7. Понятие ф-ии нескольких переменных. Определение предела и неразрывности ф-ии 2-ух переменных.

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). z=f(x,y)

Число А наз пределом ф-ии f(x,у) в точке с координ (х0,у0),если для люб посл-сти точек (хn,уn) стремящ к точке с координ (х0,у0), координаты котор отличны от точк (х0,у0) и не выходят из обл определ ф-ии. Соответствен посл-сть знач ф-ии (f(xn,yn)) стремится к А (lim f(x,y)=A, xx0, yy0)

Ф-ия z= f(x,у) наз непрерывной в т. с коорд (х0,у0),если в этой точк существует предел и он равен значен ф-ии в этой точке z= f(x,у)= f(x0,у0) xx0, yy0

6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Глобальный экстремум – наиб. и наим. знач. ф-ции на огран. замкнутом мн-ве.

1.Нахождение производной f’(x).

2.Решаем уравнение f’(x)=0, находим критические точки 1 рода, в которых производная=0, или не существует.

3) вычисляем знач ф-ии крит т 1-ого рода и на концах отрезка

4) среди найд значен выбир наиб и наим.

Критическими точками разбиваем область определения на интервалы и определяем знак производной на каждом интервале. Если f’(x) меняет знак с + на - , то это точка max, если с – на +, то это точка min. Если производная не меняет знак, то функция f(x) в этой точке экстремума не имеет.

В случае произвольн промежутка х,верна сл теорема,…пусть ф-ия f(x) непрерывна на произвольном промежутке х и имеет на этом промежутке лишь один экстремум,то :(если один экстремум явл мах ,то это и наиб знач ф-ии,если один экстремум явл min,то это и наим знач ф-ии)

8. Частные производные и полный дифференциал ф-ии нескольких переменных

рассматриваем функцию двух переменных z = f (x, y).

Пусть переменная у сохраняет постоянное значение, а меняется только х, то есть z становится функцией одной переменной х и можно вычислить её приращение и производную. Обозначим приращение z , которое она получает, когда у остаётся постоянным, а х получает приращение .

Производную получим, если вычислим предел

Эта производная, вычисленная в предположении, что у считается постоянным, называется частной производной функции z по переменной х и обозначается или или

Точно так же определяется приращение и частная производная от z по у, вычисленная в предположении, что х не меняется.

9.Экстремум ф-ии нескольких переменных. Необходимые условия.

Точки max. и min. назыв. экстремумы, а значение в этих точках – экстрем. функции.

Если точка с координ (х0,у0) явл точкой экстремума ф-ии z= f (x, y) и в этой т. сущ обе частн производные,то эти производные в т. (х0,у0)=0

Если функция z=f(x, y) имеет экстремум в

точке M0(x0, y0), то в этой точке каждая частная производная dz/dx и dz/dy либо обращается в нуль, либо не существует.

Необходимость существования экстремума: Если f(x,y) в точке Po(xо,yо) имеет экстремум и в этой точке существуют конечные частные производные, то они равны 0. ∂f / ∆x(x₀,y₀)=0

∂f /∆y=(x₀,y₀)=0 (система). Экстремумы функции f(x,y) надо искать в точках, координаты которые удовлетворяют системе уравнений. Из этой системы ищем критические точки.