8.2. Построение графиков распределений в случае большой выборки

Для построения гистограммы распределения случайной величины t нужно, имея выборку этой величины, определить следующее.

1. Подходящее число столбцов k (классов) гистограммы. Для этого можно воспользоваться правилом Старджеса (H. A. Sturges)

k = 1 + 3,3 log₁₀( n),

где n - размер выборки (желательно > 40 ).

2. Разброс случайной величины t

r = t_max -t_min.

3. Ширину класса (столбца)

w = r / k.

4. Число значений t, принадлежащих i-му столбцу h_i (частоту попадания в класс), полагая, что каждое значение t может принадлежать только одному столбцу. Так, в первый столбец войдут те значения t, для которых t_min  t < t_min + w, во второй -

t_min+ w  t <t_min+ 2 w и т.д.

5. Значение плотности вероятности f(t_i)=h_i/(n ^. w).

Пример 8.2. Дана таблица результатов измерения жесткости 50 пружин

.

Таблица 8.4.

3,7	5,4	4,4	4,4	3,4	4,8	4,9	5,1	3,5	4,1
4,3	3,7	1,6	2,7	7,4	2,9	3,9	0,6	2,7	4,7
4,6	4,1	3,3	6,5	3,0	3,1	5,2	3,7	1,7	5,0
2,3	3,7	4,2	3,6	3,4	4,0	2,7	3,8	4,1	2,6
2,9	1,9	3,1	4,7	4,5	5,9	3,0	4,1	4,3	5,3

Требуется построить гистограммы распределений, определить выборочное среднее и стандартное отклонение.

Решение.

1. Классифицируем данные.

1.1. Число классов k = 1 + 3,3^.log n = 1 + 3,3^.log 50  6,6  7.

1.2. Разброс параметров r = 7,4 - 0,6 = 6,8.

1.3. Ширина класса w = r/k = 6,8 / 7  1.

2. Составляем следующую таблицу

Таблица 8.5.

Классы	Частота попа- дания в класс	Плотность f(x)	Распределение F(x)	Средняя точка класса
0,511,51	1	0,02	0,02	1,0
1,512,51	4	0,08	0,10	2,0
2,513,51	14	0,28	0,38	3,0
3,514,51	18	0,36	0,74	4,0
4,515,51	10	0,20	0,94	5,0
5,516,51	2	0,04	0,98	6,0
6,517,51	1	0,02	1,00	7,0

На основе данных табл.8.5 строим гистограммы плотности распределения f(x) и вероятностного распределения F(x).

F(x)

f(x) 1,0

0,5

1 2 3 4 5 6 7 X 1 2 3 4 5 6 7 X

Рис.8.2. Законы распределения

Если предположить, что измерения равноточны, то среднее выборочное значение и дисперсия будут равны

; .