20. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
В отличие от неопредел интеграла необязат перехоить в исход
Интегр
по частям,..пусть u(x),
v(x)-ф-ии,непрерывн,вместе
со своими производными,то справедливо
ф-ла:
21. Площадь плоской фигуры,объёмтела вращения,длина дуги кривой.
Длина дуги плоской кривой.
П
усть
некот. линия y=f(x),
где f(x)
– дифф. на отрезке [a;
b]
y(k-1) M(k-1)
M1
y
k
A Mk
M(n-1) B
a=x0
x1
x2
xk
x(n-1)
b=xn
- длина дуги АВ
Пусть
тело образовано вращением
вокруг оси
OX криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной на отрезке [a; b] функцией f
(x). Его объем выражается формулой
Пусть
тело заключено между плоскостями x = a и
x = b, а площадь его сечения плоскостью,
проходящей через точку x, – непрерывная
на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его
объем равен
Площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
неотрицательной функцией f (x), осью
абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется
как
22.Несобственный интеграл с бесконечными пределами.
В том же случае, когда отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, то (1) называется интегралом в "несобственном смысле" или несобственным интегралом.
Несобственным
интегралом наз след предел
.Если
этот предел существует и коничен,то
говорят что несобств интеграл сущ,и
сходится. В противн случае не сущ,или
расходится.
Несобственный
интеграл 1-го рода назыв. :
Если пердел в (1)
сущ-ет. и конечен, то интеграл от [а; +
) f(x)dx
назыв. сходящимся
в противном случае – расход.
Несобственный
интеграл 2-го рода: Пусть f(x)
– непр на [a;
b]
и
,
то несобств. интеграл 2-го рода. назыв.:
(2)
Если предел в (2) сущ-ет. и конечен, то интеграл от он сходящийся в противном случае – расход.
23. Несобственные интегралы от неограниченных ф-ий
Пусть функция y = f (x) непрерывна, но не ограниченая на полуинтервале [a, b).
Определение. Если существует и конечен предел
,
где δ > 0, то он называется несобственным
интегралом (несобственным интегралом
второго рода) от функции y = f (x) на [а, b) и
обозначается , т.е.
В этом случае данный несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Аналогично
вводится понятие несобственного
интеграла от функции y = f(x) непрерывной,
но неограниченной на (а, b]:
24.Дифференциальные уравнения.
1) Уравнение вида F(х,у,у’,у’’…у^n)=0 наз обыкновенным дифф. Уравнен n-ого порядка,или просто дифференц уравнен n-ого порядка.
2) Решением ур (1) наз ф-ия y=f (фи)(х) удовлетворяющ уравнению (1),т.е. такая,для которой выполн тождество F(x,f(x), f’(x)…f(x)^n)=0
3) График решения дифф уравн наз интегральн кривой.
4) дифф ур 1-ого порядка наз уравн вида F(x,y,y’)=0
Предполож что это уравнен можно решить относит y’=F(х,у) (3)
5) общим решением дифф уравн (3) наз такая ф-ия у=фи(х,с),котор при каждом значении с из некоторого мн-ва явл решен ур (3)
6) те решения дифф уравн которые получ из общего решения путём фиксирования произвольн постоян наз частной.