5. Канонические преобразования

Так как точечные преобразования (1.8) сохраняют форму уравнений Лагранжа (1.8), то, очевидно, они сохраняют и форму уравнений Гамильтона (44). Однако в отличие от уравнений Лагранжа в случае уравнений Гамильтона существует существенно более широкий класс взаимно однозначных преобразований вида

,                                              (60)

при которых принцип наименьшего действия механической системы

                       (61)

приводит к уравнениям Гамильтона, имеющим одинаковую форму в обеих группах переменных

                                         (62)

где для краткости символами q' и p' обозначены вектор новых обобщенных координат и ковектор новых обобщенных импульсов. Условие взаимной однозначности преобразований (60) сводятся к требованию, чтобы якобиан этого преобразования был отличен от нуля в заданной области изменения обобщенных координат и импульсов:

.                                  (63)

Найдем условия, при которых преобразования (60) сохраняют вариационный принцип и форму уравнений Гамильтона. Для этого обратим внимание на то, что для выполнения равенства между собой интегралов в (61) подынтегральные выражения могут отличаться лишь на полный дифференциал некоторой функции F_1­(p,q,t):

.                                  (64)

В то же время второе равенство в (61), выражающее принцип стационарного действия, и, следовательно, (62) выполняется также и при преобразованиях вида

,                                   (65)

где а – некоторая постоянная. Это преобразование не противоречит условию (63). Например, преобразования вида p_i' = ap_i, q^i' = q^i', H' = aH приводят к выполнению соотношения (65) и подчиняются условию (63). В то же время, вообще говоря, нельзя считать, что такие преобразования вместе с преобразованиями (60), удовлетворяющими условию (64), исчерпывают весь класс преобразований, при которых выполняются принцип стационарного действия (61) и уравнения Гамильтона (62). Поэтому обычно сосредотачивают внимание на поиске преобразований (60), удовлетворяющих условиям (64), т.к. при преобразованиях (65) вариация действия меняется. Преобразования (64) называются каноническими преобразованиями.

Из (64) видно, что

,                                (66)

т.е. функция F₁ выступает здесь как функция переменных qⁱ,q^k',t:

                               (67)

Она называется производящей функцией канонического преобразования.

Условие (66) можно переписать одним из следующих способов:

                  (68)

получая новые производящие функции

       (69)

В частности, полагая F₃(qⁱ,p_k',t) = f^k'(q,t)p_k', из второй строчки в (69) можно получить, что

q^k' =  f^k'(q,t),

т.е. точечные преобразования (1.8) в конфигурационном пространстве являются частным случаем канонических преобразований. Из (69) также видно, что, если производящая функция не зависит явно от времени, то функция Гамильтона в новых переменных может быть получена простой подстановкой функциональных зависимостей (60) в старую функцию Гамильтона.

Рассмотрим, как трансформируются скобки Пуассона величин f(p,q,t) и g(p,q,t) при преобразованиях (60). Так как

то

Если имеют место условия

                                        (70)

то

{f,g}_p,q = {f,g}_p',q'.                                                        (71)

В частности, если f = p_k', а g = q^m', то из (71) следует, что при выполнении условий (70) будут иметь место и условия

которые совпадают полученными ранее выражениями (59), записанными относительно новых переменных. Так как уравнения Гамильтона (62) могут быть сформулированы с помощью скобок Пуассона

то для пар канонически сопряженных переменных p_i, q^j и p_k', q^m' из условий (70) и (71) вытекает, что

                     (72)

С другой стороны, в общем случае при наличии взаимно-однозначной зависимости вида (60)

                         (73)

Вычитая (72) из (73), с учетом уравнений Гамильтона (74) можно установить, что

С помощью условия (71), справедливого для любых функций f и g, зависящих от канонически сопряженных обобщенных координат и импульсов,

Производя непосредственно вычисления скобок Пуассона относительно указанных переменных, можно установить, что преобразования (60), связывающие пары канонически сопряженных переменных, должны удовлетворять условиям

                                   (74)

Если положить по аналогии с (67), (68), что

                                             (75)

где F – некоторая функция каких-либо двух из рассматриваемых переменных и времени, считающихся в данном случае независимыми, то из (74) и вытекает, что

Это значит, что существуют, вообще говоря, 4 произвольных функции обобщенных координат и импульсов, явно не зависящих от времени, для которых

                        (76)

Условия (71) определяют подмножество канонических преобразований, сохраняющих скобки Пуассона и, в частности, условие канонической сопряженности обобщенных координат и импульсов (59). В число преобразований (60), обладающих свойствами (76) входит, например, преобразование Галилея (34), связывающее декартовы координаты и декартовы проекции скорости материальной точки в двух инерциальных системах отсчета, движущихся одна относительно другой с постоянной скоростью .