12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по­стоянными коэффициентами. Вывод характеристического урав­нения. Общее решение в случае действительных различных кор­ней.

Пусть в уравнении

коэффициенты a_i(х) = a_i = const: (1о)

Показательная функция у — е^λх является решением ЛОДУ (0о) тогда и только тогда, когда λ является корнем характеристи­ческого уравнения (2)

Характеристическое уравнение (2) получается из уравнения (1о), если производные у⁽ⁱ⁾ заменить на степени λⁱ переменной λ.

Если λ.₀ является корнем кратности k уравнения (2), то ему соответствует k решений

уравнения (1о). Если λ_1,2= α±β пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (2), то им соответству­ют два решения у1 — е^ах соsβх и у2 = е^ах sinβx уравнения (1о).

Пусть — характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка

Тогда два решения линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений) и общее решение имеет вид

13. Лоду с по­стоянными коэффициентами второго порядка. Фундаменталь­ная система решений в случае совпадающих действительных корней и в случае комплексных корней характеристического уравнения

Пусть — характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка

2. Корни уравнения действительные и равные

Тогда образуют фундаментальную систему решений и общее решение имеет вид

3. Корни уравнения комплексные

Тогда функции

Образуют фундаментальную систему решений и общее решение имеет вид

14. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с по­стоянными коэффициентами и специальной правой частью. Ме­тод неопределенных коэффициентов (формулировка).

ЛНДУ

(1)

с постоянными коэффициентами а_i, и специальной правой ча­стью f(x).

сначала нужно решить соответствую­щее ЛОДУ

(1о)

Затем нужно найти частное решение у* ЛНДУ. Это всегда мож­но сделать методом вариации произвольных постоянных. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид у = у* + уо, где уо — общее решение уравнения (1о).

Функции специального вида называются квазимногочлена­ми.

Квазимногочленом степени d и веса μ =r+iω называется функция вида

⁽²⁾

где (3)

есть многочлены степени d. Таким образом, вес — это комплекс­ное число μ =r+iω, действительная часть которого г — это коэффициент перед х в показательной функции еr^rх, а мнимая часть ω — коэффициент перед х у cosωх или sinωх.

Суть "метода неопределенных коэффициентов состоит в том, что, если ЛНДУ имеет специальную правую часть, то у* можно найти в "таком же виде", как и правая часть уравнения. Зная вид у*, мы находим входящие в у* неизвестные (они же неопре­деленные коэффициенты), пользуясь тем, что у* должно быть решением дифференциального уравнения, т.е. при подстановке в уравнение должно получаться тождество.

1. Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и изобра­жения. Изображения для единичной функции (Хевисайда) и показательной функции.

Правило L — это преобразование Лапласа. Оно преобразует функцию f(t) в несобственный интеграл, зависящий от парамет­ра р. Чтобы обеспечить сходимость интегралов, мы наложим на функции f(t) следующие условия:

1. f(t) — непрерывна, за исключением точек разрыва первого рода;

2. f(t) растет при t -> +∞ не быстрее показательной функ­ции: существуют такие числа

М > 0 и s₀ ≥ 0, что для всех t выполняется неравенство Число s₀ называется показателем роста f(t);

3. f(t) ≡ 0 при t < 0.

Под еди­ничной функцией η(t) = 1 понимается функция, принимающая значение 1 при t ≥ 0 и 0 при t < 0. Эта функция называется функцией Хевисайда. Аналогично, f(t) =sint — это "обычный" синус при t ≥ 0 и f(t) = 0 при t < 0.

Оригиналом называется функция f(t), удовлетворяющая перечисленным выше услови­ям.

Изображением функции-оригинала f(t) называется функция F(р), которая получается при преобразовании Лапласа функции f(t):

2. Теоремы линейности и подобия. Изображения синуса и коси­нуса.

Свойство линейности. Изображением линейной комбинации оригиналов является соответствующая линейная комбинация их изображений:

В частности, изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений.

2. Теорема затухания (смещения). Изображения для е^аtсоswt и е^аtsinwt

Теорема смещения, или затухания.

т. е. при умножении оригинала на показательную функцию е^а* изображение "смещается" на а.

4. Теорема о дифференцировании оригинала.

Теорема о дифференцировании оригинала.

В частности, если т. е. дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на р. Следствие.

и, вообще,

5. Теорема о дифференцировании изображения. Изображения для t^п, t cos wt и tsin wt

Теорема о дифференцировании изображения

.

Обычно это свойство записывают в виде и гово­рят, что дифференцированию изображения соответствует умно­жение оригинала на —t. Следствие.

и,вообще,

8. Нахождение оригиналов для простейших дробей типов I, II и III. Нахождение оригиналов для правильных рациональных функций (дробей) методом неопределенных коэффициентов.

Задача нахождения изображения F(р) по данному оригиналу f(t) называется прямой задачей. Обратная задача — это на­хождение оригинала f(t) по данному изображению F(р).

Правильная рациональная функция

Как и при интегрировании, мы начинаем с разложения F(р) в сумму простейших дробей (методом неопределенных коэффи­циентов). После этого в силу свойства линейности все сводится к нахождению оригиналов для простейших дробей.

Для простейших дробей первого (k = 1) и второго

(k > 1) типа оригинал сразу получается из таблицы и теоре­мы смещения:

Оригиналы для простейших дробей третьего типа

Два примера дробей третьего типа мы находим в таблице:

Случай общей дроби третьего ти­па мы "подгоняем" под эти два примера. Мы начинаем (все как при интегрировании) с выделения полного квадрата в знаменателе:

Затем в числителе заменяем р на р — α, чтобы можно было воспользоваться теоремой смещения, и подправляем числитель так, чтобы он не изменился. Далее, разбиваем дробь в сумму двух слагаемых (почленное деление). При этом помним о том, что в формуле для синуса в числите­ле должна стоять ω. Наконец, с помощью табличных формул и теоремы смещения получаем искомый оригинал.