6. Канонически сопряженные обобщенные координаты и импульсы пробного заряда во внешнем электромагнитном поле

Рассмотрим уравнение движения нерелятивистской частицы с зарядом q во внешнем электромагнитном поле с напряженностью электрического поля и индукцией магнитного поля :

,                                                      (72)

где – импульс частицы, m – ее масса, – ее скорость, а коэффициент  зависит от выбора системы единиц. В частности, в СИ  = 1, а в гауссовой системе единиц его принимают равным  = 1/с, где с – электродинамическая постоянная. Выразим напряженность электрического поля и индукцию магнитного поля через скалярный, , и векторный, , потенциалы электромагнитного поля:

                                              (73)

Подставим (73) в (72). Выделяя в провой части полную производную по времени и раскрывая двойное векторное произведение с учетом, что оператор действует только на зависимости от координат, но не от времени, будем иметь:

т.е. уравнение движения заряженной частицы можно представить как уравнение движения некоторой гипотетической частицы, импульс которой определяется по формуле

,                                                            (74)

движущейся в поле, описываемом потенциальной функцией

,                                           (75)

Следующим образом:

.                                                         (76)

Уравнениям движения (72), переписанным в виде (76), и соотношению (74) можно придать вид уравнений Гамильтона (41) с обобщенными координатами, совпадающими с обычными декартовыми координатами частицы, собранными в радиус-вектор , и с обобщенными импульсами , записанными относительно функции Гамильтона

                                                    (77)

где в соответствии с (74) и определением обобщенная скорость совпадает с и равна

.                                                        (78)

Действительно, с одной стороны, дифференцируя функцию Гамильтона (77) по , с учетом (78) будем иметь

.

С другой стороны, производные функции Гамильтона (77) по координатам радиус-вектора , рассматриваемым как переменные, независимые от , дадут

,

Что позволяет представить (76) как вторую совокупность уравнений Гамильтона (41):

.

Определение (74) величины можно рассматривать как некоторое каноническое преобразование

,                                              (79)

которое не меняет скобок Пуассона:

                                               (80)

так как, по определению, , но из первого равенства (79) следует, что , а из независимости «старых» переменных p_i и x^j вытекает, что . Следовательно, переменные ( ) для частицы, движущейся в электромагнитном поле, можно рассматривать как канонически сопряженные величины.

Нетрудно видеть, что функция Гамильтона (77) может быть записана в виде

                 (81)

где

                                            (82)

– функция Гамильтона заряженной частицы, движущейся в электрическом поле с потенциалом . Таким образом, учет векторного потенциала электромагнитного поля может быть рассмотрен как каноническое преобразование (79) переменных в фазовом пространстве системы с производящей функцией, определяемой в соответствии с (70) по правилу

.

Эта функция определена с точностью до произвольной, дифференцируемой достаточное число раз функции координат, выбор которой определяется первообразной как функции времени t, взятой при значении t = t₀. Значение t₀ выбирается таким образом, чтобы выполнялись при этом все соотношения вида (62).

В настоящее время механика Гамильтона является хорошо развитой математической теорией, находящей свое применение и за пределами механики. На ее основе строится еще один вариант формулировки механики  теория ГамильтонаЯкоби, играющий важную роль при решении некоторых задач, а также при установлении соответствия между квантовой механикой в формулировке Шредингера и классической механикой.

Учебные вопросы и задания

1. При каком условии обобщенная координата называется циклической?

2. Закон сохранения какой величины, соответствует циклической обобщенной координате?

3. Дайте определение функции Гамильтона. При каких условиях выполняется закон сохранения функции Гамильтона?

4. Что называется фазовым пространством?

5. Как определяется в классической механике понятие состояния механической системы?

6. Сформулируйте уравнения Гамильтона.

7. Выведите уравнения Гамильтона из уравнений Лагранжа.

8. Какова интерпретация функции Гамильтона в нерелятивистском случае?

9. Сформулируйте вариационный принцип Гамильтона.

10. Выведите уравнения Гамильтона из вариационного принципа.

11. Каким образом можно записать производную физической величины, зависящей от времени, обобщенных координат и импульсов механической системы, с учетом уравнений Гамильтона?

12. Дайте определение скобки Пуассона.

13. Сформулируйте закон сохранение физической величины, явно не зависящей от времени, с помощью скобок Пуассона.

14. Перечислите основные свойства скобок Пуассона.

15. Докажите, что, если величины f(p,q,t) и g(p,q,t) сохраняются, то сохраняется и их скобка Пуассона {f,g}.

16. Выведите

17. Какие обобщенные координаты и импульсы называются канонически сопряженными?

18. Какие преобразования называют каноническими?

19. Какими свойствами должны обладать канонические преобразования?

20. Какие особые условия необходимо наложить на канонические преобразования, чтобы они оставляли неизменными скобки Пуассона?

21. Являются ли преобразования Галилея каноническими преобразованиями?

22. Каким образом нужно определить декартовы проекции импульса нерелятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле, канонически сопряженные к соответствующим декартовым координатам? Откуда это вытекает?

23. Как переопределяется функция Гамильтона для нерелятивистской заряженной частицы, движущейся во внешнем электромагнитном поле?

24. Можно ли рассматривать переход к обобщенным координатам и импульсам для нерелятивистской частицы во внешнем электромагнитном поле как некоторое каноническое преобразование?

25. Выведите производящую функцию этого канонического преобразования.