46.Сложение одинаково направленных гармонических колебаний, биения.

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний:   и   можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм. На рис. 9.1 показаны векторы А1(t) и А2(t) амплитуд первого и второго колебаний соответственно в произвольный момент времени, когда фазы этих колебаний равны:   и  . Результирующим колебаниям:   соответствует вектор, проекция которого на вертикальную ось   равна:

  .                                                                                                    (9.1)

По теореме косинусов

  ,                                                                      (9.2)

 а

  .                                                                                (9.3)

Негармонические колебания, получающиеся в результате наложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами  , называются биениями. В этом случае за начало отсчета времени   целесообразно принять тот момент, когда фазы обоих складываемых колебаний   и   совпадают и равны  . Тогда   и  , где  . Результирующие колебания удовлетворяют соотношению

  ,               

47.Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу. Физический смысл спектрального разложения.

Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде   (1)  где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как      и заменяя во втором уравнении   на   и   на   , найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей:   (2) 

Фигуры Лиссажу

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пе-

ресечений фигур Лиссажу с прямыми,параллельными осям координат. По

виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

Физический смысл

 Рассмотрим для примера амплитудно-модулированное колебание

f(t) = ( a + 2b cos Ω t ) cos ω t.

     Здесь Ω – частота модуляции, ω – «несущая» частота, a и b – постоянные величины. Такое колебание можно реализовать, например, на входе радиоприёмника, если радиостанция работает на частоте ω, а в радиостудии издаётся звуковой сигнал на частоте Ω.

      Можно видеть, что

( a + 2b cos Ω t ) cos ω t = b cos(ω - Ω)t + a cos ω t + b cos (ω + Ω) t.

     Что реально существует? Левая или правая часть этого тождества?

     Если мы принимаем этот сигнал с помощью радиоприёмника, мы не сможем сказать, что реально на самом деле: издаёт ли в радиостудии скрипач звук на частоте Ω (например, звук «ля») или работают три генератора на частотах ω - Ω, ω, ω + Ω. Чтобы это узнать, надо поехать на студию.

     Однако, если нас интересует, как действует амплитудно-модулированное колебание на набор остро настроенных колебательных контуров, наиболее целесообразным является представление, даваемое правой частью тождества. Здесь целесообразно говорить, что наше колебание состоит из трёх синусоидальных колебаний.

     Так в чём же истинное содержание опытов Ньютона? На основании изложенного можно сказать, что Ньютон доказал, что призма есть спектральный прибор, что она физически выделяет синусоидальные составляющие, физически осуществляет спектральное разложение света. Представление солнечного света в виде суммы синусоидальных волн является адекватным, когда мы имеем дело со спектральной аппаратурой.<\p>

     Тем самым может показаться, что опыты Ньютона с призмой не имеют фундаментального значения для физики. Это неверно. Опыты Ньютона показывают, что солнечный свет действительно несинусоидален, и позволяют узнать, каков именно спектр солнечного света. Из опытов Ньютона мы узнаём, что он является весьма широким сплошным спектром, в котором содержатся интенсивные слагаемые всех видимых цветов, семи цветов радуги – красного, оранжевого, жёлтого, зелёного, голубого, синего, фиолетового