- •1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •2 Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
- •3. Достаточное условие экстремума.
- •4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
- •5. Асимптоты графика функции.
- •7. Понятие ф-ии нескольких переменных. Определение предела и неразрывности ф-ии 2-ух переменных.
- •6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •8. Частные производные и полный дифференциал ф-ии нескольких переменных
- •9.Экстремум ф-ии нескольких переменных. Необходимые условия.
- •10. Понятие об эмпирических формулах. Подбор параметра по методу наименьших квадратов. Выравнивание по прямой, параболе
- •11. Определение первообразной ф-ии и неопред интергала. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основн интегралов.
- •12. Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •13. Интегрирование простых дробей.
- •14. Интегрирование рациональных дробей.
- •15. Интегрирование некоторых иррациональных ф-ий.
- •16. Интегрирование выражений,содержащих тригонометрические ф-ии.
- •17.Геометрическая задача,приводящая к понятию определённого интеграла. Определние определённого интеграла.
- •18. Свойства определенного интеграла.
- •19. Теорема о существовании первообразной для непрерывной ф-ии. Формула Ньютона-Лейбница.
- •20. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
- •21. Площадь плоской фигуры,объёмтела вращения,длина дуги кривой.
- •22.Несобственный интеграл с бесконечными пределами.
- •23. Несобственные интегралы от неограниченных ф-ий
- •24.Дифференциальные уравнения.
- •25. Дифференциальные уравнения первого порядка с раздел переменными.
- •26.Линейные дифф уравнения первого порядка.
- •27. Дифференц уравнения второго порядка.
- •28.Линейные однородные дифф уравн 2 порядка с постоянн коэффиц
- •29. Линейные неоднородные дифф уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
- •30.Понятие числовогоряда и суммы ряда. Геометрическаяпрогрессия.
- •31.Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.
- •34. Закопеременые ряды. Абсолютная и условн сходимость
25. Дифференциальные уравнения первого порядка с раздел переменными.
Дифф уравн 1-ого порядка с раздел перемен наз уравн вида N(x)M(y)dx+P(x)Q(y)dy=0 (1)где N(x), M(y), P(x), Q(y) – ф-ии непрерывноые на некотором промежутке. Уравнение (1) разделим на произведен ф-ии P(x)M(y) и получим N(x)/P(x)dx+Q(y)/M(y)dy=0 В таком случае говорят,что переменные разделены.
Проинтегрируем его…..=с это и есть общее интегрир уравнение.
Определение. Уравнение вида
F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*)связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество.
Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.
26.Линейные дифф уравнения первого порядка.
Линейн дифф уравн1-ого порядка наз уравн вида
y’ +p(x)=f(x)
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
y’+p(x)=q(x) (1)
y=uv, u=u(x), v=v(x) – некот. ф-ции, зав. от х подставив получим u’v+uv’+p(x)uv=q(x)
u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)
v’+p(x)v=0 (2)
u’v=q(x) (3)
2 и 3 идут как система
v=v(x)
u’=q(x)/v(x)
u=Sq(x)/v(x)dx
27. Дифференц уравнения второго порядка.
Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде
Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения.
Задачи Коши- задача нахождения решения y = у(x),удовлетворяющего заданным начальным условиям
28.Линейные однородные дифф уравн 2 порядка с постоянн коэффиц
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи: ---Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией
-- Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
--- Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + βi, k1 = α − βi. Общее решение записывается в виде
29. Линейные неоднородные дифф уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид: где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:
Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения: