Учет неконсервативных сил в механике Лагранжа
Если системы А и В взаимодействуют посредством сил иной природы, например, сил трения, для которых работа по перемещению материальной точки по любому замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю, принцип стационарного действия не выполняется. Можно показать, что в этом случае уравнения Лагранжа (1.8) обобщаются в следующем виде:
, (35)
где Q ковектор результирующей обобщенных неконсервативных сил.
Если речь идет о движении заряженных частиц в магнтном поле, то Q представляет собой результирующую сил Лоренца, действующих на отдельные заряды системы.
В частном случае сил вязкого
трения в линейном приближении
(по идет суммирование от
1 до s).
В этом случае Q
можно представить, как производную
по обобщенным скоростям от функции
, (36)
где коэффициенты ij следует рассматривать, как симметричный тензор. Функция (36) называется диссипативной функцией.
Учебные вопросы
Как определяется функция Лагранжа в простейших случаях?
Какая величина называется числом степеней свободы?
Дайте определение конфигурационного пространства.
Дайте определение действия механической системы как функционала от траектории системы в конфигурационном пространстве.
Сформулируйте вариационный принцип Лагранжа.
Выведите уравнения Лагранжа из вариационного принципа.
Как, зная функцию Лагранжа, найти обобщенные импульсы и обобщенные силы?
Какие преобразования обобщенных координат относят к точечным преобразованиям?
Запишите функцию Лагранжа материальной точки, движущейся в потенциальном поле, в нерелятивистском приближении.
Как будет выглядеть функция Лагранжа нерелятивистской материальной точки при выборе в качестве обобщенных координат 1) цилиндрических координат; 2) сферических координат?
Какой физический смысл имеют обобщенные импульсы?
Запишите функцию Лагранжа системы материальных точек.
Выведите уравнения Лагранжа для системы материальных точек, в векторной форме, выбрав в качестве обобщенных координат декартовы координаты материальных точек, входящих в систему.
Дайте определение координат Якоби для системы материальных точек.
*Выведите формулу (17).
Составьте функцию Лагранжа для следующих механических систем: математический маятник, двойной математический маятник (рис. 1.1).
Что называется связями в механике? На какие два вида разбиваются все связи?
Какие связи называются голономными?
Какие голономные связи называются реономными?
Какие голономные связи называются склерономными (геометрическими)?
Выведите общее выражение для кинетической энергии реономной системы материальных точек.
Модели каких движений склерономных механических систем охватывают первые члены разложения потенциальной энергии взаимодействия частиц системы в ряд Тейлора по степеням отклонения обобщенных координат от положения равновесия?
Как можно представить функцию Лагранжа двух независимых подсистем замкнутой системы? Запишите в общем виде функцию Лагранжа двух взаимодействующих подсистем замкнутой системы.
Однозначно ли определена функция Лагранжа?
Сформулируйте общие требования к функции Лагранжа свободной частицы.
Каким образом производится обобщение уравнений Лагранжа на случай неконсервативных сил?
В каких случаях вводится в рассмотрение диссипативная функция?