8. Математическое понятие и его характеристики. Виды определений и требования к ним

Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты. Каждое понятие связано термином (словом или группой слов), кроме этого матем. понятия может обозначаться символом, знаком.

Термины и символы – это материальные средства с помощью которых отображается и фиксируются матем. понятия, сохранения, передача и переработка информаций через них.

Каждое понятие характеризуется 2 признаками: содержание, объем.

Содержание понятия – это множество свойств которыми оно обладает.

Объем понятия – это мн-во объектов (отношений), которые могут быть равноподведены под понятием.

Между объектом и содержанием понятия существует взаимообратная связь. Для раскрытия объема понятия применяется классификация, а для раскрытия содержания – определение.

Определение – наз. Логическая операция, которая раскрывается содержание.

Существуют разные способы определения понятий:

1 сп. Через ближайший род и видовое различие (н-р квадратом наз ромб, у которого один угол прямой).

2 сп. Генетический – это способ который показывает происхождение понятий( н-р фигура, полученная путем вращения прямоугольника вокруг оси, кот. получает его сторону, наз цилиндр.)

3 сп. С помощью соглашений или отношений ур-ний.

4 сп. Аксиоматический

5 сп. Индуктивный

6 сп. Через абстракцию

Для учебного процесса важное значение имеет следующие правила определения понятий:

1 правило: определение должно быть соразмеримым.( н-р диаметр наз отрезок, кот соединяет 2 точки окружности).

2 правило: родовое понятие должно быть ближайшим родом в отношении до определяемого понятия. (нарушение этого правила приводит до таких ошибочных определений, н-р параллелограмм – это многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны).

3 правило: в определение должно быть названо видовое отличие ( н-р натур число наз простым, когда оно имеет 2 нат делителя (нарушено слово «только»))

4 правило: определение не должно образовывать замкнутого круга (н-р возьмем такие понятия как прямой угол и перпендикулярные прямые. Прямым углом наз угол, кот получается при пересечении 2-х перпендикулярных прямых. Две прямые наз перпен-ые, когда они пересекаются под прямым углом.

Классификация – это логическая операция, которая раскрывает объем понятий. Под классификацией понимают разделение мн-ва объектов, которые образуют объем родового понятия на классы.

Пусть дано множество Х и оно разбито на классы х1,х2,….хн тогда

1. подмножество х1,х2, …хn попарно не пересекаются х1 не пересек. С х2.

2. Объединение подм-ва х1,х2,…. Совпадает с мн-вом Х

3. Сумма объектов понятий, получившийся при классификации равна объему исходного понятия.

4. В процессе классификации переходят к ближайшему в данном родовом понятии виду.

9. Методика формирования математических понятий

Формирование понятий - это тяжелый процесс, который опирается на логику научного познания и объективные переходы от незнания к знаниям.

Нужно уметь:

1. Уметь сформулировать понятие

2. Уметь устанавливать связь нового понятия с изученными

3. Научится применять понятие по образцу

4. Уметь самостоятельно применять на практике.

Работа учителя направлена на формирование понятий:

1. Актуализация знаний (знание сильных и слабых сторон предыдущей подготовки уч-ся помогает правильно построить процесс формирования нового понятия)

2. Мотивация введения понятия (каждый ученик должен знать, зачем ему необходимы те или иные понятия)

3. Введение матем. понятий(выделяют 3 способа мат. понятий: конкретно-индуктивный(введения тождественности в курсе алгебры), абстрактно-дедуктивный(введение гомотетии в школьном курсе геометрии), метод целесообразных задач(5-6 кл. введение понятий об действиях сложения, вычитания, умножения и деления дес.дробей , а также применяется в старших классах))

4. Организация усвоения терминологии и символики(понятие связано со словом. Оно выражается одним или несколькими словами(фукнк., дес.дробь), а также символами +.,-,=)

5. Формирование умений применять понятие(продумать упражнения для применения введенного понятия)

6. Включение понятия в систему содержательных связей с др.понятиями(подготовка упражнений)

Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с чётким представлением об его объёме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности, а также способность к актуализации основных фактов, относящихся к данному понятию. Применяя то или иное математическое понятие при доказательстве каких-либо теорем и решении задач, важно уметь обнаруживать данное понятие в тех случаях, где оно выступает в более или менее скрытой форме