Относительно теоретической кривой (распределение Гаусса)

2) A_s = 1 / δ³ * n * ∑( x_i — M_х)³, [3]

где: δ — среднеквадратическое отклонение (С.К.О.);

M_х — среднее (математическое ожидание).

Коэффициент эксцесса рассчитывается при помощи следующих формул:

1) E_x= 1/(nG⁴)*{ ∑x_i⁴ — 4 x_i³ ∑ x_i /n + 3(∑ x_i /n )² [(2 ∑x_i ² — (x_i ²) /n]} — 3; [4]

2) E_x = 1/δ⁴*n* ∑( x_i — M_х)⁴. [5]

Допустимые пределы отклонений от теоретической кривой, когда возможно применение методов параметрической статистики (среднее, С.К.О., коэффициенты корреляции и т. п.) определяются согласно неравенствам П.Л. Чебышева:

а) I A_s I < √ Sa /(1 — p) ,

где Sa — дисперсия эмпирической оценки асимметрии;

р — вероятность появления ошибки.

Sa = 6(n — 1) / ( n + 1)( n + 3); [6]

б ) I E_x I < √ Se /(1 — p),

где Se — дисперсия эмпирической оценки эксцесса;

Se = 24n(n-2)(n-3) / (n+1)² (n+3)(+5). [7]

В практике профессионального психологического отбора часто пользуются правилом превышения ошибок асимметрии и эксцесса по абсолютной величине не более, чем в два-три раза.

Пример. В таблице 5 представлены данные тестирования двух выборок испытуемых (группа А и группа В).

Таблица 5

Эмпирические данные, полученные в результате исследования

№ п\п	xi		xi 2		xi3		xi4
	А	В	А	В	А	В	А	В
1	2	3	4	9	8	27	16	81
2	5	2	25	4	125	8	625	16
3	3	2	9	4	27	8	81	16
4	4	1	16	1	64	1	256	1
5	3	3	3	9	27	27	81	81
6	5	4	25	16	125	64	625	256
7	6	5	36	25	216	125	1296	625
8	4	6	16	36	64	216	256	1296
9	4	4	16	16	64	64	256	256
10	4	3	16	9	64	27	256	81
∑	40	33	172	129	784	567	3748	2709

1) Расчеты коэффициентов асимметрии и эксцесса.

G_(А) = √[172 — 1600/10 ]/9 = 1.15;

G_(В) = √[129 — 1089/ 10]/9 = 1.49;

A_s(А) = 1 /(10*1.52)*[784 — 40/10 * (3 * 172 — 2 * (1600/10) ] = 1/15.2*[784 — 4 * (516 — 320)] = 0;

A_s(В) = 1 /(10*3.3)*[567 — 33/10 (3 * 129 — 2 * 108.7) ] = + 0.21;

E_x(А) = 1/(10*1.75)*[3748 — 12544 + 8832] — 3 = — 0.94;

E_x(В) = 1/(10*4.93)*[2709 — 7484.4 + 4875.6] — 3 = — 0.97.

2) Расчет дисперсий эмпирической оценки асимметрии и эксцесса.

Sa = 6*9/11*13= 54/143 =0.38;

Se = 240*8*7/121*13*15 =13140/23595 =0.56.

3) Исследование отклонений эмпирических данных от теоретической нормали (распределения Гаусса).

Согласно критериям П.Л. Чебышева:	Из практики профотбора:
а) по асимметрии: I As I < √ Sa /(1 — p) Группа А — 0 < 0.4 Группа В - 0.21 < 0.4 б) по эксцессу: I Ex I < √ Se /(1 — p) Группа А — 0.94 > 0.59 Группа В — 0.97 > 0.59	I As I < 2-3 Sa 0 < 1.14 0.21 < 1.14 I Ex I < 2-3 Se 0.94 < 1.68 0.97 < 1.68

4) Вывод о нормальности распределения эмпирических данных.

Распределение эмпирических данных имеет значимое отрицательное смещение по вертикали. Это говорит о «плоском» профиле распределения признаков вокруг средних значений (дифференциация признаков) при соблюдении его симметричности. В целом распределение близко к теоретической нормали. Измеренные свойства эмпирических переменных отражают свойства генеральной совокупности. Наблюдается относительная дифференциация исследуемых признаков. В целом возможно применение методов параметрической статистики.

Оценка нормальности распределения эмпирических данных может осуществляться при помощи критерия согласия Пирсона^* — Хи-квадрат (χ²), который вычисляется по формуле:

χ² = Σ (n_i — n_i⁰)² / n_i⁰ , [8]

где n_i — частоты тестовых данных;

n_i⁰ — теоретические частоты.

Определяется вероятность соответствия практической частоты проявления признака (по показателям теста) теоретическому распределению (по специальным таблицам). Оценка распределения по χ² на практике осуществляется при помощи компьютера.

По результатам исследования параметров распределения эмпирических данных психолог может сделать по крайней мере два практических вывода:

1. Распределение тестовых данных близко (или нет) к нормальному теоретическому распределению; следовательно, возможно применение методов параметрической статистики.

2. Тест хорошо (или слабо) дифференцирует испытуемых по структуре измеряемого свойства и в целом отражает (или нет) свойства изучаемой популяции.