Общая модель планирования производства

Примеры выполнения заданий, задания

Будем считать, что на нашем предприятии применяется n технологических способов (j = 1, 2,…, n). Каждый j-ый способ использует r видов сырья i-го типа в количестве а_ij (i = 1, 2,…, r). На предприятии производится q видов продукции. Для производства k-го вида продукции используется j-ая технология в количестве a_{r +k, j} (k = 1, 2,…, q; j = 1, 2, …, n).

Эта информация может быть записана в виде матрицы:

Количество столбцов в матрице равно количеству технологических способов на предприятии.

Первые r строк определяют потребленное сырье каждым технологическим способом, строки r +1, ……........, m определяют количество продукции всех типов (q = m – r) при реализации каждого технологического способа.

Вектор В определяет ограничения:

b₁, …., b_r — по сырью (запасы сырья);

b_{r +1},…, b_m — по выпуску продукции.

Управляемыми параметрами в этой модели является кратность использования каждого технологического способа x_i, x_i ≥ 0.

План использования технологических способов представляет собой вектор х = (х₁, х₂, …, х_n).

Все ограничения по ресурсам и по выпуску продукции можно записать в виде неравенств:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂ +…а_1nх_n ≤ b₁,

а₂₁ х₁+ а₂₂ х₂ +…а_2n х_n ≤ b₂,

…………………………

а_r1 х₁+ а_r2 х₂ +…а_rn х_n ≤ b_n.

Эти неравенства соответствует ограничениям по запасам сырья. Ограничения по выпуску продукции:

w₁ = а_{r +1,1} х₁+ а_{r +1,2} х₂ +…а_{r +1,n} х_n ≥ b_{r +1},

……………………………………

w_q = а_m,1х₁ + а_m,2 х₂ +…а_mn х_n ≥ b_m, q = m – r.

Если последние неравенства умножить на (–1), то полученная система неравенств запишется в виде:

а_1,1х₁+ а_1,2х₂ +…а_{1, n}х_n ≤ b₁,

а_2,1 х₁+ а_2,2 х₂ +…а_{2, n} х_n ≤ b₂,

…………………………

а_r1 х₁+ а_r2 х₂ +…а_rn х_n ≤ b_n,

– а_{r +1,1} х₁ – а_{r +1,2} х₂ –…а_{r +1, n} х_n ≤ – b_{r +1},

……………………………………

– а_m,1х₁ – а_m,2 х₂ … – а_mn х_n ≤ – b_m.

В матричной форме система неравенств будет иметь вид:

Ах ≤ В,

х ≥ 0.

Предположим, что j-ый технологический способ дает прибыль с_j —тогда общая прибыль запишется таким образом:

Первая задача планирования производства формулируется так: составить такой план производства, т.е. установить кратность запуска технологических способов, чтобы полученная при этом прибыль была максимальной.

В результате мы получили задачу линейного программирования, т.к. полученные целевая функция и ограничения линейны.

Для решения таких задач используется сиплекс-метод, если же переменных в задаче только две — то задачу можно решить графически. Эти методы подробно изучаются студентами экономистами и менеджерами в курсе «высшая математика» в разделе «линейное программирование».

Планирование производства и ассортиментные условия

В описанной выше модели ставилась задача максимизации прибыли, однако та же постановка задачи обладает тем недостатком, что не учитывает пропорции выпуска продукции (кроме ограничений по выпуску). Такие пропорции определяются структурой спроса и технологией использования продукции (например, если завод выпускает комбайны, то с учетом замены запчастей за время службы). Необходимо учитывать соотношения выпуска комбайна и различных типов запчастей.

Такие пропорции выпуска разных видов продукции могут быть заданы «ассортиментными условиями», и согласованный с ними выпуск должен удовлетворять условиям:

w₁ : w₂ : …w_q = k₁ : k₂ : …k_q.

Нарушение ассортиментных требований приводит к сложностям при реализации продукции, а это сказывается на величине получаемой прибыли.

В связи с этим, возникает новая задачи планирования производства — максимизация количества ассортиментных наборов.

Количество изделий k типа, вычисляется, согласно матрице А, следующим образом:

где х_j — кратность запуска j-го технологического способа.

Тогда количество ассортиментных наборов определяется, как минимум отношений:

.

В результате вторая задача максимизации количества ассортиментных наборов принимает вид:

f₂ = x₀ → max (f₂ = x₀ — целевая функция).

Ограничения по сырью остаются прежними и добавляются ограничения, связанные с ассортиментными требованиями:

k₁ x₀ – a_{r +1},₁ x₁ – a_{r +1,2} x₂ – … a_{r +1,n} x_n ≤ 0,

………………………………………….

k_m–n x₀ – a_m,1 x₁ – a_m,2 x₂ – … a_m,n x₄ ≤ 0,

x_j ≥ 0, j = 0, 1, …, n.

Очевидно, что поставленная задача представляет собой задачу линейного программирования, т. к. целевая функция и все ограничения линейны.

В новой постановке задачи планирования, когда мы требуем максимизации количества ассортиментных наборов, сохраняется и желание максимизировать прибыль. На этом этапе первый критерий f₁ →max (максимальная прибыль) можно заменить требованием:

f₁ ≥ f₀ (прибыль не меньше f₀).

и решить задачу с этим дополнительным ограничением. Естественно f₀ ≤ f ^*, где f ^* — оптимальная прибыль при решении первой задачи.