1.1. Кинематика 3

s=J vdt, (l.lr) 3

w =d(f/dt, ^ = dv>ldt. (1.1д) 3

20 t,c 5

12. Основное уравнение динамики 16

K = K*mv²_c/2, (1.3л) 41

if> = ~ymlr. (1-4в) 84

-С±) |h 183

4 183

1,0 218

tg,,^^. ₍з.З е) 421

v-ujfi, /-/„V5. 579

= JL 600

1,0 620

о о' о О' 625

С 650

a) ⁶F- б) ⁴0_1/2; в) ^$F₂; г) д) ³Р₀; 691

^гД^{е 1=л}по_СТ^+и.р ^{+ 2и}™л- 719

S = ktaCl, 729

с/с_м 745

4/./,Ш_а 27, А <о л 775

и = 0,1,2,... 801

= UjClL-(RC!L? = 1,0 А, /₁₌ Uv/CTI = 1,0 А. 3.171 tg<p = [»С(Л²+й>²/.^г) - «1]/Д. 804

® 812

нены проводником, а на внутренние

пластины подана разность потенциа- Р_ИС. 2.9

лов Д ф. Найти:

а) напряженность электрического поля между пластинами;

б) суммарный заряд на единицу площади каждой пластины.

2.75. Между пластинами накоротко

( замкнутого плоского конденсатора нахо-

S ' q дится металлическая пластина с заря-

дом q (рис. 2.10). Пластину перемести- Рис. 2.Ю ли на расстояние I. Какой заряд Дq

прошел при этом по закорачивающему проводнику? Расстояние между пластинами конденсатора d.

76. Две проводящие плоскости 1 и 2 расположены на расстоянии I друг от друга. Между ними на расстоянии х от плоскости 1 находится точечный заряд q. Найти заряды, наведенные на каждой из плоскостей.

77. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу поверхности произвольного провод­ника, в точке, где а = 46 мкКл/м².

78. Металлический шарик радиуса R = 1,5 см имеет заряд q = 10 мкКл. Найти модуль результирующей силы, которая действует на заряд, расположенный на одной половине шарика.

79. Незаряженный проводящий шар радиуса R поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью а = ст₀ cos О, где ст₀ — постоянная, ft - полярный угол. Найти модуль результирующей электричес­кой силы, которая действует на весь индуцированный заряд одного знака.

80. Найти энергию упругого диполя с поляризованностью Р (р = Р е₀ Е) во внешнем электрическом поле с напряжен­ностью Е.

81. Неполярная молекула с поляризуемостью р находится на большом расстоянии I от полярной молекулы с элетричес- ким моментом р. Найти модуль силы взаимодействия этих молекул, если вектор р ориентирован вдоль прямой, проходя­щей через обе молекулы.

82. На оси тонкого равномерно заряженного кольца радиуса R находится неполярная молекула. На каком расстоянии х от центра кольца модуль силы F, действующей на данную молекулу:

а) равен нулю; б) имеет максимальное значение? Изобразить примерный график зависимости F_x(x).

76. Точечный сторонний заряд q находится в центре шара из однородного диэлектрика с проницаемостью е. Найти поляризованность Р как функцию радиуса-вектора г относитель­но центра шара, а также связанный заряд q' внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.

77. Точечный сторонний заряд q находится в центре диэлектрического шара радиуса а с проницаемостью ej. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью е₂. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела этих диэлектриков.

78. Показать, что на границе однородного диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанных зарядов о' = -о(е-1)/е, где е - диэлектрическая проницаемость, о - поверхностная плотность зарядов на проводнике.

79. Проводник произвольной формы, имеющий заряд q = 2,5 мкКл, окружен слоем однородного диэлектрика с прони­цаемостью е = 5,0. Найти суммарные поверхностные связанные заряды на внутренней и наружной поверхностях диэлектрика.

80. В некоторой точке А внутри однородного диэлектрика с проницаемостью е = 2,5 плотность стороннего заряда р = = 50 мКл/ж³. Найти в этой точке плотность связанных зарядов.

81. Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя радиусов а и Ь, причем а<Ь. Изобразить примерные графики модуля напряженности электрического поля Е и потенциала <р как функций расстояния г от центра системы, если диэлектрик имеет положительный сторонний заряд, распределенный равномерно:

а) по внутренней поверхности слоя; б) по объему слоя.

76. Вблизи точки А (рис. 2.11) грани­цы раздела стекло - вакуум напряжен­ность электрического поля в вакууме Е₀ = 10,0 В/м, причем угол между вектором Е₀ и нормалью п к границе раздела а₀ = 30°. Найти напряженность Е поля в стекле вблизи точки А, угол а между векторами Е и п, а также поверхностную плотность связанных зарядов в точке А.

77. Диэлектрик с проницаемостью е граничит с вакуумом. На его поверхности имеются сторонние заряды с плотностью а. У поверхности диэлектрика в вакууме напряженность электри­ческого поля равна Е, причем вектор Е составляет такой угол 0 с нормалью к поверхности раздела, что линии вектора Е не терпят излома при переходе границы раздела. Найти угол Ь. Каков должен быть знак о ?

78. 

    У плоской поверхности однородного диэлектрика с проницаемостью е напряженность электрического поля в

79. вакууме равна Е₀, причем век­тор Е₀ составляет угол Ф с нормалью к поверхности диэ­лектрика (рис. 2.12). Считая поле внутри и вне диэлектрика однородным, найти:

а) поток вектора Е через сферу радиуса R с центром на поверхности диэлектрика;

б) циркуляцию вектора D

по контуру Г длины / (см. рис. 2.12), плоскость которого перпендикулярна поверхности диэлектрика и параллельна век­тору Е₀.

76. Бесконечно большая пластина из однородного ди­электрика с проницаемостью е заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью р. Толщина пластины 2d. Найти:

а) модуль напряженности электрического поля и потенциал как функции расстояния I от середины пластины (потенциал в середине пластины <р = 0); взяв ось х перпендикулярно пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекции Е_х(х) и потенциала <р(х);

б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.

76. Сторонние заряды равномерно распределены с объем­ной плотностью р > 0 по шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью е. Найти:

а) модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния г от центра шара; изобразить примерные графики зависимостей Е(г) и <р (г);

Рис. 2.12

б) объемную и поверхностную плотности связанных зарядов.

76. Круглый диэлектрический диск радиуса R и толщины d поляризован статически так, что поляризованность, равна Р, всюду одинакова и вектор Р лежит в плоскости диска. Найти напряженность Е электрического поля в центре диска, если

d«R.

2.95. При некоторых условиях поляризованность безгранич­ной незаряженной пластины из диэлектрика имеет вид Р = = P₀(l -x²jd²), гдеР₀ - вектор, перпендикулярный пластине, ж - расстояние от середины пластины, d - ее полутолщина. Найти напряженность электрического поля внутри пластины и разность потенциалов между ее поверхностями.

2.96. Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом и напряженность электрического поля в зазоре равна Е₀. Затем половину зазора, как показано на рис. 2.13, заполнили однородным диэлектри­ком с проницаемостью е. Найти модули векторов Е и D в беих частях зазора (1 и 2), если при введении диэлект­рика:

а) напряжение между обкладками не менялось;

б) заряды на обкладках оставались неизменными.

Рис. 2.13 Рис. 2.14

97. Решить предыдущую задачу с тем отличием, что диэлектриком заполнили половину зазора, как показано на рис. 2.14.

98. Половина пространства между обкладка­ми сферического конденсатора заполнена (рис. 2.15) однородным диэлектриком с проница­емостью е. Заряд конденсатора q. Найти мо­дуль напряженности электрического поля между р_ис. 2.15 обкладками как функцию расстояния г от

центра конденсатора.

97. Внутри шара из однородного диэлектрика с проницае­мостью е = 5,00 создано однородное электрическое поле напря­женности Е = 100 В/м. Радиус шара R = 3,0 см. Найти максималь­ную поверхностную плотность связанных зарядов и полный связанный заряд одного знака.

98. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии I от плоской поверхности однородного диэлектрика, заполняю­щего все полупространство. Проницаемость диэлектрика е. Найти:

а) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния г от точечного заряда q;

б) суммарный заряд на поверхности диэлектрика.

97. Воспользовавшись условием и решением предыдущей задачи, найти модуль силы, действующей на заряд q со стороны связанных зарядов на поверхности диэлектрика.

98. Точечный заряд q находится на плоскости, отделяю­щей вакуум от безграничного однородного изотропного диэлек­трика с проницаемостью е. Найти модули векторов D и Е и потенциал <р как функции расстояния г от заряда q.

99. Небольшой проводящий шарик, имеющий заряд q, находится в однородном изотропном диэлектрике с проницае­мостью е на расстоянии I от безграничной плоской границы, отделяющей диэлектрик от вакуума. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе диэлектрик - вакуум как функцию расстояния г от шарика. Исследовать полученный

результат при 0.

97. Полупространство, заполненное однородным изотроп­ным диэлектриком с проницаемостью е, ограничено проводя­щей плоскостью. На расстоянии I от этой плоскости в диэлектрике находится небольшой металлический шарик, имеющий заряд q. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе с проводящей плоскостью как функцию расстояния г от шарика.

98. Пластинка толщины h из однородного статически поляризованного диэлектрика находится внутри плоского кон­денсатора, обкладки которого сое­динены между собой проводни­ком. Поляризованность диэлектри­ка равна Р (рис. 2.16). Расстояние между обкладками конденсатора d.

^Рис- ²¹⁶ Найти векторы Е и D внутри и

вне пластины.

97. Длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован так, что вектор Р = аг, где а - положительная постоянная, г — расстояние от оси. Найти объемную плотность р' связанных зарядов как функцию расстояния г от оси.

98. Диэлектрический шар поляризован однородно и статически. Его поляризованность равна Р. Имея в виду, что так поляризованный шар можно представить как результат малого сдвига всех положительных зарядов диэлектрика относительно всех отрицательных зарядов:

а) найти напряженность Е поля внутри шара;

б) показать, что поле вне шара является полем диполя и

потенциал поля <р = р₀г/4к е₀г³, где р₀ - электрический момент шара, г - расстояние от его центра.

97. В однородное электрическое поле Е₀ поместили однородный диэлектрический шар. При этих условиях диэлек­

98. трик поляризуется однородно. Найти напряженность Е поля внутри шара и поляризованность Р диэлектрика, проницаемость которого е. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

99. Два одинаковых небольших одноименно заряженных шарика подвешены на изолирующих нитях равной длины к одной точке. При заполнении окружающей среды керосином угол расхождения нитей не изменился. Найти плотность материала шариков.

100. На расстоянии г от точечного заряда q расположен тонкий диск из диэлектрика с проницаемостью е. Объем диска V, его ось проходит через заряд q. Считая, что радиус диска значительно меньше г, оценить силу, действующую на диск.

23. Электроемкость.

Энергия электрического поля

• Емкость плоского конденсатора:

С = г z₀S/d. (2.3а)

• Энергия взаимодействия системы точечных зарядов:

(2-36)

• Полная электрическая энергия системы с непрерывным распределением заряда:

W=y_vPdV. (2.3в)

• Полная электрическая энергия двух заряженных тел:

W-W_t + W₂* W_n, (23т)

где W, и Wj — собственные энергии тел, W_n - энергия взаимодействия.

• Энергия заряженного конденсатора:

W-qUJl »д²/2С » CU²I2. (2.3д)

• Плотность энергии электрического поля:

и> = ED/2 = i t₀E²/2. (2.3е)

97. 97

    Найти емкость шарового проводника радиуса R_x = = 100 мм, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости е = 6,0 и наружного радиуса #2 = 200 мм.

Ч-»Ч9

97. К напряжению U = 100 В подключили последовательно два одинаковых конденсатора, каждый емкости С = 40пф. Затем один из них заполнили диэлектриком проницаемости е = 3,0. Во сколько раз уменьшилась напряженность электричес­кого поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет в цепи?

98. Пространство между обкладками плоского конденсато­ра заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщины d_x и d₂ и проницаемости е, и е₂. Площадь

каждой обкладки равна S. Найти:

а) емкость конденсатора;

б) плотность а' связанных зарядов на границе раздела слоев, если напряжение на конденсаторе равно U и электриче­ское поле направлено от слоя 1 к слою 2.

97. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен диэлектриком, проницаемость которого меняется в перпендикулярном обкладкам направлении - растет линейно от ej до е₂. Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними

d. Найти:

а) емкость конденсатора;

б) объемную плотность связанных зарядов как функцию е, если заряд конденсатора q и поле Е в нем направлено в сторону возрастания е.

97. Найти емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого а и Ь, причем а<Ь, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком:

а) проницаемости е;

б) проницаемость которого зависит от расстояния г до центра конденсатора как е = а/г, где а - постоянная.

97. То же, что и в предыдущей задаче, но конденсатор цилиндрический длины I ив пункте б) г - расстояние до оси системы. Краевыми эффектами пренебречь.

98. Найти емкость сферического конденсатора, радиу­сы внутренней и внешней обкладок которого равны а и Ь, если пространство между обкладками заполнено наполовину (см. рис. 2.15) однородным диэлектриком проницаемости е.

99. Два длинных прямых провода одинакового радиуса сечения а расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно Ь. Найти взаимную емкость проводов Cj на единицу их длины при условии а «Ь. Вычис­лить Cj, если а - 1,00 мм и Ь = 50мм.

97. Длинный прямой провод расположен параллельно проводящей плоскости. Радиус сечения провода а, расстояние

98. между осью провода и проводящей плоскостью Ь. Найти взаимную емкость этой системы на единицу длины провода при условии а «Ь.

99. Найти взаимную емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса а, расстояние между центрами которых Ь, причем а«Ъ. Система находится в однородном диэлектрике проницаемости с.

100. Определить взаимную емкость системы, которая состоит из металлического шарика радиуса а и проводящей плоскости, отстоящей от центра шарика на расстояние I, при условии а«1.

101. С -lb

     Найти емкость системы одинаковых конденсаторов между точками А и В, которая показана:

а) на рис. 2.17;

б) на рис. 2.18.

А			nJ
и		п п Сг		В

Рис. 2.17

1ЖН-И Hb-

с

Рис. 2.18

2.123. Четыре одинаковые металлические пластины располо­жены в воздухе на расстоянии d = 1,00 мм друг от друга. Площадь каждой пластины S = 220 см². Найти емкость системы между точками А и В, если пластины соединены так, как показано:

а) на рис. 2.19; б) на рис. 2.20.

С

-О А

-О А -Ой

-О В

Рис. 2.19

124. Конденсатор емкости С, = 1,0 мкФ выдерживает напряжение не более {/, = 6,0кВ, а конденсатор емкости С_г = 2,0 мкФ - не более U₂ = 4,0 кВ. Какое напряжение может выдержать система их этих двух конденсаторов при последова­тельном соединении?

125. Рис. 2.20

     В схеме (рис. 2.21) найти разность потенциалов между точками А и В, если ЭДС ^=110 В и отношение емкостей С₂/С₁ = ц= 2,0.

Рис. 2.21

с

.с ..с с

II-

с

Рис. 2.22

2.126. Найти емкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного и того же звена из двух одинаковых конденсаторов, каждый емкости С (рис. 2.22).

127. В некоторой цепи имеется участок АВ (рис. 2.23). ЭДС Г =10 В, Cj = 1,0 мкФ, С₂ = 2,0 мкФ и разность по­тенциалов (р^ - (p_s = 5,0 В. Найти напря­жение на каждом конденсаторе.

128. В схеме (рис. 2.24) найти направление электрического поля в кон­денсаторах и напряжения на них, если ^ = 10 В, ^=15 В, Cj = 4,0 мкФ и С₂ = = 6,0 мкФ.

129. Найти разность потенциалов <р_А - ц>_в между точками А и В систе­мы, показанной:

S,

А

-о-

в

-о—

1Ы[

с,

с,

Рис. 2.23

Рис. 2.24

а) на рис. 2.25; б) на рис. 2.26.

-и

II^е/ ^А НСг

^С< А

в

'С,

-р— Рис. 2.25

2.130. Конденсатор емкости С₁ = 1,0мкФ, заряженный до

напряжения f/=110B, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных конденсаторов, емкости которых С₂ = 2,0 мкФ и С₃ = 3,ОмкФ. Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам?

131. Какие заряды протекут после замыкания ключа К в схеме (рис. 2.27) через сечения J и 2 в направлениях, указанных стрелками?

131. В схеме (рис. 2.28) Г = = 60 В, С, = 2,0 мкФ и С₂ = 3,0 мкФ. Найти заряды, которые протекут после замыкания ключа К через сечения 1 и 2 в направлениях, ука­занных стрелками.

Рис. 2.29

131. Найти емкость схемы (рис. 2.29) между точками А и В.

131. Сг

     Рис. 2.28

     Три электрона, находившихся на расстоянии а = = 10,0 мм друг от друга, начали симметрично разлетаться под действием взаимного отталкивания. Найти их максимальные скорости.

132. _ч

     Определить суммарную энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной а в системах, которые показаны на рис. 2.30.

-q q*

Ч -V

6

Рис. 2.30

2.136. Тонкий стержень длины I расположен по оси тонкого кольца радиуса R так, что один его конец совпадает с центром О кольца. Кольцо и стержень имеют заряды q₀ и q, причем линейная плотность заряда на стержне изменяется вдоль него

линейно, начиная с нуля в точке О. Найти электрическую энергию взаимодействия кольца со стержнем.

137. Точечный заряд q находится на расстоянии / от проводящей плоскости. Найти:

а) энергию взаимодействия этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости;

б) собственную энергию зарядов на плоскости.

137. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины

которого 5 = 200 см² и расстояние между ними <f = 5,0 мм, поместили во внешнее однородное электрическое поле с Е = 1,30 кВ/см, перпендикулярное пластинам. Затем пластины замкнули проводником, после чего проводник убрали и конденсатор перевернули на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению поля. Найти совершенную при этом работу против электрических сил.

137. Конденсатор емкости Cj = 1,0 мкФ, заряженный до напряжения U = 300 В, подключили параллельно к незаряженно­му конденсатору емкости С₂ = 2,0 мкФ. Найти приращение электрической энергии системы к моменту установления равновесия. Объяснить полученный результат.

138. Сколько теплоты выделится при переключении ключа К из положения / и 2 в цепи, показанной:

а) на рис. 2.31; б) на рис. 2.32.

,с к

I 1

2\

а, • о₂

Рис. 2.32

137. Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами R_x и R^ и соответствую­щими зарядами q₁ и q₂. Найти собственную энергию W_t и W₂ каждой оболочки, энергию взаимодействия W₁₂ оболочек и полную электрическую энергию W системы.

138. Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Считая проницаемость е = 1, найти:

а) собственную электрическую энергию шара;

б) отношение энергии W_x внутри шара к энергии W₂ в окружающем пространстве.

137. Точечный заряд q = 3,0 мкКл находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика проницаемости е = 3,0. Внутренний радиус слоя а = 250 мм, внешний Ь = = 500 мм. Найти электрическую энергию в данном слое.

138. Найти энергию электрического поля точечного заряда q в пустом полупространстве, которое ограничено плоскостью, отстоящей на расстояние а от заряда.

139. Сферическую оболочку радиуса R_x, равномерно за­ряженную зарядом q, расширили до радиуса R₂. Найти работу, совершенную при этом электрическими силами.

140. В центре сферической оболочки, равномерно за­ряженной зарядом q = 5,0 мкКл, расположен точечный заряд <?₀= 1,50 мкКл. Найти работу электрических сил при расшире­нии оболочки - увеличении ее радиуса от Rj = 50 мм до

= 100 мм.

137. Сферическая оболочка заряжена равномерно с повер­хностной плотностью а. Воспользовавшись законом сохранения энергии, найти модуль электрической силы на единицу повер­хности оболочки.

138. Точечный заряд q находится в центре О сферическо­го незаряженного проводящего слоя с малым отверстием вдоль радиуса. Внутренний и внешний радиусы слоя равны соответ­ственно а и Ь. Какую работу надо совершить против электри­ческих сил, чтобы медленно перенести заряд q из точки О на бесконечность?

139. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S. Какую работу против электрических сил надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками от х_х до х₂, если при этом поддерживать неизменным:

а) заряд конденсатора q;

б) напряжение на конденсаторе (7?

137. Внутри плоского конденсатора находится параллельная обкладкам пластина, толщина которой составляет т| = 0,60 расстояния между обкладками. Емкость конденсатора в отсут­ствие пластины С = 20нФ. Конденсатор сначала подключили к источнику постоянного напряжения U = 200 В, затем отключили и после этого медленно извлекли пластину из зазора. Найти работу, совершенную против электрических сил при извлечении пластины, если она:

а) металлическая; б) стеклянная.