35. Методика изучения степенной, показательной и логарифмической функций.

В старших классах схема изучения функций меняется. На смену наглядно – иллюстративному методу приходят аналитические методы. Поэтому схема выглядит следующим образом:

1. рассматривается подводящая задача;

2. вводится определение функции;

3. проводится аналитическое исследование функции и ее свойств;

4. на основе аналитического исследования строится график функции. Для более точного построения изображения графика функции находятся характерные точки;

5. рассматриваются задачи и упражнения на закрепление свойств функции.

Степенная функция: ,α – рациональный показатель.

Возникают трудности когда α-иррациональный показатель. Степенная функция изучается в 11 классе. Перед изучением степенной функции обязательно нужно вспомнить свойства следующих функций: , ( ). Сейчас в школе применяют принцип обобщения.

1).Все степенные функции с целым положительным показателем разделили на 2 класса:

2). Все степенные функции с целым отрицательным показателем разделили на 2 класса:

Методика изучения показательной функции.

Начать следует с актуализации знаний, связанных с понятием степени с рациональным показателем (вспомнить, что в показателе стояло действительное число, основание >0, сравнить степени с одинаковым основанием и сделать соответствующие выводы). Затем нужно подвести учащихся к формулировке определения показательной ф-ии: есть переменная, стоит в показателе степени, название зависит от того, где находится переменная, обобщаем, записываем в виде у=a^х, после чего уч-ся частично формулируют определение. Затем необходимо обсудить возможные значения парам а : а≠1, т.к. при а=1 график – прямая и сказать, что для общности а>0.

Полезно мотивировать необходимость изучения данной ф-ции. Затем необходимо рассмотреть 2 случая: а>1 и 0<a<1. На доске заранее нарисованы 2 таблицы, которые по ходу заполнит учитель с помощью учеников. Затем уч-ся строят графики в тетради, например у=2^х и у=(1/2)^х. С помощью проектора показать график, не конкретизируя знач а. Уч-ся сами сформулируют 9 св-в. Позже отметить закономерности распол-я графиков.

Способы задания ф-ции: 1) графичиский (наглядный, но не всегда можно вычислить точное значение); 2) табличный ( наоборот); 3) аналитический ( ф-ия задается формулой, самый распростр способ задания функции, лаконичный, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента, отсутств нагл-ть); 4) словестный.

Исслед-е ф-ций пров-ся по след схеме: 1) обл опр; 2) обл знач; 3) наиб и наим знач; 4) точки пересеч с осями; 5) нули ф-ции; 6) пром знакопост-ва; 7) четность, нечетность; 8) пром монот-ти; 9) периодичность.

Для введения логарифмической функции существует два подхода:1. С помощью понятия обратной функции; 2. На основе определения логарифма числа. 1 подход: изучение логарифмической функции начинается с повторения свойств показательной функции по заранее нарисованным изображениям графика. На основе рассматривания свойств обращают внимание на то, что показательная функция непрерывная и монотонная на R. Это позволяет делать вывод об существовании для нее обратной непрерывной и монотонный функции, на области ее определения кот. называют логарифмической и обозначают . При введение понятия логарифмической функции что в отличие от показательной функции основой логарифмической функции может быть любое положительное число не равное 1. Полезно рассмотреть какие-нибудь конкретнее функции: , . Составляется таблица значений для данных функций. Перед этим необходимо вспомнить, что графики взаимообратных функций симметричные относительно прямой у=х. Значит для построения графика логарифмической функции используют симметрию относительно прямой у=х для графика соотношений показательной функции. При этом подходе свойства логарифмической функции изучаются с использованием свойств соответствующих показательных функций. Обычно ЛФ усваивается учениками труднее чем показательная, поэтому учителю необходимо добиться от учеников чтобы они могли усвоить схематично график ЛФ: когда а>1;0<a<1.