36. Методика введения понятия производной.

Роль темы: имеет мировоззренческое значение, задача о формировании умений, навыков и выработке навыков не ставится.

• сформировать понятие производной, как нового метода в изучении математических дисциплин (опирается на задачи практического характера);

• научить вычислять производные функций в точке (только степенной функции);

• научить применению некоторых правил операций с производной (суммы, произведения, частного);

• простейшее применение производной к решению задач практического характера (нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке);

• показать применение производной при построении касательной к графику функции.

Введение понятия производной:

I. мотивация изучения; вступительная беседа с выделением следующих акцентов:

• часто нас интересует не величина, а её изменение ( = k∆l);

• полезно включить задачи, которые стоят у истоков этого понятия:

1. задача о построении касательной к графику функции в данной точке (Ньютон);

2. задача о мгновенной скорости (Лейбниц) является более простой.

II. целесообразно:

• формировать интуитивно-наглядные представления об аргументе и приращении функции (таблицы, графики, картинки);

• научить находить приращение конкретной функции в точке х0.

III. уточнение понятия производной путём перевода на более строгий математический язык.

IV. Формирование алгоритма нахождения производной

(Если существует число L, к которому стремится в точке х0, то L - производная).

Алгоритм нахождения производной f(x) в точке х0:

1. есть х, дать приращение ∆х (∆х>0, ∆х<0, ∆x≠0);

2. находим приращение функции ∆f = f (x0+∆x)-f(x0);

3. составляем отношение ;

4. если ∆х→0, то находим, к чему стремится ;

5. + f’(х0) – производная.

V. Закрепление понятия производной: выполнение нескольких упражнений на нахождение производной функции в точке по алгоритму.

VI. Правила вычисления производных

Если функция имеет производную в точке, то она называется дифференцируемой. Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма также является дифференцируемой в этой точке, причём, производная этой функции = сумме их производных.

Пусть дана функция

• f(x) = u(x) + v(x) => f’(x) = u’(x) + v’(x);

• f(x) = u(x)·v(x) => f’(x) = ;

• f(x) = => f’(x) = .

В заключение выводят уравнение касательной графика функции в данной точке.

y=kx+b; k=tgα; ; ∆х→0; → ; y= f’(x0)k+b; b=f(x0)-f’(x0)·x0.

38. Методика обучения решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.

Главной целью изучения данной темы является научить учащихся находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке. К промежуткам относятся отрезки и интервалы, поэтому целесообразней будет рассмотрение задач на нахождение наибольших и наименьших значений функции, как на отрезке, так и на интервале. Перед решением задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции необходимо повторить понятие производной, точки максимума и минимума.

Вначале даётся определение отрезка и интервала, их отличие.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо:

1. найти производную заданной функции;

2. найти точки, в которых производная превращается в нуль, и проверить, принадлежат ли найденные точки данному отрезку;

3. найти значение функции в тех точках интервала данного отрезка, в которых её производная равна нулю;

4. находим значение функции на концах отрезка;

5. из найденных значений функции вбираем наибольшее и наименьшее.

Если функция имеет на интервале только одну точку экстремума – точку минимума (или точку максимума), то она принимает в этой точке наименьшее (наибольшее) значение на данном интервале.

При решении задач на нахождение наименьшего (наибольшего) значения можно придерживаться следующей последовательности действий:

1. ввести переменную;

2. выразить через эту переменную и известные данные ту величину, наименьшее (наибольшее) значение которой нужно найти, т.е. ввести функцию;

3. определить наименьшее (наибольшее) значение введенной функции. Наименьшее (наибольшее) значение функции на интервале находится, так же как и на отрезке.