе от напряжения на угол ф, определяемый уравнением tg <р = p₀ic²va/47i р.
Ток опережает по фазе напряжение на угол ф ⁼ 60°, определяемый уравнением tg<p = ~]/(U_mIRI_m)² - 1.

3.147-а) U'= U₀+ £/„cos(o>f-a), где U_m= UJsJl + (wRC)², a = = arctg(a>RC); 6) RC = Jг|²-1/ь> = 22 мс.

т = 2LIJU_M.
См. рис. 27.
а) /„ = U_mli/R²+(<nL- 1/шС)² = 4,5 А; б) tgq> = («I - 1 /<оС)/К, ф = "60° (ток опережает напряжение); в) f/_c = IJ<£>C = 0,65 кВ, U_L =

= ljR²+u>²L²= 0,50 кВ.

a) <o_CpM = _v/o>J-2p^I; б) <o_ipM-<Oo//<^2p⁵. Здесь <4⁼¹ /LC, Р = Д/21.
При С = 1/ш²1 = 28 мкФ; = Ujl+^L/R^ = 0,54 кВ, U_c = = {/_Яш1/К = 0,51 кВ.
/ = /_wcos(o>f + q>), где /_я = UJR и <р = arctg(wJ?C).
=
О = V»² - 1/4.
<? = ^(Л²-1)/(И-1)²-1/4.
L = l/4ir²v,v₂C = 0,15 мГн.

I₀/I = J 1 +(<?²+1/4)(г|²-1)²/г1²; соответственно 2,2 и 19.
f =icf₀/2.
а) / = 2/₀/у/3 = 1,15/₀; б) /= = 1Д1/₀- 3.161 v = y/ti - 1 Л/2я1 = 2 кГц.

Ток отстает по фазе от напряжения на угол <р = arccos^l - (XJZ)² -

■■37°, Р = ( U/Z)²<JZ² -Xl= 0,16 кВт.

При R = toL-r = 0Д0 кОм; Р_мис = C/²/2coi = 0,11 кВт.
Увеличилось на \[п - 1 = 30%.
При <?» 1 отношение Д<о/со₀ = 0ГТ/2() = 0,5%.
P₂ = {U²- Uf - U²)/2R = 30 Вт.
Я, = (l² -1² - I²)r/2 = 2,5 Вт.
Z = Л/v/l + (шДС)² = 40 Ом.
См. рис. 28.

Ось_

напрятении ■ 1₀

напрятении

Рис. 28

3.171. a) <*_tn = jllLC-R²IL² = 310^t с'¹; б) / = URC/L = 3 мА, /_с =

= UjClL-(RC!L? = 1,0 А, /₁₌ Uv/CTI = 1,0 А. 3.171 tg<p = [»С(Л²+й>²/.^г) - «1]/Д.

3.173. 2 = tJ(R²+ <i)^Ii²)/[(<i)ifC)²+ (1 - <o²Z.C)²] .

(Р) = to²<t>lR/2(R²* w²L²).
<F,> = [(й%1_и/₀²/2(Я² + м%²)]Э1_и/Эх.
t'21/аШ+Ж).
2 м.
0,25 кГЦ, 0,30 км/с, 1,2 м.
а) а/Х = 5,1 • 10"⁵; б) и_я= 11 см/с, 3,2-МГ⁴.
Аф = k(r₁-i^) = («о/») |(х, - Xj)cosв + (у, -у_г)ссвр + (Zj -Zj)cosу |.
k = «e_J(+Ре^+ув,, v= wj^a.¹* P^2
+ _Y². где e_t, e_t - орты осей координат.
k = w (cj u, + e_yl v₂ + е_г/1>₃).
5=acos[(l - F/i>)a)f-jfcx'], где v=u>/k.
a - фазовая скорость волны.
См. рис. 29.
См. рис. 30; Ах = <J2lb.
v = u/e = 2,0 км/с.
и_х = = -50 м/с.
При ц « 1 Дф = 2ят1/уА = = 0,3 рад.
i = (л, г, + ojtj)/ (а, + а_г).
a) Y = ln(nr₀/r)/(r-r₀) =

= 0,08 м"¹; б) u_M=2«va₀/ri = 15ci^c.

а) См. рис. 31. Частицы среды в точках на сплошных прямых (у=х±лА, и=0,1,2,...) колеблются с максимальной амплитудой, на штриховых же прямых не колеблются вовсе.

б) См. рис. 32. Частицы среды в точках на прямых у=х±пХ, у=х±(л±1/2)А и у=х±(л± 1/4)X колеблются соответственно вдоль этих прямых, перпендикулярно им и движутся по окружностям (здесь я=0,1,2,...). В остальных точках — по эллипсам.

3.194 W = PR/v = 25 мДж.

(Ф) » 2гс 1²1₀11 - -1Л/1+Д²//²)=20 мкВт.
(Ф)=Р/^1+(2Я/Л)² = 0,07 Вт.
Р =4яг²(/>е^2тг = 20 Вт.

д^/Зх

'дь/at

Рис. 29

d^/dt

-'д^/дх

Рис. 30
Ж = 4яг²Ле^21ГГ-1)*=11 Дж.

Х_т = 1.
а) {]_х) = ра^гы^г!2к\ б) (j_x) =

= 0.

а) (у₁)=р(а²-Ь²)й)³/2Л;

б) (;_I) = pa(fl + b)<o³/2к.

а) и б) см. рис. 33; в) см. рис. 34.
а) w_p=(pa¹u>²l2)sw?(kx) х xcos²(&>0; б) м^=(ра²о>²/2)х xcos²(jkx)sin²(&>f). См. рис. 35, где А. - длина волны, определяемая как Д. = 21t/Jfc.
F=itd²pv²/²/«² = 3 Н.
F=itd²pv²[² = 0,40 кН.

д£/дх

a_vm = 5 мм; третьему обертону.

dt О

Рис. 34

1207. Vj/Vj-^njd + n^/liCl*^)» = 1,4.

Частота увеличится в »1 = =Jl+AF/F/(l-Al/l)=2 раза.
v2l\ «340 м/с.
a) n = [2/v₀/i/+ 1/2] = 6; б) л = [2Ь>₀/|>]=6.

3211 v_B=^£/p (и+ 1/2)//= 6,95 (л + + 1/2) кГц; четыре с частотами 24,3, 31,3, 38,2 и 45,2 кГц.

а) ^«жо)²а^/4; б) <*> = = та)^га1_ю/8.
W=itSpa²u>²j4k.

(4,5 с, если приближается,

5,5 с, если удаляется. о₀+и) =2,2 кП;.

3.216. <0j/b>_t = (u-u₂)/(u-u,).

3317. \_l = 2v₀vu/{v^l-u²) *2v₀k/u = 1,0 Гц.

3.218. и =(^1 +(v/v₀)^J - l)uv₀/v^wv/2v₀ = 0,5 м/с.

w = (^/l +(Av/v₀)^J - l)uv₀/aAv =34 с"¹.
v =v₀/^l + 2af/i> = 1,35 кГц.

a) v =v₀/(l - n²) = 5 кГц; 6) r = I\/l + »)² =0,32 км.
Уменьшается на 2u/(v + и) = 0,20%.
v =2v„«/(u +и) =0,60 Гц.
1. у = hi(rjrf/r²)/2(r₂-^ri) = 6 -10~³ M'¹.
2. a) L' = L-20Yxlge=50 дБ; б) x = 0,30 км.

a) L = £₀ + 201g(r₀/r) =36 дБ; 6) r> 0,63 км.
p = ln(T-₂/r,)/[t + (r₂-r,)/o] = 0,12 c"¹.
а) Рассмотрим движение плоского элемента среды толщиной dx с единичной площадью поперечного сечения. Согласно второму закону Ньютона

pdx-\=-dp, где dp - приращение давления на длине dx. Учитывая, что

5 = и² £ — волновое уравнение, перепишем предыдущее равенство в виде

рv²4_xdx = -dp. Проинтегрировав это уравнение, получим Ар = -pt^^ + const.

В отсутствие волны избыточное давление Ар = 0. Значит, const = 0.

<®> = wR²(Ap)²/2pvX = 11 мВт.
1. а) ( Др)_м = а/р vP/2k г² = 5 Па, (Др)_и/р = 5-10"⁵; б) a = (Ap)J2n\pv = =3 мкм, а/А = 510"*.
2. Рис. 35
  Р =4nr²e^2rr/₀- 10* = 1,4 Вт, где L - в белах. 3.232. ДА = (l//e - l)c/v = -50 м.

1233. t = 2(^-y«^)//cln(e₁/«_J). 3234. | дЕ/дх | = 60 мВ/м².

3.235. Ш_ш= o/2*vee₀ = 2.

3236. Н = (е₀еД)[кЕ] cos(cJfc<)> где с - скорость света. 3.237. а) Н = c_tz₀cE_mco&kx = -0,30 е_г; б) Н = e₍z₀cE_mco$k(ct -х)= 0,18 e_t. Здесь в₍ — орт оси Z, Н в А/м.

3238. Для данного случая (R«X) = 2n²nR²vEJc = 0Д0 мВ.

(S> = ke₀c²£²/2w.
a) <y_cH> = 4e₀vE_M = 0,18 мА/м²; б) (S>=e₀c£²/2=3,3 мкВт/м².
= ш ^2{S)t₀lс. 3.243. Ш=е₀с£^(1 +cos«p).
1. {S)=fie₀cE%.
2. Здесь f » Г, где Г - период колебаний; поэтому искомая энергия W = yee₀/n₀£²it*²f/2=5 кДж.
3. В = В_я8ш(&к) sffl(uf), где В_жхЕ_ж, причем B_M = EJe.
4. S_x = (e₀c£²/4) sin(2fct) ял(2шГ); <5_Х> = 0.
5. W_M/W_s = 8₀|i₀tt>²lS²/8 = 5,0- 10"^u. 3.249. Ж,/Ж_м= е₀ц₀ы²Д²/8 = 5,0-10"¹⁵. 3.251. Ф_s = I²R.

3252. S = yjmj2e /²/4Л²г₀Г².

Слева.
Ф = Ш.

3256. <Ф>=(1/₀/₀/2)сО8ф.

а) Продифференцировав одно уравнение по х, другое по t, обнаружим, что комбинация полученных выражений содержит волновое

уравнение (как для U, так и для /). Дальнейшее очевидно, б) Решения волновых уравнений запишем в виде

U=U_Mcos(vt-kx), I = I_mcos(u>t - кх + а).

Подстановка этих выражений, например, в первое из уравнений (3.4е) показывает, что а = 0 и kl_m = C_l<aU_m. Отсюда р = VJI_m = 1/иС, = jLJC_l.

I, = р уfile = 0,40 мкГн/м, Cj = v^/cp = 0,12 нФ/м.
а) р = (1/я)/|1^1п(Ь/в); б) р = (1/2я)/^1п(Ь/а). 3261. / = /„sin(Jfc*) sin<«f), где I_m=UJp.

3.262. а) и_я=и_осо*(пкх11), 1_т = 1₀8ш(ппх11), п = 1,2,3,...;

б) U_m=U₀sm(nnxll), /_И = /_Осов(плл//), п = 1,2,3,...;

в) U_m=U„sin(n'Ttxll), /_Я = /_Осов(и'д*//), п'= 1,3,5,... 3263. / = c/2(v₂ - v,) = 0,10 км.

Электрический момент системы р = У^ et_t = (е/т)Мт_г, где М — масса системы, г_с — радиус-вектор ее центра масс. Мощность излучения

Р Поскольку f_c = 0, то Р= 0.

(Р) = е²а\о*/12пг₀с^г = 5 • 10¹⁵ Вт.
1. Р = (2/Зс³)($в²/юД²)²/(4яе₀)³.
2. AW/if = в³В/Зе₀с^,м² = 2-10"¹⁸.

К = К₀с'", где а = е⁴В²/Зяе₀с³м³. Через f₀ = 1/а = 2,6 с для

электрона и 1,6-Ю¹⁰ с = 0,5-10³ лет для протона.

SJS₂ = tg²(.<i>llc)*3.

3370. (5) = (l/2)^/^(r₀/r)²E²sin²0 = 3 мВт/м². 3.271. (Р) = 8пг²5₀/3.

{w) = 3P₀ISnr²c.
Р =р²1л*/6пг₀с*.

J? = 3P/16itCYpAf_c = 0,6 мкм, где М_с - масса Солнца.
с = 2/г(и₂ - п,) = 3,0 • 10⁸ м/с.
1. При и «с время течет практически одинаково в системах отсчета, связанных и с источником, и с приемником. Пусть источник испускает короткие импульсы с интервалом Т₀. Тогда в системе отсчета, связанной с приемником, расстояние между двумя последовательными импульсами вдоль линии наблюдения Х. = сТ₀~ v_fT₀, где v_r=vcost. Частота принимаемых импульсов v = c/A = v₀/(l -v_r/c), где у₀=1/Г₀. Отсюда (v -v₀)/v₀= (и/с)cost>.
2. ДА. = -X.j2K/mc²cosi> = -26 нм.

r = 4it/fA/c6A = 25 сут, где Я - радиус Солнца.
d = (АА/А)_яст/я = 3• 10⁷ км, m = (ДХД£с³т/2яу = 2,9-10²® кг, где Y — гравитационная постоянная.

3380. о) =<о₀(1 + Р)/(1 - Р), где р = К/с, со=о>₀(1₊2К/с).

к = AAv/2 = 900 км/ч.
После подстановки в равенство v>t - kx = to'f - kfx' величин t' и х' (из преобразований Лоренца) получим:

<о' = (о^(1 -P)/(1 + Р), к? = *V(1-P)/(1 ₊ P),

ще р= и/с, где и — скорость К'-системы отсчета относительно JST-системы. Здесь учтено, что о> = ск.

Из формулы v' = v7(l - P)/(l + Р) имеем Р = vjc = 0,256.
t» = c(t)²- 1)/(т)²+ 1) =7'10⁴ км/с, где т^А/А'.
w=w_oV/3/7.
ДА =ААГ/ис² = 0,70 нм, где m - масса атома.
a) v =v₀/_v/l-(Wc)² = 5,0 ГГц; б) v =v₀/v/l - (u/c)² = 1,8 ГГц.
Заряд электрона вместе с положительным индуцированным в металле зарядом образует диполь. В системе отсчета, связанной с электроном, электрический момент диполя меняется с периодом T' = d'\v, где d'-

= d\jl - (v/c)¹. Соответствующая "собственная" частота v'= v/d'. Вследствие эффекта Доплера наблюдаемая частота равна

v =v₀A/l -(и/с)²/(1 - (и/с)cosft) = i>/d(l - (i»/c)cosO).

Ей отвечает длина волны X = c/v = d(c/v - cosft). При 0=45° и и~с длина волны Х = 0,6 мкм.

и = са/2 = 30 км/с.
sin^ = ^/п(2 -tj), отсюда ft = 8".

а) 3 и 9 мВт; б) Ф = (^+ К,)Ф,/2Л = 1,6 лм, где Fj и К₂ - значения функции К^ для данных длин волн, А = 1,6 мВт/лм.
El = fijT₀A<b/2icr²V_x, отсюда Е_т = 1,1 В/м, Я_я = 3,0 мА/м.
W = PSI2r₀v_a.
а) (Е)=Е₀12; б) <£> = (l - \/l - (Я//)²)//Я²(1 - if//) = 50 лк.
M = 2nL₀/3.
а) Ф = itLASsin²ft; б) M = uL.
h*R, Е = LS/4R¹ = 40 лк.
/ = /₀/cos³0, Ф=я/_оЛ²/й² = 3-10² лм.
= 9_Р£5/ 16я= 0,21 лк.
E = nL.
£ =
М = £₀(1 + й²/Д²) = 7 • 10² лм/м².
2?₀= 7tL/J²/A²= 25 лк.
е' = е-2(еп)и.
Пусть Я|, »_г, llj — орты нормалей к плоскостям данных зеркал, а е₀, е,, е₂, Cj - орты первичного луча и лучей, отраженных от первого, второго и третьего зеркал. Тогда (см. ответ предыдущей задачи):

в! = <^-2(e₀n_I)n₁, e^e^^a^nj, е^е^-г^и^П;,.

Сложив почленно левые и правые части этих выражений, нетрудно показать, что е₃ = -е₀.

О, = arctgn =53°.
и,/и₂ = 1/у^/п²-1 =1,25.
x = (l -cos0/v/«²-sin²f>)dsm{> = 3,1 см.
А' = Ancos³t/(n² - sin²0)³'².

6 = 83°.
От 37 до 58°.
а = 8,7°.
Act = 2sm(e/2)An/Vl -n²sin²(6/2) = 0,44°.

4.27. Аш/ш = (и - 1) v/c = 1,0-10"".

430. а) /=/р/(1-р²) = К> см; б)/=/р,Р₂/(Р₂-р,)=2^ см.

Г=р/₀/²/(/-5)² = 2,010³ кд.
Пусть S - точечный источник света и 5' - его изображение (рис. 36). По принципу Ферма оптические длины всех лучей, вышедших из S и собравшихся в S', одинаковы. Проведем окружности из центров S и S' радиусами SO и S'M. Тогда оптические пути DM и ОВ должны быть равны:

л ■ DM = п' • О В. (*)

Но для параксиальных лучей DM = АО* ОС, где АО« A²/(-2j) и ОС» *h'²l2R. Кроме того, ОВ = ОС - ВС * h'²/2R - A'²/2s'. Подставив эти выражения в (*) и имея в виду, что А' = Л, получим n'/s'- n/s - (и'-n)/R-

л - 1 л + 1

1 -

_:=/

4.33. х =

п+ 1 4.35. 6,3 см.

(и+1)г²(П-1)/²

4.36. а) Р=1 -й(л-1)/лК=-0Д0; б) Е = nn²D²L!4d² = 42 лк.

/М

849

385

Рис. 36

Ф=Ф₀(л-И₀)/(л-1)= 2,0 дптр, /'=-/ = И₀/Ф = 85 см. Здесь Л и я₀ - показатели преломления стекла и воды.
Ф = Ф₀(2л-л„-1)/2(л-1) =6,7 дптр, /= 1/Ф = 15 см, /' = л₀/Ф = = 20 см. Здесь Л и п₀ — показатели преломления стекла и воды.

Д*=/²Д//(/-/)² = 0,5 мм.
а) /=(/²-(Д/)²)/4/ = 20 см; б) f=l^l(l + = см.
А = v*FF = 3,0 мм.
£ = (1 -a)itLD²/4/²=15 лк.
а) Не зависит от Z); б) пропорциональна D².
/= п^12(п_х - л₂) = 35 см, где л₀ - показатель преломления воды.
/= Rj2(2n - 1) = 10 см.
а) Справа от последней линзы на 3,3 см от нее; б) 1 = 17 см.
а) 50 и 5 см; б) отодвинуть на 0,5 см.
Г = Djd.

4.52. ф ⁼ 0,6 угл.мин.

453. Г'= (Г+ 1)(л - 1«^)/л₀(п - 1) -1 = 3,1, гае и,, - показатель преломления воды.

«4. Г$1>/4, = 20.

455. Г=60.

Г=2аIjdg* 15, где /₀ - расстояние наилучшего видения (25 см).
Г<2а l₀ldq, ще 1₀ - расстояние наилучшего видения (25 см).
Главные плоскости совпадают с центром линзы. Фокусные расстояния в воздухе и воде: /=-1/Ф=-11 см, /'"П^Ф =+15 см. Здесь Ф = (2п-п₀~ -1)1 Я, где » « Ц - показатели преломления стекла и воды. Узловые точки совпадают и расположены в воде на расстоянии х =/'+/= 3,7 см от линзы.

н'

ЧГ I ♦

Н Н'

-о—

У А

Рис. 37

4.59. См. рис. 37.

а) Оптическая сила системы Ф =Ф, + Ф₂~</Ф₁Ф_г= +4 дптр, фокусное расстояние равно 25 см. Обе главные плоскости расположены перед собирающей линзой: передняя — на расстоянии 10 см от собирающей линзы, задняя — на расстоянии 10 см от рассеивающей линзы (x=dФ₂/Ф и (х'= -</Ф,/Ф); б) d = 5 см; около 4/3.
Оптическая сила данной линзы Ф = Ф, + Ф₂ - (djn) Ф,Ф₂, х = <f Ф₂/пФ = = 5,0 см, х' = -<*Ф,/пФ = 2,5 см, т.е. обе главные плоскости расположены вне линзы со стороны ее выпуклой поверхности.
f=f_lfj(f_l+f₁-d). Линзу надо поместить в передней главной плоскости системы, т.е. на расстоянии X^^dj^+fj-d) от первой линзы.
Ф-гФ'-гФ'²!/»^ = 3,0 дптр, где Ф'=(2я-i^-l)/*, п и fy - показатели преломления стекла и воды.
a) d = пАЯЦп -1) = 4,5 см; б) d = 3,0 см.
а) Ф ■ d(n - l^fnR¹ > 0, главные плоскости лежат со стороны выпуклой поверхности на расстоянии d друг от друга, причем передняя главная плоскость удалена от выпуклой поверхности линзы на расстояние R/(n - 1);

б) ^ = (1IR₁- 1/R_l)(n - 1)/п<0; обе главные плоскости проходят через общий центр кривизны поверхностей линзы.

d = n(R_l + *j)/2(« - 1) = 9,0 см, r=R_l/R₂ = 5,0.

4.70. R = nl(dn/dff) = 3 • 10⁷ m; Эп/ЭАГ - 1,6 • 10'⁷ м.

4.72. 1,9л.

а) См. рис. 40 а; б) см. рис. 40 б.
(S) oocos²[(n/2)sin²(<p/2)]; см. рис. 41, где запаздывает по фазе на я/2 излучатель 2.
Да =2*[Jfc-(<i/A.)sintof], ще к = 0, ± 1, ±2,...
X = 2AxAh/l(i\ - 1) = 0,6 мкм. 4.81. а) Д* = X (b + r)/2a г = 1,1 мм, N = [2a Ь/Ах +

+ 1]=9; б) сдвиг картины на 6х = (Ь/г)8/ = 13 мм; в) картина будет еще достаточно отчетлива, если 6x4 Ах/2, отсюда h_um = (1 + г/Ь)Х/4а = 43 мкм. 4.81 X = 2аАх = 0,64 мкм.

а) Ах = Х//а = 0,16 мм, 13 максимумов; б) полосы будут еще достаточно отчетливы, если

сдвиг интерференционных картин от крайних элементов

щели бх^Ах/2. Отсюда Н_шжс = к/^г/2аЬ =40 мкм.

X = 2а0(и - 1)Дх/(а + Ь) = 0,6 мкм.
Ах « Х/20(я - л') = 0,20 мм.
Полосы сместятся в сторону перекрытой щели на расстояние Ах = hl(n - I)/d = 2,0 мм.
n' = n +NX/1 = 1,000377.

Рис. 41

Рис. 38

Сопоставим каждому колебанию вектор, модуль которого равен а. Угол между векторами, характеризующими Аг-е и (к * 1)-е колебания, по условию равен «. Изобразим из этих N векторов цепочку (рис. 38) и обозначим результирующий вектор как А. Мысленно проведем описанную окружность радиуса R с центром в точке О. Тогда, как видно из рисунка, Л = 2Rsm(aN/2), a = 2Ляп(а/2). Исключив R из этих двух уравнений, получим Л = asin(Mx/2)/sin(a/2).
а) cosG = (fc -а/2я)Х/<?, где к = 0,±1, ±2,...; б) а =я/2, <i/X = *+l/4, ще * = 0,1,2,...
а) См. рис. 39 а; б) см. рис. 39 6.

2 \ 2

а

Рис. 39
u = X/2A^«²-sin²ft = 1,1 мкм/ч.
b = A(1 + 2*)/4^л¹-яп²в₁ =0,14(1 + 2к) мкм, где * = 0,1,2,...
b_m = 0,65 мкм.
A = А(1 + 2£)/4у/л, где Jt = 0,1,2,...
b = k\Jn²-sm²ft/siii2ft - «ft = 15 мкм.
A * *>(/•? - rl)lAnl^l(i - к).
Дх = Acosftj^a^-sm²*,.
а) 0=А/2лДх = 3 угл.мин.; б) ДА/А =Дх// = 0,014.
Дг « АД/4г.
r'=^r²-2Rh = 1,5 мм.
г = 1/2) XЯ = 3,8 мм, где * = 6.
X = [d%-d²^IAR(k₁-k_l) =0,50 мкм, где к₁ н к₂ - номера темных колец.
Ф = 2(и - 1)(2£ - l)k/d² = 2,4 дптр, где it - номер светлого кольца.
а) г = J2k\(n - 1)/Ф =3,5 мм, где *= 10; б) r'=rljn₀= 3,0 мм, где П₀ - показатель преломления воды.
r = J(k-l/2)kR/n₂ = 1,3 мм, где * = 5.

⁴¹⁰³- ^«V^W"¹⁴⁰-

Условие перехода от одной четкой картины к следующей: (t + 1)А,= = кк₂, ще it - некоторое целое число. Соответствующее перемещение ДА зеркала определяется уравнением 2 ДА = кк₂. Из этих двух уравнений получим: ДА = AjA₂/2(X₂-Xj) = Х^г/2ДХ = 0,3 мм.
а) Условие максимумов: 2<fcosft = fcX; отсюда следует, что с ростом угла ft, т.е. радиуса колец (см. рис. 4.23), порядок интерференции к убывает.

б) Взяв дифференциал от обеих частей предыдущего уравнения и имея в виду, что при переходе от одного максимума к следующему к изменяется на единицу, получим 6ft = X/2<fsinft; отсюда видно, что угловая ширина полос уменьшается с ростом угла ft, т.е. с уменьшением порядка интерференции.

а) k_mic = 2dlk=l,010⁵; б) ДА =АД = A²/2d = 5 пм.
Движущаяся со скоростью V заряженная частица своим полем возбуждает атомы среды, и они становятся источниками световых волн.

Световые волны, испускаемые из произвольных точек Л и В при прохождении через них частицы,

достигнут точки Р (рис. 42) за одинаковое время и усилят друг друга, если время распространения световой волны из точки А в точку С будет равно времени пролета частицей пути АВ. Отсюда cost = v/V, где v = с/и — фазовая скорость све- Рис. 42 та. Излучение возможно лишь при

V>v.

JC_lm = (n/Jtl² - 1 - 1 )жс²; соответственно 0,14 МэВ и 0,26 ГэВ. Для мюонов.
JT = (ncosO/v/n²cos²d-l - l)mc² = 0,23 МэВ.
/₀ = (2/bNX) jI(r)rdr, где интегрирование от 0 до оо.
Ъ = аг²/(кка - г²) = 2,0 м.
X = (г²- г?)(а + Ь)12аЬ = 0,60 мкм.
/ = 2/₀[1 -сов(пг²/ХЬ)] =2/₀.
а) / = 4/₀, / = 2/₀; б) / = /„.
а) / = 0; б) I-IJ2.
а) 1 = ( 1 - ф/гтеУ⁸/,,; б) / = (1 + <р/2я)²1₀.
a) Л = А(4 + 3/8)1(п - 1) = 1,2(4 + 3/8) мкм; б) Л = + 7/8) мкм; в) 4 = 1,24 или 1,2(4 + 3/4) мкм. Здесь 4 = 0,1,2,...
Л = А(4 + 3/4)/(л - 1), где 4 = 0,1,2,...,
А = А(4 + 5/8)/(л - 1) = 1,2(4 + 5/8) мкм, где 4 = 0,1,2,...
г = yjkXfbKb -/) = 0,9 Д мм, где 4=1,3,5,...
b' = blr\²= 1,0 м.
a) у' = уЬ/а = 9 мм; б) А^®abXjD(a + ft) = 0,10 мм.
f =ab\(a + b) =0,6 М. Это значение соответствует главному фокусу, помимо которого существуют и другие.
а) 4 = 0,60(24+1) мкм; б) А = 0,30(24+1) мкм. Здесь 4 = 0,1,2,...
а) /_махс//_мт= 1,7; б) А = 2(Дх)²/Ь(и₂-и₁)² = 0,7 мкм, где и, и и₂ — соответствующие значения параметра на спирали Корню.
2,6.
А. = (Д А)²/2Ь(и₂- и₁)² = 0,55 мкм, где и v₂ - соответствующие значения параметра на спирали Корню.
А = А (4 + 3/4)/(л - 1), где 4 = 0,1,2,...
/₂//, = 1,9.
/ « 2,8/₀.
/,:/₂:/₃« 1:4:7.
/ = /₀.
Мысленно разобьем щель на множество одинаковых полосок и изобразим, имея в виду рис. 43 а, цепочку соответствующих элементарных векторов — для определенного угла дифракции q>. Если угол <р достаточно мал, цепочка образует дугу радиуса R (рис. 43 б). Пусть длина цепочки А₀ и результирующий вектор А. Тогда, как видно из рис.43 6, A₀=Rb, А = = 2iJsin(8/2), где 6 — разность фаз между крайними векторами цепочки. Исключив R из этих равенств, получим A =j4₀sin(6/2)/(6/2). Отсюда

интенсивность (/ с#А²) 7_f = /₀sin²(6/2)/(8/2)², где /₀ - интенсивность в центре дифракционной картины (<р=0), 8 = 2тс isiivtp. С ростом угла <р увеличивается б, и цепочка будет закручиваться. Когда 6=2я, 4я,...,2я4, цепочка замыкается один, два, ..., к раз, и мы приходим к условию bsinvkX,, к" 1,2,...

Рис. 43

X = b/k^l + 4(//х)² = 0,6 мкм, где к - порядок минимума.
Ь(тЛ -sin{>₀) = кХ; для Jt = +1 и углы О равны соответственно 33 и 27°.
а) ДО = arcsin(nsin6) - в = 7,9"; б) из условия b(sinft_[ - nsinS) = ± А. получим ДО =0₊,= 7,3^е.
X*la²- al)d/2k = 0,6 мкм.

55°.
d = 2,8 мкм.
А = <*ашД0/^5 -4ссвД0 =0,54 мкм.
а) 45°; б) -64°.
х = 2Rl(n - lU(d/X)*-l = 8 см.
Из условия </[»sin0-sin(e +0_t)] =кХ получим 0₀= -18,5°, 0_И = 0°;

^кнж°°⁺⁶> ^См- Р^ис-

h_t=X(k- 1/2)/(п - 1), где * = 1,2,...; ляпО, = А/2.
и = Ау//Дх = 1,5 км/с.

Рис. 44 Рис. 45

b< \fId * 1 мм. Интерференция будет наблюдаться, если радиус когерентности р_жст^> d.
Каждая звезда дает в фокальной плоскости объектива свою дифракционную картину, причем их нулевые максимумы отстоят друг от друга на угол ф (рис. 45). При уменьшении расстояния d угол Ь между соседними максимумами в каждой дифракционной картине будет увеличиваться, и когда Ь станет равным 2if, наступит первое ухудшение видимости: максимумы одной системы полос совпадут с минимумами другой. Таким образом, из условия b=2if и формулы sin ft = X/d получим ♦ = A/2<f = 0,06 угл.сек.
a) D = k/djl - (kX/d)² = 6,5 угл.мин/нм, ще к = 2;

б) D=k/d^l -(kXld-smt₀)² = 13 угл.мин/нм, ще к = 4.

</ft/dA = tgft/A= 11 угл.мин/нм.
Д0 = 2А/ЛГ<^1 -(кХ/еГ? = 11 угл.сек.

0 = 46".
а) В четвертом; б) 8Д._ШМ = А²// = 1 пм.
a) d = 0,05 мм; б) 1 = 6 см.
а) 6 и 12 мкм; б) в первом порядке нет, во втором да.
Ъ « XfINd = 30 мкм.
а) г_я«s]2kkl = 2,5 мм; б) Дг = XIIг.
D > XIId = 2,4 см.
Согласно критерию Рэлея максимум линии с длиной волны А должен совпадать с первым минимумом линии А + 8А. Запишем оба условия для угла наименьшего отклонения через оптические разности хода крайних лучей (см. рис. 4.33):

8л - (DC + СЕ) = 0, Ъ(л + 8л) - (DC + СЕ) = А + 8А.

Отсюда Ь6п"Х. Дальнейшее очевидно.

а) А/8А = 2ЬВ/Х³; соответственно 1,210⁴ и 0,35-Ю⁴; б) 1,0 см.
Около 20 см.
.R = 0/1,22А = 7' Ю⁴, Ay_m=l/R=4 см.
Около 50 м.
Увеличится приблизительно в 16 раз.
///₀«(<*²/2/А)²«2-10⁷.
Пусть 8i|r и 8ф' — минимальные угловые расстояния, разрешаемые объективом трубы и глазом (8i|r= 12.2X/D, 8ф'= l,22A/<f₀). Тогда искомое увеличение трубы Г_МЮ1= ЬЦ'/бу = Dld_a= 13.

⁴-¹⁶⁹* = 0,61 A/sin а = 1,4 мкм.

Пусть d_Km — наименьшее разрешаемое расстояние для объектива микроскопа, 8i|r - угол, под которым виден объект с расстояния наилучшего видения /„ (25 см), и 8ф' - минимальное угловое расстояние, разрешаемое глазом (8ф'= 1Д2АТогда искомое увеличение микроскопа Г^'вф'/вф = = 2(l₀ld₀)aaa = 30.
26, 60, 84, 107, и 135°.
а =0,28 нм, Ъ = 0,41 ям.
Пусть «, Р и у - углы между направлением на дифракционный максимум и направлениями решетки вдоль периодов а, Ъ и С. Тогда значения этих углов определятся из условий:

а(1 -cose) = £cosp=*^A, ccosy = ifcjA..

Имея в виду, что COS² а + ССй^Р + COS^ = 1, получим

X = 2 kja [(kjaf ₊ (kjbf + (у с)²].

X = (21 к) \jmj2p sina = 244 пм, где к =2, т - масса молекулы NaCl.
d = X \jk\ + 2к_хк_гcos(a/2) /2sin(a/2) = 0,28 нм, где к_х и к_г - порядки отражения.
г = Ztg2a = 3,5 см, где a - угол скольжения, определяемый условием 2<fsina =кХ.
См. рис. 46; /₀/4.
а) /₀; б) 2/₀.
Е = яФ₀/ш = 0,6 мДж.
<р = arccos (^/^=30°.
л = (l/2)(cos<p)^2(JV-^1, = 0,12.
/„// = 2/r³cos⁴(p = 60. «Ю-w^p/a-p)^.

P = sin²ft/(l + cos²ft).
P = (t)-l)/(l-ncos2cp) = = 0,8.

4.186. а) Представим естественный свет в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих с интенсивностями /„. Пусть каждый поляризатор пропускает в своей плоскости долю а, света с плоскостью колебаний, параллельной плоскости пропускания поляризатора, и долю «₂ в перпендикулярной плоскости. Тогда при параллельных и перпендикулярных плоскостях пропускания поляризаторов интенсивность прошедшего света

V'lV^V

причем по условию С другой стороны, степень поляризации,

создаваемая каждым поляризатором в отдельности,

P₀ ⁼ (ai-«₂)/(aj ⁺ a₂)-

Исключив к, и «j из этих формул, получим Р₀= i/(t) - l)/(ti + 1) =0,905.

б) Р = ,/1-1/П² = 0,995.

90°.
Р = р.
Рис. 46
Р'=Рр/(1 ^р).
а) р = (л²- 1)²/2(п^г+ 1) = 0,074; б) Р = р/(1 - р) =[(1 + л²)²- -4л²]/[(1 + л²)² + 4л²] = 0,080. Здесь л - показатель преломления стекла.
/ = /₀(1 - р)/л =0,72/₀, Л - показатель преломления воды.
р=[(л²-1)/(л²+1)]яп²ф =0,038.
Р=Р₃=1, />.= ^=0,087, P₄=-ML2Pl_₌₀,,7.
Здесь коэффициент отражения от каждой поверхности пластинки р = (л²-1)²/(л²+1)², поэтому /₄ = /₀(1 - р)²= 16/„л⁴/(1 + л²)² = 0,725/₀.
Р = ¹ ~ = ^ ^+п2)⁴~ ^16я4 «0,16, где р' - коэффициент

1+(1-р')² (1+л²)⁴+16л⁴

отражения той составляющей света, световой вектор которой колеблется

перпендикулярно плоскости падения.

а) P = (l-a^4W)/(l+а⁴"), где а = 2л/(1 + л²),* л - показатель преломления стекла; б) соответственно 0,16, 0,31, 0,67 и 0,92.
р = (л - I)²/(л + 1)² = 0,020.
ДФ/Ф = 1 - (1 - p)^2W= 0,34.
/ = /₀(1-р)²(1 + р²+р⁴+...)=/₀(1-р)/(1 + р)=0,90/₀; меньше на

AI/I = р² = 0,25 %.

а) 0,83; б) 0,044.
См. рис. 47.

Рис. 47

а = 11°.
Для правой системы координат:

а) круговая поляризация, против часовой стрелки, если смотреть навстречу волне;

б) эллиптическая, по часовой стрелке, если смотреть навстречу волне; большая ось эллипса совпадает с прямой у=х;

в) плоская поляризация, вдоль прямой у = -х.

Р = (ti - l)/rj =0,5.
а) 0,490 мм; б) 0,475 мм.
А = 4<Мл/(2£+ 1); 0,58, 0,55 и 0,51 мкм при Jk = 15,16 и 17.
Четыре.
0,69, 0,60, 0,47 и 0,43 мкм.
d = (k - 1/2)А.₁/Дл = 0,25 мм, где * = 4.
Дл = А/ОДх =0,009.

4.212. а) 1^100^(6/2); б) Г_х-1ш?(6/2). В случае Р'хР к разности фаз в следует добавить «с, поскольку проекции векторов Е, и В, на направление Р' противоположны по знакам.

4.214. а) Бели свет правополяризованный по кругу (для наблюдателя), то за пластинкой в четверть волны он становится линейно поляризованным, его плоскость поляризации составляет угол ф = +45° с осью ОО¹ кристалла (рис. 48). Для левополяризованного света

Ф= -45".

б) Если при вращении поляроида (расположенного за пластинкой) при любом положении пластинки интенсивность прошедшего света не меняется, то свет естественный; если меняется и падает до нуля, то свет поляризован по кругу; если меняется, но не падает до нуля, то свет - смесь естественного и поляризованного по кругу.

4315. а) Ах = X/2(n_t -н_в)д; б) d(n'_t-n'_t) =-2(п_г-п_о)вЬх<0.

4.216. / = 3/₀.

Дп = а А/я = 0,71 • 10~⁴, где а - постоянная вращения.
a =ff/A;ctgO = 22 угл.град/мм, 1(х) мсов^яя/Дх), где X - расстояние от максимума.
<f_1OT=(l/a)arcsini/5r^ =2,9 мм, а - постоянная вращения.
8,7 мм.
[а] = 72 угл.град/(дм г/см³).
а) E_m'lly/4M = 10,6 кВ/см; б) 2,2 •10⁸ прерываний в секунду.
Alt = 2cHV/<0, где С — скорость света в вакууме.
К= (ф₁ - ф₂)/2Ш = 0,015 угл.мин/А.
Если смотреть навстречу вышедшему лучу и положительное направление отсчитывать по часовой стрелке, то ф = (я - VNH)l, где N - число прохождений луча через вещество (пять на рис. 4.39).
Я_мжв = я/4VI = 4,0 кА/м, V - постоянная Верде. Направление, в котором проходит свет, изменится на противоположное.
t^mciiDjXl = 12 Ч. Несмотря на чрезвычайную малость этого эффекта, его наблюдали как для видимого света, так и для сантиметровых волн.
а) е ■ 1 - n_t>e²/t₀ma>²; б) и = с^1 + (i^e^^mc^A².
%=(4it²v²mtje²)(l - и²) =2,4-10⁷ см"³.
п -1 = -я₀в²А^г/8я²е₀шс²= -5,4-10"\ где и,, - концентрация электронов в углероде.
а) х = <JCOs(o>f -ф), где а и ф определяются формулами

а = eEJmfal - »²)²+4р²<о², tg_V=2 р«/Ц-w²). Здесь р =у/2ж, lit — масса электрона)

б) <Р)= p<f²^V/m[(o)²-«^J)² ₊ 4p²a>²], (Р)_ыас=е²Е%/4Рт при «=«₀.

Запишем уравнение волны в форме A = A₀exp[i(tof - &х)], me к = 2*/А. Если л' = л + ix, то * = (2я/А₀)л' и

А = А₀ехр(2яхх/ А₀) exp[i(a>r - 2ялх/А₀)],

или в вещественной форме: А =А₀езф(хдс) сов(<■>*-fx), т.е. свет распространяется в виде плоской волны, амплитуда которой зависит от х. При х < О амплитуда убывает (затухание волны за счет поглощения). Если л' = 1х, то А =А₀ехр(хх) cosuf. Это стоячая волна с экспоненциально убывающей (при

х < 0) амплитудой — свет испытывает полное внутреннее отражение в среде (без поглощения).

п₀ = 4Я²е₀МJm/e = 2,0 • 10⁹ см"^э.

a) u=3v/2; б) и= 2v; в) u = v/3.
е = 1 -А/(о², где А - положительная постоянная.
v = с/я = 0,61 с, и = [1 + (А л/АА)А/л]с/л = 0,65 с.
Достаточно провести рассуждение для трех гармонических составляющих волнового импульса. Обобщение на большее число составляющих очевидно.
/ = (/₀/2)exp(-xZ)sin²<p, ще <р = VIH.

4240. а) / = /₀(1-p)²exp(-xrf); б) / =/₀(1-р)²о(1+о²р² + о⁴р⁴+...) = = /₀о(1 -р²)/(1 -с²р²), где o = exp(-x<f). 4.241. х = 1п(т,/т₂)/(^-<*,)= 0,35 см"¹.

х = (1 /IN)ln[( 1 -p^2w)/т] = 0,034 см'¹.
т = (1-р)²ехр[-(х, + х₂)//2].
/ = /₀(1-р)²!^-*,!)-ехр(-х₂0]/(к₂-х,)/.
ДА = 2X₀s/]nr\/ad.

/ = (Ф/4яЬ²)(1 -р)²ехр[-х(Ь-<*)].
Уменьшится в exp(pd) = 0,6-10² раз. 4248. d = 0,3 MM.

4.249. d = ln2/p = 8 MM. 4250. N = 1пг|/1п2 = 5,6.

5.1. а) (/) = РА/8я²сАг² = 6• 10^1Э см~²• с; б) r = JPX/2bn/2vc = 9 м.

2,5 эВ/с, 5,0 кэВ/с и 0,31 МэВ/с.
А = 2я сЬ^К(К + 2тс^г) = 2,0 пм.

и = c/^l + (юсА/2яА)² = 1,3 • 10* м/с.
dp/dt =<S>Jc.
(/>> = 4(1 + p)E/itd²CT = 5,0 МПа (50 атм).
р = (£/c)t/l +p² + 2pcos2d = 35 нН• с.
р = (1/сН 1 +p)cos²0 = 0,6 нН/см².
F =icR²I/c = 0,19 мкН.
F = P/2c(l +ц²).
а) Др =2A<d\/1 -Р²/с(1 -Р); б) Ap = 2Aw/c(l-P). Здесь Р = К/с. Видно, что в системе отсчета, связанной с зеркалом, последнему передается меньший импульс.
sin(0/2) "Efmcjgi, отсюда 0 = 0,5°.
Д<й/оа₀= -[l -ехр(-уЛ///?с²)]<0, т.е. w<o)₀.
U = 2ithc(l - l/n)/^AA.= 16 кВ.
U = я bc/edsin а = 31 кВ.
Х_ияя = 2пЬ/тс(у - I) = 2,8 пм, где у = l/v'l - (u/c)².
«7 = ЗясЛ/еА_м = 35 кВ.
332 нм, 6,6-Ю⁵ м/с.
А =2ясА(п²-A₂/A,)/A₂(ti²- D = эВ. "О. Ф_ю« = 4,4 В.

"I- X„-A(®o + ®) -Л_№ = 0,38 ЭВ.

w = 2ncbJ/eX = 0,020.
v_mic= 6,4 • 10⁵ м/с.
0,5 В; противоположна полярности внешнего напряжения.
Ь/тс - комптоновская длина волны данной частицы (А_с).
Запишем в системе отсчета, связанной с покоящимся электроном, законы сохранения энергии и импульса:

Ьи> + тс² = m_rc², b(o/c=m_rv, где m_r=m/Jl -(v/c)².

Отсюда следует, что 1» = 0 или С. Оба результата физического смысла не имеют.

а) Рассеяние — на свободных электронах; б) увеличивается число электронов, становящихся свободными (их энергия связи значительно меньше энергии, передаваемой им фотонами); в) из-за рассеяния на сильно связанных электронах.
X = 2A_c[sin²(0₂/2)-nsin²(e_i/2)]/(n-l) = U пм.
K = h<oi\/(l + л) =0,20 МэВ.
а) о>'=2яс/(А + 2яЛ//ис) «2Д-10²⁰ с"¹; б) K = 2ncb/X(l + + Xmc/2vb) =60 кэВ.
Асй'= Ао>/[1 + 2(Ato/mc²)sin(f>/2)] = 144 кэВ.
sin(0/2) = Jmc(p-p')/2pp', отсюда 0 = 120°.
Асо =[l + V1 +2mc²/Ksm²(b/2)}K/2 = 0,68 МэВ.
X = 4ncb/K_m(l + <Jl+2mc²/K_m) = 3,7 пм.
tg9 = \/4iTS/wcAT^::T/(l+Ato/i»c²), отсюда (p = 31°.
p = 2ti(l +г[)тс/еВ(1 +2r\) =3,4 см.
A'-A = -A_c(l-cosO).
г = Пе^г/2Е = 0,16 нм, X = (2яс/е)^тг^г/к = 0,24 мкм ¹.
b = 0,73 пм.
a) ^=0,59 пм; б) r_m = (2Zke²/K)(l + mjm_u) =0,034 пм¹.

5.42. p « i/8mJ£/[l + (IbKjZke²f

b=Rnsin(bl2)lJl + n²-2ncos(»/2), где n = fiTUjK.
a) cos(0/2) = + r); 6) <fP = (1/2) sind в) P = l/2.
3,3-10"⁵.
d = 4Jr²K²sia⁴(b/2)/nIZ²k²e⁴ = 1,5 мкм, где и - концентрация ядер*.
а) 1,6 10^е; б) ДАТ = /„тяnd(Zke²IK)²ctg²(f>₀/2) = 2,0-10⁷, где и - концентрация ядер*.
P = nnd(Zke²\m\?? = 0,006, где И — концентрация ядер*.
ДЛГ/#= 1 -nnZ²*V/Ji:²tg²(0/2) =0,6, см. сноску.
ДАГ/JV = (itk²e*l4K²)(0JZ²IM_l + 0,3Z}/M₂)ctg²(0/2) = 1,4• 10'³, где Zj и Z₂ — порядковые номера меди и цинка, М, и М₂ - их молярные массы, JVj - постоянная Авогадро*.
До = я(Zke²/K)²ctg²(d₀/2) = 0,73 кб*.
а) 0,9 МэВ; б) do/dCl =Ao/4itsin⁴(0/2) =0,64 кб/ср.
f = 3mc³lntj/2Jfce²o>²= 15 не*.
t *т²с³г³14к²е*= 13 пс*.
1,88, 0,657 и 0,486 мкм.

r_n = \fnb/m(£>, Е_я=пЬи>, где и = 1,2 со = /х/т.
r_H = n²h²lmZke²; 52,9 пм (Н), 26,5 пм (Не⁺); v_ll = ke²Z/nb; 2Д810⁶ м/с (Н), 4,36-10⁶ м/с (Не⁺). См. сноску.
ш = тк² е⁴ Z²/b³n³ = 2,07-10¹⁶ с"¹. См. сноску.
E_a = bRZ², <р,'EJe, <р, = 3bRZ²/4e, k = Bnc/3RZ².

	эВ	Ф„ в	Ф„ В	А, нм
н	13,6	13,6	10,2	121^5
Не⁺	54,5	54,5	40,8	30,4

Aw, = 5e<p,/27 =7,6 эВ.
Е_т = SbRZ²/9 = 48,5 эВ.
А. = A.jA.j/(A.j - Х₂) = 2,63 мкм. Серии Брэкета, ибо при соответствующем переходе квантовое число нижнего уровня и = 2/^1 - 8яс/ЯА, =4.
а) 657, 487 и 434 нм; б) А./8А = (ЛГ + 3)³/8 = 1,5 • 10³.
sinO = nc(N + 2)³/lR - 0,865, отсюда 0 = 60°.
Не⁺.
N**n(n - 1)/2.
97,3, 102,6 и 121,6 нм.
п - 1/^1 - яс(А, + А₂)/2А,А₂Л = 4.
Л = 176яс/ 15Z²AА = 2,07 • 10^1в с .
Z = ^176«с/ 15Л Д А = 3; Li⁺⁺.
А = 2kc(zJR/Av> - 1)/Д« (2ZjR/Ьш - l) = 0,47 мкм.
£„ = 54,4 эВ (Не⁺).
Е = Е₀+ 4t)R =79 эВ.
I) = v/2(Ao> - 4bR)/m = 2,26 • 10^е м/с, где w = 2яс/А.
K_tm=3bR/2 =20,5 эВ.
и = 3bRf4mc = 3,27 м/с, где ж - масса атома.
(е-е')/е = 3A.R/8nic² = 0,55-10"*%, где т - масса атома.
и = 2\JbRlm = 3,1 • 10^е м/с, где ж - масса электрона.
и = ЗКДА/8ясовО = 0,7'10® м/с.
а) Е_я = п^гп^гЬ^г12т1^г; б) Е_я = п^гЬ^г12тг^г; в) Е_я = пЬ/сфп; г) £„ = = -та²/2Ь^гп².
Е_сш= \ik²e*l2b², R = \ik²e⁴/2b³, где р - приведенная масса системы. Без учета движения ядра эти величины для атома водорода больше на mlМ "0,055%, где т я М — массы электрона и протона. Здесь £= 1/4яе₀(СИ) или 1 (СГС).
а) Е_в-Е_я= 3,7 мэВ; б) А_н-А_д = 33 пм.
а) 0,285 пм; б) 2,53 кэВ; в) 0,65 нм.
а) 106 пм; б) 6,8 эВ; в) 0,243 мкм.
123, 2,86 и 0,186 пм.
Увеличится в JK/(K - V) = 2,0 раза.
А = 2яА/»с,реВ= 1,8 пм, где х,= 1 (СИ) или 1 /с (СГС).
Д£ = (2ir²A²/m)(l/A²- 1/А?) = 0,45 кэВ.
А=2п²Ь²1тХ²-р²/2т = -0,24 кэВ.
Для обеих частиц А = 2яА(1 + mjm^ j <р.т_лК = 8,6 пм.
Х = 2А,А₂/^А²+ А².
А = 2яА//2мА!^,(1 +К/2тс²); 1Г«4/яс²ДА/А = 20,4 кэВ для электрона и 37,5 МэВ для протона.
IT = (у/5-l) тс² = 0,21 МэВ.
А = А_к/^1 + mcXJnb = 3,3 пм.
в = 4яА//теЬДдс = 2,0 10^в м/с.
Д ж = 2nhllds]2meU = 4,9 мкм.
U₀=n²b²l2me(^ - l)Vsm²0 =0,15 кэВ.
<* = кЬкН2тКсов(Ъ12) = 0,21 нм, аде * = 4.
d = nbkl<J2mKsmb = 0,23 нм, ще к = 3 и угол 0 определяется формулой tg20 =£>/2/.
а) « = ^1 +UJU = 1,05; б) 1//У₍»1/(2+п)П =*>.
Е_я = п²к²Ь²/2т1², где I» = 1,2,...

1-Ю⁴, 1-10 и Ы0"²⁰ см/с.
Ди« hi ml - 1 • 10⁶ м/с, u, = 2,2 • 10^s м/с.

Ax » (А/юДх₀)Г = 10³ км.
K_m'b²l2rnl²=l эВ. Здесь взято Р"Ар и Дх = 2.
Д v/v *b/lj2mK = 1 • Ю^-4.
F«b²/ml³.
Ах * blfdfimeU - 10"* см.
Имея в виду, что p~Lp~ А/Дх ~А/х, получим E = K + U= А²/2 жх² + + хх²/2. Из условия dE/dx = 0 находим х₀ и затем Е_ш"bsfxfm = Ьа>, где «о - круговая частота осциллятора. Точный расчет дает А«/2.
Имея в виду, что при Е р-Др-А/Дг и Дг-г, получим

Е=р^г12т-ке²1г*Ь²12тг^г-ке²1г, где *=1/4яе₀ (СИ) или 1 (СГС). Из условия dE/dr = 0 находим

r^*b²lmke² = 53 пм, -ж*²е⁴/2А² = -13,6 эВ.

Ширина изображения А*Ь + Л'"А + bl/pb, где А' - дополнительное уширение, связанное с неопределенностью импульса Д/>_у (при прохождении через щель), р - импульс падающих атомов водорода. Функция Л(А) имеет минимум при b = s/Mjmv = 0,01 мм.
а) А=2/а^г, /(а)=2/а; б) <х>=2а/3, <х²> = а²/2.
а) х^-а, <х) = За/5; б) Р = =0,353.
а) х^а/2, А = б/а^э, /(х_мр)=3/2а; б) <х>=а/2, <x²> = 3a²/10.
а) г^а/2; б) А=3/ла²; в) (г)=а/2. 5.U9.a) r_Mp=a/v^; б) Л=2/яа²;

в) (г) = 8а/15.

5.120. dP/dx = 1/я^а²-х². 5.121.8) ЛГ₂ = = 900; б) ЛГ=(1 +

+ ti)²JV,= 1600; в) ЛГ = (1 -*1)²ЛГ, = 400.

См. рис. 49.
Решение уравнения Шрёдингера ищем в виде *Р =ф(х)/(1). Подстановка этой функции в исходное уравнение и разделение переменных х и f приводит к

двум уравнениям. Их решения: i|»(x)~e^ibt, 0 X

где k^yJlmEjh, Е - энергия частицы, и р_ис
49

f(t) ooe⁴"", где о = Е/Ь. В результате Y = ae^1(t*"^w'⁾, где a - некоторая постоянная.

/ = «Ау^²-rti)/2mДE = 2,5 нм.
P = 1/3+Vf/2«* 0,61.
E = a²b²/im.
/ = 2/Р_ж, Е = (пЬР_т)^г/8т.
£ = (А²/2м)(яа²/2)²'³.

fAcos(nnx/i). если n= 1,3,5

ф = < Здесь А = /2//.

[i4sin(itwx/Q, если и = 2,4,6,...

= (//яА)у/и/21; при £ = 1 эВ dN/dE = 0,8 • 10⁷ уровней на 1 эВ.
а) В этом случае уравнение Шрёдингера имеет вид

3²ф/Эх² + Э²ф/3у² + *²ф = 0, к^г = 2тЕ/Ь².

Возьмем начало отсчета координат в одном из углов ямы. На сторонах ямы функция ф(х,у) должна обращаться в нуль (по условию), поэтому внутри ямы ее удобно искать сразу в виде ф(х,у) = asin^xsiiifcjy, так как на двух сторонах (л = 0 и у =0) автоматически ф=0. Возможные значения к_х и к₂найдем из условия обращения ф в нуль на противоположных сторонах ямы:

ф(/,,у)=0, fc, = ±(я/£,)п,, n,= 1,2,3,...,

ф(х,/_г)=0, к₂ = ±(п/1₂)п_г, п₂= 1,2,3,...

Подстановка волновой функции в уравнение Шрёдингера приводит к соотношению к\ + к%=к², откуда Е_пл ⁼б) 9,87, 24,7, 39,5 и 49,4 единиц Ь^г/т1².

Р = 1/3-v/3/4ji= 19,5%.
а) Е = (п² + п%+п%^])1С²Ь²12та², где П_1У п₂, п_} - целые числа, не

равные нулю; б) ДЕ = п²Ь²/та^г', в) для 6-го уровня nf + n^ + n²= 14 и

Е = 7я²А²/тя²; число состояний равно шести (это число перестановок чисел 1, 2 и 3).

Проинтегрируем уравнение Шрёдингера по малому интервалу координаты X, внутри которого имеется скачок U(x), например в точке х = 0:

дх дх {_ь t²

Ввиду конечности скачка U при Ь ->0 интеграл тоже стремится к нулю. Дальнейшее очевидно.

а) Запишем уравнение Шрёдингера для двух областей:

0 <х<1, ф" + £²ф, = 0, k² = 2mE/h², х>1, ф₂ - х²ф₂ = 0, х² = 2m(U₀ -Е)1 h².

Их общие решения, ф,(лс) = asia(kx + а), ф₂(дс) =Ьехр(-**) + сехр(*дс), должны удовлетворять стандартным условиям. Из условия ф, (0) =0 и требования конечности волновой функции следует, что а = 0 и с = 0. И наконец, из непрерывности ф(х) и ее производной в точке х = 1 получим

tgW = -fc/x, откуда sinifcl =

Изобразив графически левую и правую части последнего уравнения (рис. 50), найдем точки пересечения прямой с синусоидой. При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям энергии Е, будут соответствовать тем точкам пересечения (kl)j, для которых tg(kl)_t<0, т.е. корни этого уравнения будут находиться в четных четвертях окружности (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками). Из графика видно, что корни уравнения, т.е. связанные состояния частицы, существуют не всегда. Штриховой линией показано предельное положение прямой.

б) <.l²U₀)_lMm=n²h²l&m, (1²и_о)_яшт=(2п - l)iz²h²/8m.

5.136. Пусть Р_а и P_t - вероятности нахождения частицы вне и внутри ямы. Тогда

Р °° '

— = ( b²eT²*^xdx / f a²sm²kxdx = —— ,

P_t J, /{ 2 ₊ 3n

где отношение b/a можно определить из условия (/) = ф₂(/). Остается учесть, что Р_а+Р,= 1, тогда Р_а = 2/(4 + Зж) = 14,9%.

Е₁ = я²А²/18ма².
В результате указанной в условии подстановки получим %" + k²%-0, где к^г = 2тЕ1Ь^г. Решение этого уравнения ищем в виде % = asin(ifcr + а). Из требования конечности волновой функции ф в точке г = 0 следует, что <х = 0. Таким образом, ф = (<z/r)sin*r. Из условия непрерывности ф(г„)=0 получим

кг₀=пп, где п = 1,2,... Отсюда Е_я = п²п²Ь^г12тг%.

а) ф(г) = (2nr₀)"^V2sin(mtr/r₀)/r, и = 1,2,...; б) г_юр=г₀/2; 50%.
а) Решения уравнения Шрёдингера для функции х(^г)^:

r<r₀, X,=i4sin(*r + в), ще к = у&жЕ/А,

'•>'0' х₂"-Вв1ф(кг) + Сеаф(-кг), ще * = J2m(U₀-E)/b.

Из требования ограниченности функции ф(г) во всем пространстве следует, что « = 0 и Л =0. Таким образом, ф, = (.Л/г) шкг, ф₂ = (С/г)ехр(-хг). Из условия непрерывности ф и ее производной в точке г = г₀ получим

tgkr₀= -к/к, или sinkr₀= ±^А^г12тг%и₀кг₀. Это уравнение, как показано в решении задачи 5.135, определяет дискретный спектр собственных значений энергии.

б) r$U₀* n²b²/Sm.

а-тч>/2Ь, Е = Ьи>/2, где ш = sjk/m.
Е =<tb²/m, U(x) = (2a²b²/m)x².
а) Л =1/Jicrf; б) г_х = Ь²/кте^г, Е = -b²/2mr² = -кте*/2Ь^г, где *=1 (СГС) или 1/4яг₀ (СИ).
Е- -к²те*/8Ь², т.е. уровень с главным квантовым числом п =2. Здесь *=1 (СГС) или 1/4яе₀ (СИ).
а) г_мр = г,; б) Р = 1 - 5/е² = 0,323.
(rVr^-3/2.
Р = 13/е⁴ = 0,238.
а) (F> = 2ke¹/r_l; б) (U) = -ke²/r_v Здесь * = 1 (СГС) или 1/4яе₀(СИ).
а) ^ = 4^; б) (г) ~5г_г
(г) = а/2.
(U) = b<J*l%m.
а) (х) = 0; б) (р_х) = Ьк. При расчете следует учесть, что интеграл, у которого подынтегральная функция нечетная, равен нулю.
ф₀ = fk(p/r)4nr²dr = -ke/r_v где р=-еф² - объемная плотность заряда, ф - нормированная волновая функция, к = \ (СГС) или 1/4яе₀ (СИ).
а) Запишем решения уравнения Шрёдингера слева и справа от границы бэрьера в следующем виде:

х<0, Ф,(х) "«х^хрО^х)* bjexpC-iJtjJt), где к₁ = ^2тЕ/Ь,

х>0, ф₂(х) = Oje*p(ifc₂x) + 6₂exp(-ifc₂x), где k₂=J2m(E - U₀)/b.

Будем считать, что падзющая волна характеризуется амплитудой a,, a отраженнэя - амплитудой Ъ₂. Так как в области Х>0 имеется только проходящая волна, то Ь_г = 0. Коэффициент отражения R представляет собой отношение отраженного потока к падающему потоку, или, другими словами, отношение квадратов амплитуд соответствующих волн. Из условия непрерыв

ности ф и ее производной в точке X = 0 имеем а, + b_t = а_г и a_l~b_l = = откуда

л-(tye^-t^-jyVOfc,+ *,>».

б) В случае E<U₀ решение уравнения Шрёдингера справа от барьера: ф₂(х) =а_гсхр(хх) + Ь₁ехр(-хх), где х = J2m(U₀-Е)/Ь. Из конечности ф(х)

следует, что aj = 0. Плотность вероятности нахождения частицы под барьером

£> = ехр
D « ехр
D «ехр

fjw = y\i.x) iv ехр(-2хх). Отсюда х_>фф=1/2х.

-(2//А)/2т(1/₀-Я)]-

-(4lj2^l3bV₀)(U₀-Е)³'²].

а = JbR/E_a - и = -0,41 и -0,04 соответственно.
о = JbR/(E₀-e<р,) -3 = -0,88.
£_ет = А/?/(/ДА,А₂/2лсДА - 1 )² = 5,3 эВ.
0,82 мкм (35-2Р) и 0,67 мкм (2Р-25).
Д£ = 2яАсДА/А² = 2,0 мэВ.
До) = 1,044• 10¹⁴ с'¹.
3S_1/2, ЗР 3Р_зп, 3D_in, 3D,_n.
a) 1, 2, 3, 4, 5; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; в) 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2.
Для состояния *Р: А/574, А/15/4 и А/35/4; для состояния 0, А/2, А/б, А/12, А/20.
a) %₂, М_ншш = А/6374; б) ³F₄, М_мис = 2АД/5.
В ^-состоянии М,= А/б; для £>-состояния можно лишь установить,

что М₅>А/б.

3, 4, 5.
Af_t = А/30, ⁵Я₃.
а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 2, 4, 6; в) 5, 7, 9.
31,1°.
'Р,, 'Dj, 'F,, ³P_{0
I 2}, ³D_1>2i3 , ³F₂₃₄.
Те же, что и в предыдущей задаче.
Второй и третий.
g = 4 + 6 = 10.
Соответственно 4, 7 и 10.
³F₃.
As (Z = 33). 5-180. а) %_/2; б) ³Р₂.

a) ⁴F_j/2, А/15/4; б) ⁴F_9/2, АЗ/ГГ/4.
а) Два d-электрона; б) пять />-электронов; в) пять rf-электронов.
а) ³Р₀; б) ⁴F_9/2.
⁴F_j/2.
т = l/vlnt| = 1,3 мкс.
N = kxP/2icch = 7 • 10*.
154 пм.
a) 843 пм для Al, 180 пм для Со; б) Д.Е = 5 кэВ.
Три.
15 кВ.
Да.
Z = 1 + - l)eUJ3hR(n - UJUJ = 29.
Z = 1 + 2/Ды/ЗД = 22, титан.
Е_а = (3/4)A£(Z - 1)² + 2«cA/A_t = 5,5 кэВ.
£₄ = Ай>/(2жс/мДА-1) =0,5 кэВ, где ь> = (3/4)R(Z - I)².
Z = 1 + /8яс/ЗЯА_в = 22 (Ti), X = A.X₀/(A. - A„) = 0,29 нм.
К = (3/4)АЛ(Z - 1 f - 2ясА/A_r = 1,47 кэВ, u= 1,80• 10⁷ м/с.
a) g - 2, за исключением синглетного состояния; б) £ = 1 •
а) -2/3; б) 0; в) 1; г) 5/2; д) 0/0.
а) /12 б) /12/5 р_Б; в) /Й/З р_Б.
М, = А/12.

5202. ц = /35 ц_Б (^eS_J/2).

ц = /63/5 ц_Б.
ц = 5/5/4 ц_Б.
М = А/3/4.
⁵F_t.

5207. ш = \i_EgB/b = 1,2 • Ю¹⁰ рад/с, где g - фактор Ланде. "«8- Гуж'Рш\3B/dz | = xg7_li_B(3n//8)//r² = 4,l • 10'²⁷ Н, где х = 1/с (СГС) или Ц₀/4я (СИ).

Р=хц_в2//г^г = 3-10"^м Н, где х = 1 /с (СГС) или р₀/4я (СИ).
дВ/дг = 2Kx/gJ\i_El_l(l_l + 2/₂) = 15 кГс/см = 0,15 кТл/м.
а) Не расщепится; б) на шесть; в) не расщепится (g = 0).
AE = 2gJ\i_sB; a) 5,810"³ эВ; б) 1,45-М"⁴ эВ.

а) Простой; б) сложный; в) простой; г) простой (здесь для обоих термов факторы Ланде одинаковы).
2,=ДЯ/2ц_БВ = 3;
ДА = А²ц_вВ/ясА = 35 пм.
В_ихя = 4,0 кГс =0,40 Тл.
1. В = АДо>/£ц_б = 3,0 кГс = 0,30 Тл.
2. Фактор Ланде g = АДш/2ц_БВ = 3/2, 5 = 2 и х = 25 + 1=5.
3. ²P_W.
4. а) 2:1 (отношение соответствующих факторов Ланде); б) В = = 2*сАДА/$ц_бПА² = 5,5 кГс = 0,55 Тл.

5.221. Дш = (±1,3, ±4,0, ±6,6)• 10^ю с"¹, шесть компонент. 5222. а) Шесть (1) и четыре (2); б) девять (Г) и шесть (2).

5323. А со = 2(w,g,- m^^^B/b = 1,0- 10^й с"¹.

5.224. со = 4/2 Ь/ш<Р = 1,57 • 10^й рад/с, где m - масса молекулы.

2 и 3.
М = \lmd^lEI2 = 3,5Л, где Ш — масса молекулы.
г = Д£₁/(ДЕ₂-Д£,)=2, / = .Ь²/(Д^-ДЕ,) = 0,7-10-^j* г-см¹.
<о = (/1 + SEI/h¹ - l)h/2I = 1,8 • 10¹² С-¹.
/ = А/Дсо = 1,93*Ю"⁴⁰ Г'см², = 112 пм.
13 уровней.
N * /2/со/А = 33, со - собственная частота колебаний.

5.232. dN/dE = a/2(r + 1) = a/(l +/Г~+4аЁ), где а = 27/А², / - момент инерции молекулы. При г = 10 для иода dN/dE = 1,0 • 10* уровней/эВ.

5333. E_ma/E_tv = to\id^I/b, где р — приведенная масса молекулы; а) 36; б) 1,7-Ю²; в) 2,9-10'.

d = /2Л/рДо> = 0,13 нм, где р - приведенная масса молекулы.
А. = А₀/(1 то>А₀/2яс) =423 и 387 нм.
со = яс(А_г- А_ф)/А_гА._ф = 1,37 • 10¹⁴ сх = 4,97 Н/см. 5337. 2-10" кг/см³, 1-Ю³⁸ нуклон/см³.

⁸Ве, Е_п = 56,5 МэВ.
а) 8,0 МэВ; б) 11,5 и 8,7 МэВ; в) 14,5 МэВ.
Е_я-Е_р = 0,22 МэВ.
JE = 20e_Ne-2^,4e_>-12г_с= 11,9 МэВ, где е - энергия связи на один нуклон в соответствующем ядре.
а) 8,0225 а.е.м.; б) 10,0135 а.е.м.
а) Р = 1 -exp(-Af); б) т = 1/А.
Около 1/4.
1,2-10¹⁵.
т ® 16 С.
Г =5,3 сут.
0,85-10⁶ Бк.
А = - (l/f)ln(l - rj) « ц/f = 1,1 • 10"' с"¹, т = 1/А = 1,0 сут.
Г =4,5 10⁹ лет.
t = Tlnri /1п2 = 4,1 • 10* лет.
t = Г1л( 1 + 1/т\ )/1п2 = 2,0 • 10® лет.
Соответственно 3,2-10¹⁷ и 0,8-10⁵ Бк/г.
V" (А/А') ехр [-(t/T) 1п2] = 6 Л. 5355. 0,19%.

5.256. t = -(Г/1п2)1п(1 -A/q) =9,5 сут.

а) ЛГ₂(О=ЛГ₁₀[ехр(-А₁О-ехр(-А₂О]А₁/(А₂-А₁); б) <_я = 1п(А₁/А₂)/(А,-А₂).
a) N₂(t) = kN_l0te~>-'; б) t_m= 1/А.

5.259. а) ^20бРЬ; б) восемь а-распадов и шесть Р-распадов.

5360. v = J2m_uK_a /т = 3,4• 10^s м/с, т - масса дочернего ядра; 0,020. 5.261. 1,6 МДж.

5.262. 0,82 МэВ.

5263. а) 6,1 см; б) соответственно 2,110^s и 0,77-Ю⁵.

1[М_Ы-М )с² при Р"-распаде и 1Г-захвате,

■

М_и-М_я~2т)с² при Р*-распаде.

5Л65. 0,56 МэВ и 47,5 эВ. 5266. 5 МДж.

0,32 и 0,65 МэВ.
К в Q(Q ■* 2тс²)/2МцС² = 0,11 кэВ, ще Q = М_с-2т)с т — масса электрона.
v = c(m_Bt-т_и)/т_и=40 км/с.
0,45 с где с — скорость света.
1. Де/е = Е/2тс² = 3,6 • 10"⁷, где т - масса ядра.
2. v = t/mc = 0,22 км/с, где т - масса ядра.

и = ^А/с = 65 мкм/с.
h_iam = bc²/gex = 4,6 м.
1. JSr = JC./[l + (М - mf\4mMcos²0] = 6,0 МэВ, где m и М - массы « частицы и ядра лития.
2. а) ц = 4тМ1(т + Л/)² = 0,89; б) ц = 2m/(m + М) = 2/3. Здесь т М — массы нейтрона и дейтрона.

5.277. О = arcsin (/и, /wt,) ° 30°.

a) d; б) ^,7F; в) «; г) ³⁷С1.
Q = (Е₃ + Е_а) ~(Е₁ + Е₂).
а) 8,210¹⁰ кДж, 2,7Ю⁶ кг; б) 1,5 кг.
5,74-Ю⁷ кДж; 2-Ю⁴ кг.

2,79 МэВ; 0,85 МэВ.
<? = 8е. - 7е_ы = 17,3 МэВ.
Q = (1 + ripj^-d - л.Ж. - 2^_аК_рК_а cost = -1Д МэВ, где л, = m_plm₀, r\_a = mjm₀.
1. а) -1,65 МэВ; б) 6,82 МэВ; в) -2,79 МэВ; г) 3,11 МэВ.
2. и_а = 0,92 • 10⁷ М/с, u_Lj = 0,53 • 10⁷ м/с.
3. 1,9 МэВ.

К„ = [<? + (1- mJm_c)K] / (1 + mjm_c) = 8,5 МэВ.
9,1 МэВ, 170,5°.

K%-E_et(m_p + m_d)/m_d= 3,3 МэВ.
В пределах от 1,89 до 2,06 МэВ.
1. <?= -<11/12)Х^ - -3,7 МэВ.
2. Соответственно 1,88 и 5,75 МэВ.
3. 5.296. К= -
  4,4 МэВ, 5,3-Ю⁶ м/с.

2,2 МэВ, ще ж,, т₂, т.

/»₃ + т,

т₄ — массы нейтрона, ядра ¹²С, а-частицы и ядра ⁹Ве. 5.297. На Е_а12тс² = 0,06%, где т - масса дейтрона. 5298. Е = <? + 2JT/3 = 6,5 МэВ.

5399. E = E_a + ^mjitttj + rn_c) = 16,7, 16,9, 17,5 и 17,7 МэВ, ще J?_e - энергия связи дейтрона в промежуточном ядре.

o = (M/N_Apd)\ai]'2£ кб, где М - молярная масса кадмия, Ы_л — постоянная Авогадро, р - плотность кадмия.
/₀// = ехр [(20j + a₂)nd] = 20, где я - концентрация молекул тяжелой воды.
w = {1-ехр[-(о,+ o_e)nd]}o_fl(a₁+ а_в) =0,35, ще и - концентрация ядер железа.
a) T=(wfk) 1п2; б) w =Л7>/Л1п2 =2КГ³.
а) » = ч/оУ = 3-10^е лет; б) N_uaj, = JaN₀TI\a2 = 1,0' 10¹³, ще ЛГ₀ - число ядер ¹⁹⁷ Аи в фольге.
N = (l -e~^u)Jno/X.
J =Ae^uloN₀(l-е~¹') = б• 10^ см~^2,с~¹, ще X - постоянная распада, N₀ — число ядер Аи в фольге.
N = = 1,3' 10⁵, ще i — число поколений.
N = vP/Е »0,8 • 10¹⁹ С"¹.
а) АГ/ЛГ_о = 4 10²; б) Г= r/(Jfc - 1) = 10 с.
K = mc^l(j 1 + (p/mcf - l) = 5,3 МэВ, 0,43 и 9,1 ГэВ.
<1> = ст₀/г)(т| +2) = 15 м.
т₀ = 1тс/Щк + 2жс²)=2б не, где т — масса мезона.
JIJ₀ = ехр | - /же/ т₀/АГ(ЛГ + 2/яс²)| = 0,22, ще ж - масса я-мезона.
Г_|1 = (ж_1|-ж_|1)с^а/2ж,-4,1 МэВ, £, = 29,8 МэВ.
£ = [<m_s - ж.)² - ж²]с²/2ж_а = 19,5 МэВ.
JC_we = (m_(l-ж,)²с²/2ж„ = 52,5 МэВ.
же² =т_гс^г + К + Jт\с⁴ + Г(АГ + 2ж,с²) = 1115 МэВ; А-частица.
t=t₀Jl+(ж_|4/ж,)²]м_г/2ж₍₁ = 5,4 мкс, ще т„ - среднее время жизни покоящихся мюонов.
Е_у = (ж² - ж²)с⁴/2(ж,с² + = 22 МэВ.
тс² = + ж²)с*-2(т_Ес² + К_г)(т_%с² + К_%) = 0,94 ГэВ, нейтрон.
je, = M„c²[csc(e/2)-l], £_г = т_яс²/2яп(е/2). При 0 = 60" iT = £ = ж с².

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019137.22 Кб6инфа_ответы.doc
#
26.09.2019270.34 Кб4Информатика.doc
#
12.11.20182.1 Mб15Ионин Л.Г. - Социология культуры. Путь в новое....doc
#
11.11.2018109.06 Кб5ИППУ.doc
#
16.11.2018663.55 Кб12ире_ГЛАВА 3.doc
#
28.09.20191.73 Mб63Иродов текст.docx
#
15.08.2019222.72 Кб16Искусственный интеллект.doc
#
24.11.2019167.42 Кб3ислам и экология.doc
#
18.09.20198.33 Mб131Испытания конструкций и систем КА.doc
#
23.09.20191.18 Mб12Испытания измерительно-управляющих комплексов.docx
#
19.11.2019697.86 Кб20исследование автоматической регулировки усилени...doc