- •1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •2 Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
- •3. Достаточное условие экстремума.
- •4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
- •5. Асимптоты графика функции.
- •7. Понятие ф-ии нескольких переменных. Определение предела и неразрывности ф-ии 2-ух переменных.
- •6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •8. Частные производные и полный дифференциал ф-ии нескольких переменных
- •9.Экстремум ф-ии нескольких переменных. Необходимые условия.
- •10. Понятие об эмпирических формулах. Подбор параметра по методу наименьших квадратов. Выравнивание по прямой, параболе
- •11. Определение первообразной ф-ии и неопред интергала. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основн интегралов.
- •12. Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •13. Интегрирование простых дробей.
- •14. Интегрирование рациональных дробей.
- •15. Интегрирование некоторых иррациональных ф-ий.
- •16. Интегрирование выражений,содержащих тригонометрические ф-ии.
- •17.Геометрическая задача,приводящая к понятию определённого интеграла. Определние определённого интеграла.
- •18. Свойства определенного интеграла.
- •19. Теорема о существовании первообразной для непрерывной ф-ии. Формула Ньютона-Лейбница.
- •20. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
- •21. Площадь плоской фигуры,объёмтела вращения,длина дуги кривой.
- •22.Несобственный интеграл с бесконечными пределами.
- •23. Несобственные интегралы от неограниченных ф-ий
- •24.Дифференциальные уравнения.
- •25. Дифференциальные уравнения первого порядка с раздел переменными.
- •26.Линейные дифф уравнения первого порядка.
- •27. Дифференц уравнения второго порядка.
- •28.Линейные однородные дифф уравн 2 порядка с постоянн коэффиц
- •29. Линейные неоднородные дифф уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
- •30.Понятие числовогоряда и суммы ряда. Геометрическаяпрогрессия.
- •31.Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.
- •34. Закопеременые ряды. Абсолютная и условн сходимость
34. Закопеременые ряды. Абсолютная и условн сходимость
Числ. ряд назыв. знакопеременным, если он содержит как полож., так и отриц. члены
Пусть (1), а (2)
Если ряд 2 сход., то ряд 1 также сход. Если ряд 2 составл. из модулей членов ряда 1, сходится, то ряд 1 назыв. абсолютно сход.
Если ряд 2 расход, а ряд 1 – сход., то говорят, что ряд 1 сходится условно.
Ряд называется абсолютно схяодящимся, если сходится ряд .
Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.
35. Знакочередующие ряды. Признак Лейбница.
(3) – закочередующийся ряд.(частный случай знака переменного ряда)
Признак Лейбница:
Если для знакочеред. ряда 3 выполн. условие:
1.
2.
то ряд 3 сход., при этом его сумма S≤a1, а остаток ряда
36.Понятие степенного ряда. Обл сходимости степенного ряда.
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида
де x0 − действительное число.
Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
37. Теорема Абеля
(4)
1)Если степенной ряд сходится при х=х0, u≠0,то он сходится абсолютно при всех |x|<|x0|
2)если при х=х1 степенн ряд расход,то он расход при всех |x|>|x1|
Если ряд 4 сход. в некот. т. х1≠0, то он будит сход. при всех знач.-ях х принадлеж. R. |x|<|x1|.
Если ряд 4 расход, в x2, то он будит расходящимся и при всех х принадлеж. R, |x|>|x2|.
38. Ряды Тейлора и Маклорена
Пусть f(x) имеет производные всех порядков некотор. окрестн. т. x. Рядом Тейлора для f(x) в т. х0 назыв. степен. ряд след. вида:
Если х0=0, то ряд назыв. рядом Маклорена
При выполнении некотр. условий ряд Тейлора для f(x) равен самой f(x). Говорят, что ф-ия представима в виде ф-ии степен. ряда
x принадлеж. R.
3. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд (33), получаем разложение при x (-∞;+∞):
cosx=1- .
4/Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=ln(1+x).
Проинтегрируем обе части равенства (37) от 0 до x при x (-1;1). Получим
или
ln(1+x)=x .
Можно показать, что ряд имеет область сходимости (-1;1].
39. Разложение ф-ий sinx, cosx, e^x, ln(1+x) в ряд Маклорена
Разложение функции f(x)=ex в ряд Маклорена.
f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=…=ex.
f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=…=1.
Составим для функции f(x)=ex формально ряд Маклорена: 1+
Найдём области сходимости этого ряда.
при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых х и тем более при любых х. Так как f^(n+1)(x)=ex и f^(n+1)(с)=e^с, то =e^c=0. Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞)
e^x=1+ .
Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.
Вычислим производные данной функции.
f′(x)=cosx=sin(x+ ), f″(x)=-sinx=sin(x+ ),
f″′(x)=-cosx=sin(x+ ), f(4)(x)=sinx=sin(x+ ), …, f(n)(x)=sin(x+ ), … . Вычислим значения f(x) и производных в точке 0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1, f^(4)(0)=0, …, f^(2n-1)(0)=(-1)^n-1, f^(2n)(0)=0.
Исследуем остаточный член ряда.
|Rn(x)|= = так как |sin(c+(n+1) |≤1. Переходя к пределу при n→∞, получаем следовательно, и . Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Таким образом, имеет место разложение при x (-∞;+∞):
sinx=x- .