23. Методика изучения свойств сложения и умножения натуральных чисел

Множество НЧ специально изучают в 5 кл. В теме «НЧ» рассматриваются их сложение, вычитание, умножение, деление. (действия над ними) и свойства. Происходит систематизация сведений преобразования в 1-4 кл. Операторное истолкование числа и действий над ними. В каждом арифметическом действии участвуют 2 компонента.

Сложение – понятие является интуитивно ясным уч-ся из предыдущего изучения. Это операция, которая не определяется. Можно ввести уточнения в данном понятии, разобрав ряд задач.

Задача: в школе 2 пятых класса в 5а-32 ученика, в 5в-29. сколько учеников в 5-х классах?

Можно сложить множество и посчитать количество учеников в объединенном множестве. А можно продолжить счет во втором классе, начиная с 33, 34,….

Вычитание – операция вычитания определяется как операция обратная сложению.

Чтобы вычесть из числа а число в нужно найти такое число с, чтобы в+с=а.

Умножение – вводится специальным определением справедливым только на множестве НЧ. Выражение а*в обозначим сумму в слагаемых, каждое из которых равно а.

Деление – операция деления понимается как операция обратная умножению.

Определение 2 обратных операций «-, :» не имеется на мн-ве всей чисел и должно хорошо усвоено уч-ся.

Сравнение чисел: в младших классах при сравнении чисел используется правило, меньше то число, которое раньше встречалось в числовом ряду. Далее уч-ся знакомятся с правилом сравнения чисел по разряду. Существует еще один способ сравнения чисел с помощью координатного луча: их 2 чисел больше то, которое находится справа и меньше, то которое слева. На основе этого правила уч-ся в дальнейшем формируют правила сравнения на других числовых множеств.

Законы сложения:

1. а+в=в+а (от перестановки слагаемых сумма не меняется)

2. (а+в)+с=а+(в+с) ( изменение расстановки скобок сумма не меняется). Чтобы прибавить к сумме 2 чисел третье можно к 1 числу прибавить сумму 2 и 3.

3. а+в>a, a+b>b (сумма любых 2 НЧ больше любого слогаемых)

4. а+0=а, 0+в=в (если 1 =0 то сумма равна 2 слагаемому).

Законы вычитания:

1.чтобы вычесть сумму из числа, нужно сначала вычесть 1слогаемое, а потом из полученной разности 2 слагаемое.

А-(в+с)=(а-в)-с

2. что бы из суммы вычесть число, нудно его вычесть из 1 слагаемого и к полученной разности прибавить 2 слагаемое.

(а+в)-с=(а-с)+с

Законы умножения:

1. 1*0=0

2. 1*а=а

3. а*в=в*а (переместительное св-во)

4. а*(в*с)=(а*в)*с (сочетательное св-во) что бы число умножить на произведение 2 чмсел можно умножить это число на 1 множитель, а затем полученное число умножим на 2 множитель.

5. (а+в)*с=ас+вс (распределительное св-во)что бы умножить сумму на число нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученное произведение сложить.

Законы деления:

1. на 0 делить нельзя

2. а:1=а, а/а=1, 0/а=0

3. (ав)/с=(а/с)*в, (ав)/с=(в/с)*а

4. (а/в)/с=А/(в*с)

5. а/(в/с)=(а/в)*с

6. (а+в)/с=а/с+в/с

24. Методика изучения делимости натуральных чисел

В данной теме изучается деление с остатком, признаки делимости, простые и составные числа, кратное и делитель, НОК и НОД.

Деление с остатком: данная тема известна из младших классов. Разделить натуральное число a с остатком на натуральное число b означает найти два таких числа r и q, что

а = b·q + r, r < b (37 = 5·7 + 2).

Признаки делимости: рассматриваются признаки делимости на 10, 100, 5, 2, 3, 9. Числа, делящиеся на 2 называются чётными; не делящиеся на 2 – нечётными. Если число а:b, то a кратно b (56:7 => 56 кратно 7). Если число оканчивается на 0, то оно: делится 10, если не оканчивается на 0, то не делится. Если число оканчивается на два 0, то оно делится на 100, иначе не делится. Если число оканчивается на чётную цифру, то оно: на 2; если число оканчивается нечётной цифрой, то оно не делится на 2. Если число оканчивается на 0 или на 5, то оно : 5, иначе нет. Если сумма цифр : 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр : на 9, то и число делится на 9.

Простые и составные числа: натуральное число, которое имеет два делителя, называется простым. Натуральное число, которое имеет больше двух делителей, называется составным. Первым простым числом является число 2. 1 не является простым числом.

Р азложение числа на простые множители: любое составное число можно разложить на составные множители 350 2

175 5

35 5

7 7

1

Делитель числа, общий делитель, взаимнопростые числа: Задача: воспитательница детского сада на занятии по рисованию раздала 124 карандаша и 93 книжки-раскраски. Сколько детей в группе?

124 = 2·2·31·1 93 = 3·31·1

Числа 124 и 31 имеют два общих делителя 31 и 1 => в группе 31 ребёнок.

Найдём общие делители для чисел 70 и 56:

70 = 7·2·5·1

70 2 56 2

35 5 28 2

7 7 14 2

1 7 7

1

Общими для 70 делителями будут являться: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

Делители 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

Общие делители: 1, 2, 7, 14.

Общими делителями являются всевозможные произведения чисел 1, 2, 7.

Два натуральных числа называются взаимнопрстыми, если единственным общим делителем является 1. Для 1-й задачи общими делителями были числа 1и 31, наибольший – 31. Для 2-й задачи наибольшим является 14. Существует более простой способ нахождения НОД. Чтобы найти НОД нескольких чисел нужно:

1. Разложить числа на простые множители

2. Выбрав разложение одного из чисел, отобрать те из его множителей, которые входят в разложение всех остальных чисел

3. Найти произведение отобранных общих множителей.

Пример: найти НОД для чисел 120 и 252:

120 = 2·2·2·3·5 252 = 2·2·3·3·7

НОД (120, 252) = 2·2·3 = 12

Кратное, НОК: приведём примеры кратных числу 2: 2, 4, 6, 8, 10,…, 20,….; кратных 5: 5, 10, 15, 20,…. Т.е. для любого натурального числа количество кратных ему чисел бесконечно. Для чисел 2 и 5 существуют общие кратные: 10, 20, 30,…. Среди них есть наименьшее число 10, но нет наибольшего. Общим кратным двух чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Наименьшим общим кратным называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Существует способ нахождения НОК. Чтобы найти НОК нескольких чисел нужно:

1. Разложить каждое из этих чисел на простые множители

2. Записать разложение одного из чисел и дополнить его теми множителями из остальных разложений, которые ещё не записаны

3. Вычислить записанное произведение.

Например, НОК (18, 15, 45, 90) = 2·3·3·5 = 90.

18 2 15 3 45 3 90 2

9 3 5 5 15 3 45 3

3 3 1 5 5 15 3

1 1 5 5 1