4. Определение определенного интеграла. Теорема существова­ния (формулировка). Геометрический и механический смысл ин­теграла.

О пределённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] , или в пределах от a до b, называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю:

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.

Геометрически интегральная сумма представляет из себя площадь ступенчатой фигуры, сост-щей из прямоугольников, в основании которых лежат отрезки ∆x_i, а высоты равны f(c_i), если f(x)≥0

С позиции механики неопределенный интеграл от скорости прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее пути с точностью до С, а неопределенный интеграл от ускорения прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее скорости с точностью до С.

5. Свойства определенного интеграла.

1)Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке

2) Для любых a, b и c

3) Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

4) Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.

5) Если f (x) ≥ g (x), то В частности, если f (x) ≥ 0, то

6) Если f (x) ≥ 0 для любого и существует такое, что причем f (x) непрерывна в x₀ то

6. Теорема (Барроу) о дифференцировании определенного ин­теграла по переменному верхнему пределу.

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а,b], то функция

имеет прозводную и , т. е. функция S(x) является первообразной для f (х).

7. Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция f(х) непрерывна на [а; b] и F(х) — её первооб­разная, то

Это и. есть формула Ньютона-Лейбница. Она является след­ствием основной теоремы дифференциального и интегрального исчисления (теоремы Барроу- см п. 6)

8. Замена переменных в определенном интеграле.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], а функция

x= φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], причем φ(α)=а, φ(β)=b, и значения функции φ(t) не выходят за пределы отрезка [a;b], когда t €[α;β]. Тогда

9. Интегрирование по частям для неопределенного и определен­ного интегралов

Формула интегрирования по частям для неопред. Интегр. имеет вид

где и = и(х) и v=v(x) — дифференцируемые функции. Эта фор­мула позволяет свести вычисление интеграла ∫udv к вычис­лению интеграла ∫vdu, который может оказаться проще. Для применения формулы к вычислению интеграла ∫f(x)dx мы разбиваем подынтегральное выражение ∫f(x)dx на две части и и dv. Затем находим du=u’dx и v=∫dv и применяем формулу/

Методом интегрирования по частям вычисляют следующие типы интегралов:

А) ∫P(x) * e^axdx, ∫P(x) *cosbxdx, ∫P(x) *sinbxdx, где Р(x) — некоторый многочлен. В этом случае берут и = Р(х), тогда du=P’(x)dx, а степень многочлена Р'(х) меньше, чем у P(x)/

B) ∫P(x) * lnxdx, ∫P(x) *arccosβxdx, , ∫P(x) *arcsinβxdx, ∫P(x) *arctgxdx, ∫P(x) *arcctgxdx, в этих случаях берут u= lnx, соответственно u=arcos βx и.т.д.

Тогда du= - βdx/√1-( βx)²

Для опред. Интегр. Если функция u= u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b], то