1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

1)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда  т-ка с(a,b), в которой f‘(c)=0.

2)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда  т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).

3)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)0. Тогда  т-ка с(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).

2 Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Пусть ф-ия у= f(x) определена на Х и внутри этого мн-ва имеет конеч. производн. f ‘ (x), на (границе) концах сохр непрерывность,если конце принадл Х . Для того,чтобы f(x) была постоян на мн-ве Х чтоб выполн рав-во f ‘(x)=0 внутри мн-ва Х.

Убыв. и возраст. ф-ии назыв. монотонностью.

Достаточное условие возрастания(убывания): f(x) – возвраст. на Х, если для любых х1, х2 принадлеж. Х, х1<x2=>f(x1)<f(x2). f(x) – убыв. на Х для любых х1,х2 принадлеж. Х, х1<x2=>f(x1)>f(x2).

3. Достаточное условие экстремума.

Max и min наз общ термином экстремума

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

Достаточный признак:1) точка х₀ является точкой экстремума,крит точкой 1 рода, если ее производная в этой точке меняет знак: - если при переходе слева напр производн меняет знак с “+” на “-”, то х₀- т. Max - если с “-” на “+”, то х₀- т. min – если при переходе знак не меняется,то т. х0—не явл экстремум 2) пусть х0 стационарн точка в которой ф-ия f(x) дважды дифференциров,тогда 1) если f’’(x0)<0 х0-max 2) если f’’(x0)>, x0-min Но 2-ым усл нельзя польз если 2-ая производн в т. х0 обращается в 0 или не сущ

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Достаточное усл выпукл и вогнутости)

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

-если f '' (x) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

-если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b) .

Признаки точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

5. Асимптоты графика функции.

Прямая, к которой приближается график ф., но никогда не пересечёт её, называется асимптотой графика ф. Пусть y=kx+b называется асимптотой графика ф. f(x), при , если . Коэффициент k и b вычисляются

; . Таким образом определяются горизонтальные и наклонные асимптоты. Чтобы определить вертикальную асимптоту, необходимо исследовать функцию в точке разрыва. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если или .

разрыв ф-ции первого вида