5. Линейные дифференциальные уравнения (второго поряка). Линейность пространства решений однородного уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением 2ого порядка называет­ся уравнение вида ₍₁₎

Уравнение ₍₁₀₎

называется линейным однородным дифференциальным уравне­нием (сокращенно ЛОДУ)2ого порядка, соответствующим уравнению (1). Уравнение (1) при этом называют линейным неодно­родным дифференциальным уравнением (сокращенно ЛНДУ). Линейное уравнение (1о) называют также уравнением без пра­вой части, а уравнение (1) — с правой частью.

Решение уравнения (1) начинается с уравнения (1о).

Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

5. Линейная зависимость и определитель Вронского.

функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, что означает линейную независимость функций .

9.-10 Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. неоднородного линей­ного дифференциального уравнения.

Фундаментальная система ре­шений.

Пусть имеется ЛНДУ порядка п

(1) где a_i(х) — непрерывные функции на отрезке [а; Ь], а

(1о) — ЛОДУ, соответствующее уравнению (1).

Теорема

1) Если у*(х) есть решение ЛНДУ (1), уо(х) есть решение ЛОДУ (1о), то сумма есть решение ЛНДУ.

2) Если у*(х) есть какое-то одно решение ЛНДУ (1), то любое другое решение у — у(х) ЛНДУ (1) можно представить в виде

есть некоторое решение ЛОДУ (1о). Таким образом, общее решение ЛНДУ есть сумма частного (т.е. какого-то одного) решения ЛНДУ и общего решения соответ­ствующего ЛОДУ:

или, в других обозначениях, (где "он" означает" - общее неоднородного", "чн — частное неоднородного", "оо — общее однородного").

Если уравнение (1) есть, например, уравнение второго поряд­ка (n = 2), то общее решение ЛНДУ имеет вид

где — фундаментальная система решений соответствующего ЛОДУ. Таким образом, чтобы найти все решения ЛНДУ достаточно найти одно его решение и два решения соответствующего ЛОДУ.

11. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциально­го уравнения второго порядка.

y’’+a₁(x)y’+a₂(x)y=f(x) (1)

Решение неоднородного уравнения (1) начинается с решения со­ответствующего ЛОДУ (1о)

Пусть у1 = у1(x), у2 — У2(x) — его фундаментальная система решений. Тогда общее решение уравнения (1о) имеет вид

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

Идея состоит в том, чтобы искать решение у = у(х) ЛНДУ (1) в таком же виде, но где С1 и С2 уже не постоянные, а некоторые неизвестные функции: (2)

Производные С1’(х) и С2’(х) неизвестных функций являются ре­шениями системы линейных уравнений

(3)

Определитель этой системы есть определитель Вронского функ­ций y1 (x) и У2(x), неизвестными являются производные С1’, C2’, а в правых частях уравнений стоят 0 и f(x) — правая часть ЛН­ДУ. Пусть — решение системы (3). Интегрируя, находим

и по формуле (2) получаем общее решение у(х) ЛНДУ. Если при интегрировании не учитывать произвольные постоянные (счи­тать их равными нулю), то получаем частное решение у_*(c) ЛНДУ.