1. Что такое дифференциальное уравнение и его решение ? При­меры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям (за­дача о радиоактивном распаде и задача о колебании груза напружине).

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется со­отношение

связывающее независимую переменную х, функцию у — у(х) и её производные у', у",..., у(ⁿ). Порядок n старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциально­го уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется функ­ция у=φ(х), при подстановке которой в уравнение получается тождество. Решить уравнение — это значит найти все его ре­шения. Решение уравнения часто получается в виде функции, заданной неявно уравнением Ф(х,у) = 0. Решения уравнения иногда называют его интегралами.

2. Задача Коши и теорема Коши (формулировка) для диффе­ренциального уравнения первого порядка. Общее решение диф­ференциального уравнения первого порядка

(см. 5 п)

Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производные и в общем виде записывается следующим образом:

где x – независимая переменная, – искомая функция, у’– ее производная.

Разрешая это уравнение (если возможно) относительно y’ , получим (1)

Полученное уравнение является частным случаем более общего дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную:

Всякое решение уравнения (1), получающееся из общего решения при конкретном значении C=C₀, называется частным решением. Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно y, т.е. , то оно называется общим интегралом уравнения.

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка на­зывается уравнение вида

где а₀(х), а₁(х) и b(х) — непрерывные функции (в некотором интервале). Деля на а₀(х)≠ 0, мы можем переписать это уравнение в виде (I)

Метод Бернулли решения дифференциального уравнения (1) состоит в следующем. Ищем решение у = у(х) уравнения (1) в виде произведения двух функций у = и(х)v(х). Функции и(х) и v(x) находятся из того условия, что у должно быть решением уравнения, т. е. при подстановке у в уравнение должно полу­чаться тождество. Подставляем функцию y=uv и ее произ­водную у'=и'v+uv’в уравнение (1) и получаем

Группируем второе и третье слагаемые ("серединку"):

и • (v' + а(х)v). Ищем v(х) такую, чтобы это выражение обратилось в нуль, т.е. функция v(х) должна быть решением уравнения : v’+a(x)v=0

Тогда у= иv является решением уравнения (1), если и(х) яв­ляется решением уравнения и'v = b(х). Итак, и и v являются решениями системы (2)

Cначала решаем первое из уравнений этой системы, т. е. уравне­ние (1о) и находим v = v(х). Это уравнение с разделяющимися переменными. При нахождении v(x) мы произвольную посто­янную не учитываем (считаем, что С = 0; произвольная поcтоянная появится при следующем интегрировании). Затем из второго уравнения системы (а это есть простейшее уравнение) находим и = и(х). Наконец, записываем ответ: у = и(х)v(х).

Дифференциальное уравнение вида (3)

называется уравнением Бернулли. В частном случае, когда п = 0 или п = 1 получаем линейное уравнение.

Уравнения Бернулли решаются также методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения Подставляя в уравние, получаем

Функции и и v находятся из системы (4)

Отличие от линейных уравнений состоит в том, что в данном случае второе уравнение системы является не простейшим, а уравнением с разделяющимися переменными.