Задания к лабораторной работе «Общая задача производственного планирования»

Исходными данными к лабораторной работе является матрица А, векторы B и С, и ассортиментные требования в виде k₁ : k₂: k₃= a₁ : a₂: a_3.

В лабораторной работе требуется:

1. Выполнить математическую постановку задачи: Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы полученная прибыль была максимальной.

2. Решить поставленную задачу графически.

3. Решить поставленную задачу симплекс методом на ПК (в программе LINPROG)

4. Выполнить математическую постановку задачи: Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы количество ассортиментных наборов было максимальным.

5. Решить поставленную задачу симплекс методом на ПК (в программе LINPROG)

Пример выполнения лабораторной работы:

Задание:

А = ; В = ; С =(5; 2);

k₁ : k₂: k₃ = 3:2:2.

У матрицы А два столбца, следовательно на предприятии два технологических способа.

Первые три строки матрицы А содержат положительные элементы, следовательно на предприятии используются три вида сырья:

• для первого технологического способа используется 6 единиц сырья 1-го типа, 4 единицы сырья 2-го типа и 3 единицы сырья 3-го типа.

• Для второго технологического способа требуется три единицы сырья 1-го типа, 7 единиц сырья второго типа и 0 единиц сырья 3-го типа.

Следующие 3 строки матрицы А означают, что на предприятии выпускаются три вида продукции:

• первым способом выпускаются 2 единицы продукции 1-го вида, 4 единицы продукции 2-го вида, 1 единица продукции 3-го вида;

• вторым технологическом способом выпускаются 3 единицы продукции 1-го вида, 0 единиц продукции 2-го вида, 2 единицы продукции 3-го вида.

Столбец В содержит ограничения b_1, b_2, b₃ — по объему сырья, а b₄, b₅, b₆ — по объему выпуска продукции.

Вектор С содержит 2 элемента, c₁ – прибыль, получаемая при однократном запуске 1-го технологического способа, c₂ — 2-го способа. Соотношения k₁ : k₂: k₃ — ассортиментные требования, показывают в каких пропорциях следует выпускать изделия.

1. Математическая постановка задачи: Обозначим х_1, х₂ — кратность запуска технологических способов. Тогда, ограничения по сырью и выпуску продукции запишутся следующим образом:

(1)

Целевая функция — прибыль предприятия: f = 5х₁ + 2х₂→ max

2. Решить задачу графически:

Задача является задачей линейного программирования, т.к. целевая функция и ограничения линейны. Переменных в задаче две, следовательно, ее можно решить графически.

Построим прямую 6х₁+3х₂ = 18. Координаты двух точек на прямой получим, полагая х₁ = 0, тогда х₂ = 6, а если х₂ = 0, то х₁ = 3, т.е. (0; 6) и (3; 0).

Прямая 6х₁+3х₂ = 18 делит плоскость на две части. Подставляя координаты (0, 0) выберем штрихами часть, удовлетворяющую неравенству 6х₁+3х₂ ≤ 18.

Аналогично построим прямые: 4х₁+7х₂ = 28, получим точки (0; 4) и (7; 0). 3х₁ = 6, получим прямую х₁ = 2.

Неравенства 3, 4, 5 из (1) выполняются автоматически, так как х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Заштрихуем область, удовлетворяющую трем первым неравенствам из системы (1). Учитывая, что х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, множество допустимых значений будет находиться в первом квадранте и представляет собой многоугольник ОАВСD.

Далее необходимо выбрать на нем точку, которая обеспечит максимум функции f — максимум прибыли.

Для этого на графике постоим вектор-градиент функции f и линию уровня.

grad f = = (5; 2).

Линия уровня: f = const, например:

5х₁+2х₂ = 0 по точкам: (0; 0) и (–2; 5).

Передвигая линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора-градиента, видим, что С — последняя общая точка линии уровня и многоугольника допустимых решений.

В этой точке мы получим максимум функции f. Найдем координаты точки С, она лежит на пересечении двух прямых:

6х₁+2х₂ = 18,

3х₁ = 6, х₁ = 2; х₂ = 2, f ^* = 5х₁ + 2х₂ = 5∙2+2∙2 = 14 ден. ед.

Это означает, что максимальная прибыль, которую можно получить, составляет 14 денежных единиц, для этого необходимо запустить 2 раза 1-ый технологический способ и 2 раза 2-ой технологический способ.