14.Подстановки. Симметричные группы, примеры.

…Подстановка  элементов данного множества (математическая), замена каждого из его элементов а каким-либо другим элементом φ(а) из того же множества; при этом должны получаться все элементы исходного множества и каждый только один раз. Таким образом, понятие П. по существу совпадает с понятием взаимно однозначного отображения множества на себя, однако оно применяется большей частью к конечным множествам. a b c f(a) f(b) ... f(c) здесь под каждым из элементов данного множества написан соответствующий ему элемент. Так как свойства П. не зависят от природы элементов а, b,..., с, то большей частью (во всяком случае — в учебных целях) используют целые числа 1, 2,..., n,при этом в верхней строке они преимущественно записываются в своём естественном порядке 1 2 3 ... f(1) f(2) f(3) f(...). Симметрической группой множества X  называется группа всех перестановок X (то есть биекций

 X →X): а) При   симметрическая группа S_n некоммутативна. б)При    симметрическая группа S_n является неразрешимой (и напротив: при    — разрешимой). в)В случае, если X конечно, число элементов S(X) равно n! (факториал n), где n — число элементов X. В частности,

15. Построение кольца многочленов от одной переменной над кольцом с единицей, степень многочлена, степень суммы и произведения многочленов.

Пусть А – ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей (не выполнена В₄). Рассмотрим бесконечные последовательности f из элементов А, где только конечное число элементов не равно 0.

f ∙ g = h= (h₀,h₁,…); h₁=

(A[x],+, ∙ ); f = (f₀,f₁,…,f_n,0,0,…) = f₀+f₁x+f₂x²+…+f_nxⁿ ;(n=deg(f))

deg(f+g)≤max(deg(f),deg(g)); deg(f ∙ g) ≤ deg(f)+deg(g);(f_n ∙ g_m), т.к. в некоторых кольцах произведение двух не нулевых элементов равно нулевому. Кольцо А называется целостным, если в нем нет делителей нуля, т.е. исключена ситуация: f_n ≠ 0, g_m ≠ 0. Если А – целостное кольцо => deg(f ∙ g) = deg(f)+deg(g).Если А – целостное кольцо, то A[x] тоже ц.к. По определению степень многочлена 0 берут равной - ∞.(deg(0)= - ∞).

16. Обратимые, ассоциированные многочлены, деление с остатком. Нод, нок многочленов и алгоритм Евклида. Теорема Безу.

В кольце многочленов с действительными коэф- фициентами обратимыми являются многочлены нулевой степени, т.е.

отличные от нуля действительные числа. Многочлены называются ассоциированными, если они отличаются на постоянный множитель – элемент основного поля А: A[x],Z[x],Z₂[x],R[x]. Деление многочленов с остатком. Пусть f,g, два многочлена A[x], тогда , такие что f=g ∙ q + r; (deg(r)<deg(g)); q – неполн.частное. r – остаток. Многочлен называется нормализованным, если его старший коэффициент = 1. НОД f,g A[x] называется многочлен большей степени с коэффициентами из поля А или любого его расширения на который делятся оба многочлена f и g. Для всех многочленов ∞ множество НОД. Алгоритм Евклида поиска НОД многочлена. НОД(f,g); deg(f)≥deg(g)

● f=g ∙ q₁ + r_1, deg(r₁)<deg(g); ●g = r₁∙ q₂ + r₂, deg(r₂)<deg(r₁);

● r₁ = r₂∙ q₃ + r₃, deg(r₃)<deg(r₂);……………………………………

● r_n-2 = r_n-1∙ q_n + r_n, deg(r_n)<deg(r_n-1); ● r_n = r_n∙ q_n+1 +0; НОД(f,g)= r_n

НОК двух или более многочленов - это многочлен самой низкой степени, который делится на каждый из данных. Теорема Безу. Элемент с A является корнем многочлена f(x) P[x] тогда и только тогда, когда (f(x) (x-c))