10. Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением p=p(φ) и двумя лучами φ = φ₁, φ = φ₂ , определяется по формуле

11. Длина дуги кривой. Вычисление длины дуги графика функ­ции.

Если существует и этот предел не зависит от способа разбиения отрезка на кусочки, то он называется длиной дуги кривой АВ.

Элемент длины дуги кривой dl находится по теореме Пифагора: dl = √ (dx)² + (dy)². Дифференциал функции y=f(x) (или x=x(t)) находится по формуле dy=f’(x)dx (соответственно, получаем формулы)

Если гладкая прямая является графиком функции y=f(x),

a ≤x≤ b то её длина l равна

12. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически и в полярной системе координат.

Элемент длины дуги кривой dl находится по теореме Пифагора: dl = √ (dx)² + (dy)². Дифференциал функции y=f(x) (или x=x(t)) находится по формуле dy=f’(x)dx (соответственно, получаем формулы)

Если кривая задана параметрическими уравнениями х =x(t), y=y(t), α≤t≤β, то

В случае пространственной кривой х =x(t), y=y(t), z=z(t), α≤t≤β,

Если кривая задана в полярных координатах уравнением р=p(φ), φ₁≤φ≤φ₂, то

13. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла по известным площадям поперечных сечений.

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Пусть тело Т находится между двумя плоскостями х = а и х = b. Тогда его объем вычисляется по формуле

где S(с) — площадь сечения тела плоскостью х = с, перпенди­кулярной оси Ох и проходящей через точку с € [а; b] на этой оси. В частности, отсюда получаются формулы для объема тел вращения.

Объем тела вращения. Объём тела, полученного, при враще­нии вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривыми _{находятся по формуле}

14. Вычисление массы, статических моментов и координат цен­тра тяжести неоднородной материальной нити.

15. Вычисление массы, статических моментов и координат цен­тра тяжести однородной материальной пластины.

16. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Определение и формула Ньютона-Лейбница. Исследование сходимости интегралов

Понятие определенного интеграла от ограниченной функции по конечному отрезку [a;b] распространяют на случаи, когда либо промежуток интегрирования является бесконечным ("бесконечность — сбоку"), либо функция является неограни­ченной ("бесконечность — сверху"). Различа­ют несобственные интегралы первого и второго родов. Общая конструкция интеграла как предела интегральных сумм в этих случаях "не проходит". Из положения выходят так: сначала бес­конечность "отрубают", а затем несобственные интегралы опре­деляют как пределы определенных интегралов в старом смысле (собственных интегралов) с переменными пределами интегри­рования.

Пусть функция f(x) непрерывна на полупрямой Несобственным интегралом от функции f(x)по бесконечному промежутку , или несобственным интегралом первого рода, называется предел

Если указанный предел существует и равен некоторому числу, то интеграл называется сходящимся, в противном случае — рас­ходящимся. Точку х = +∞ мы будем называть особой точ­кой несобственного интеграла. Аналогично определяется несоб­ственный интеграл в случае, когда особая точка х = -∞ находится в левом конце промежутка интегрирования. Для несобственных интегралов сохраняется формула Ньютона-Лейбница

где под значением функции F(х) в точке х = +∞ понимается предел