15. Интегрирование некоторых иррациональных ф-ий.

Интеграл вида где n- натуральное число.

Интегралы такого вида могут быть вычислены способом подстановки ,котор позвол перейти от интегр к рацион ф-ии,зависящ от переменной t.

16. Интегрирование выражений,содержащих тригонометрические ф-ии.

Интегрирование выражений вида sin (αx) · sin (βx) , sin (αx) · cos (βx) , cos (αx) · cos (βx) .

При интегрировании этих выражений используются тригонометрические формулы:

sin (αx) · sin(βx) = cos [(α − β)x] − cos [(α + β)x]/2

sin (αx) · cos (βx) = sin [(α + β)x] + sin [(α − β)x]/2

cos (αx) · cos (βx) = cos [(α + β)x] + cos [(α − β)x]/2

--Интеграл вида R(tgx,ctgx)dx, где R- рациональная ф-ия,сводится к интегралу от рациональной ф-ии от t заменой tgx=t или ctgx=t

-- Интегралы вида ∫ sinx^2m · cosx^2n dx, где m и n — натуральные числа, находятся с использованием формул понижения степени: sin^2x =(1 − cos2x)|2, cos^2x = (1 + cos2x)|2, sinx · cosx = sin2x/2 .

17.Геометрическая задача,приводящая к понятию определённого интеграла. Определние определённого интеграла.

Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).

y=f(x) – [a; b], f(x)≥0

Найти S:

Для решения, разобьем [a; b] на n частичнымх отрезков [xk; xk+1]; a=x0<x1<…<xn=b.

Эти точки xk – разбиение [a;b].

Внутри кажд. частичного отрезка выберем точку Ck принадлеж. [xk; xk+1] и найдем знач. ф-ии в Ck

f(ck),k=0,…n-1

Sn – площаль всех прямоуг-ов: Sn=(x1-x0)f(c1)+(x2-x1)f(c2)+..+f(xn-xn-1)f(Ck)

xk-xk-1=∆xk

(1)

Пусть S – площадь криволин. трапеции, тогда при больших n имеет место приближ рав-во S≈Sn, причем, чем больше отрезков берем, тем точнее рав-во.

Пусть λ=max∆Xk – наиб. из длин частичных отрезков – диаметр разбиения.

Если в (1) перейти к пределу так, чтобы кол-во част. отрез-ов неогран. возрасло и при этом λ->0, то мы получим знач S криволин. трап:

Определённым интегралом функции f(х) непрерывной на отрезке а, b называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка а, b на частичные и выбора точек _i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.

18. Свойства определенного интеграла.

Значение о.и. не зависит от выбора переменной интегрирования:

1.

2.

3. С=const

4. для любых a, b, c

5. Если f’(x)>=0, на [a; b] и интегрируема на [a; b ] =>

6.f(x)>=g(x), x принадлеж. [a; b], то

7. пусть f(x) – непрерывна на [a; b ] и m=min f(x), M=max f(x), тогда имеют место неравенства:

8. Т. О среднем значении если f(x)непрерывна на отрезке [a,b] то сущ.на этом отрезке такая т-ка что ∫_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)……то на этом отрезке сущ определ интеграл,т.е ф-ия интергируемая.

19. Теорема о существовании первообразной для непрерывной ф-ии. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема 1 (существование первообразной для непрерывной функции).

Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] , то она имеет первообразную на этом отрезке, причем первообразной для функции f является интеграл с переменным верхним пределом : и поэтому f(t)dt+C,где С — произвольная константа.

Если ф-ция f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула .

Док-во: пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:

Ф(а)-F(a)=C Ф(b)-F(b)=C Ф(а)=∫_a^a f(x)dx=0 Ф(b)=∫_a^b f(x)dx

Имеем C=-F(a) ∫_a^b f(x)dx+F(a)=F(b) ∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)