17. Взаимно простые многочлены, их свойства.
Многочлены
взаимно просты, если их нормализованный
НОД =1(критерий взаимной простоты).
Свойства вз. Пр-х мн-в.: 1)
;
2)
3) );попарно взаимно просты с (g1,g2,g3,…,gn). Доказательство – метод математической индукции.
4)
f,g
–вз.пр. =>
Взаимно просты многочлены не имеют общих корней, при расширении корня А. Корнем многочлена называется элемент А, обращающий его в 0.
18. Неприводимые многочлены, их количество и свойства. Многочлен называется неприводимым, если он не делится ни на один многочлен меньшей степени, кроме нулевой.
Свойства: 1) Пусть многочлены f,g А[x], g – неприводим, тогда (f:g или f,g – вз. пр.)
2) Пусть многочлены (f,g А[x], f,g – вз. пр.), тогда f,g – ассоциированы или вз. пр.
3) Пусть многочлены f,g,q А[x], где q – неприводимый, тогда (f*g:q) –> (f:q или g:q)
4) ((f1,f2,f3…fn), g А[x], g – неприводимый, и (f1*f2*f3*…*fn):g) –> тогда один из многочленов f делиться на g
Неприводимых многочленов для любого множества А[x], бесконечное множество
19.
Каноническое разложение многочлена.
Основная теорема алгебры.
Любой
многочлен степени
>=1 делиться хотя бы на один неприводимый
многочлен.(
f(x)
А[x],
deg(f)>=1)
– можно разложить в произведение
неприводимых многочленов единственным
образом с точностью до ассоциированости
и порядка следования сомножителей.
Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен имеет ровно столько корней с учетом кратности, сколько степень многочлена. Поле C алгебраически замкнуто. ( С ≠ const).
20. Векторное пространство. Линейная зависимость-независимость векторов, свойства. Линейная оболочка векторов. Векторным пространством V называется абелева группа по сложению, для элементов которой определена операция умножения на число со следующими свойствами:
1) С1(С2U1) = (C1C2)U1
2) (C1+C2)U1 = C1U1+C2U1
3) C1(U1+U2) = C1U1+C1U2
Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю.
Система векторов (U1, U2,…Un) называется линейно зависимой, если существует ее нетривиальная линейная комбинация равная нулю.
Свойства:1)
Система содержащая
всегда
линейно зависима.
2) Если из линейно – независимой системы векторов убрать один или больше векторов, то система останется линейно – независимой.
3) Если к линейно зависимой системе добавить один или больше векторов, то она останется линейно зависимой.
4) Система линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов можно выразить через другие. Линейной оболочкой векторов (U1, U2,…Un) называется V = {α1U1+…+ αnUn: α1… αn R}
21. Векторное пространство, его базис и размерность. Построение базиса. Координаты вектора.
Минимальная по количеству векторов порождающая система называется базисом данного векторного пространства ( порядок векторов фиксирован)
Свойства базиса: 1) Количество векторов в базисе постоянно
2) Базис всегда линейно независимая система
3) Любой вектор векторного пространства можно разложить по базису.
Количество векторов в базисе называется его размерностью (div V)
Алгоритм построения базиса:
1) Берем любой ненулевой вектор пространства, составляем его линейную оболочку
2) Берем любой ненулевой вектор пространства, не принадлежащий к той линейной оболочке
3) Составляем линейную оболочку двух векторов( все суммы векторов с дюбыми коэффициентами)
4) Находим вектор не равный нулю, не принадлежащий линейной оболочке двух векторов. Алгоритм останавливается, когда линейная оболочка полученных векторов совпадает со всем множеством V
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору
(
=
;
=(a1,a2,…,an)
), где a1,a2,…an
– координаты вектора.