49.Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная формула Коши.

Пусть l-дуга направленной кусочно-гладкой прямой области z. Разбивая ее точками на n-частей.

Выбирают из каждой части производную точки и составляют интегр. сумму.

Тогда lim называется интеграл функции f(z) по дуге l. вычисление данного интеграла сводится к вычислению двух КрИ-2.

Интеграл зависит от пути интегрирования, однако если аналитическая в области D то интеграл не зависит от пути интегрирования. Отсюда следует: Интеграл если аналитическая в области D соединяющей точки то справедлива формула Ньютона-Лейбница

.

Теорема КошиЕсли аналитична в односвязной области D с гладкой границей Г. .

Пусть замкнута в многосвязной области D с гладкой границей Г.

формула Коши.Если аналитична в односвязной области D с гладкой границей Г, а внутри точка области D, то

При этом имеет в обл. D производную любого порядка.

50.Функциональные ряды в комплексной области

Понятия последовательности   функций комплексной переменной (сокр. ФКП), ФР ФКП    и его поточечной сходимости вводятся аналогично этим понятиям в действительной области. Область определения, область сходимости строятся на  –плоскости.

Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

где a0, a1, a2, …, an, - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), z0 - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости).

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке z1 ≠ z0, то он абсолютно сходится в любой точке круга | z - z0| < | z1 - z0|;

Если этот ряд расходится в точке z2, то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству | z - z0| > | z2 - z0| (т.е. находящейся дальше от точки z0, чем z2).

Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке z0, и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этого круга - окружности | z - z0| = R радиуса R с центром в точке z0 - ряд может и сходиться, и расходиться.

51.Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.

Ряд Тейлора 

     Основные разложения в ряд Тейлора 

52.Нули аналитических функций и их классификация

Теорема о нулях аналитической функции: если нули ф-ции f(z) аналитичны в области D имеют предельную точку внутри D то ф-ция f(z) всюду равна нулю.

Точка а называется нулём порядка k аналитической фу-ции f(z) если

, но f^k(a)≠0

Изолированные особые точки (ИОТ)

1)(z=a)иот называется устранимой если

2) (z=a)иот называется полюсом если

3) (z=a)иот называется сущ.особой если

53.Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням  , то есть ряд вида

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1.  — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и

2.  — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Область сходимости ряда по положительным степеням разложения функции в ряд есть сфера радиуса сходимости

  . В области этой сферы лежит и область сходимости ряда по изолированному направлению делителей нуля. Если R=0, то ряд сходится только в точке a, если  , то ряд сходится во всем пространстве Y.Ряд по отрицательным степеням разложения функции сходится в сфере сходимости >r. Если r<R, то ряд сходится в области заключенной между двумя концентрическими сферами  . На эту область накладывается область сходимости рядов по изолированному направлению. Сферы в пространстве это прежде всего поверхности  , , натянутые без точек самопересечения на пространственные кривые  , , эквивалентные кривым типа  . В области G, заключенной между двумя этими сферами, необходимо рассматривать область сходимости ряда по изолированному направлению, для точек  .

54.Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.Точка z=a , в которой функция f(z) не является аналитической, а в ее проколотой окрестности аналитическая, называется изолированной особой точкой функции f(z). Такая точка называется устранимой, если существует ; полюсом, если существует ; и существенно особой, если не существует. Характер изолированной особой точки z=a функйии f(z) может быть установлен по виду Лорана этой функции для кольца следующим образом. Изолированная особая точка является: 1) устранимой, если главная часть разложения отсутствует; 2) полюсом, если главная часть разложения содержит конечное число членов. При этом, если главная часть ряда Лорана имеет вид ( ), число m называют порядком полюса z=a (если m=1, полюс называется простым). В этом случае функция f(z) может быть представлена в виде f(z)= , где – функция, аналитическая в точке z=a и ; 3) существенно особой, если главная часть разложения содержит бесконечно число членов, не равных нулю. Точка z=a называется нулем или корнем кратности m (или порядка m) функции (аналитической в точке a), если , но . Если для аналитической функции число z=a есть ноль порядка m, то для функции f(z)= это число является полюсом порядка m. Отметим, что если f(z)= , где P(z) и Q(z) – многочлены, не имеющие общих нулей, то нули многочлена Q(z), и только они, являются полюсами функции f(z), причем порядок этих полюсов совпадают с кратностью соответствующих нулей многочлена Q(z). Если f(z) – однозначная аналитическая функция в области , понятие особой точки можно распространить и на бесконечно удаленную точку z= . Ее тип определяется так же, как для точки z=a : она является устранимой, если существует ; полюсом, если существует ; и существенно особой, если

не существует. Рядом Лорана для функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки называется ряд f(z)= (R ).

Главной частью этого ряда называется часть, состоящая из членов с положительными степенями z, а правильной – часть, содержащая нулевую и отрицательные степени z.