5. Замкнутые классы и полнота Основные понятия

Пусть K — некоторое множество функций алгебры логики.Замыканием[K] множестваKназывается совокупность всех функций изР₂, являющихся суперпозициями функций из множестваK. МножествоKназываетсязамкнутым классом, если [K]=K. ПустьK– замкнутый класс вР₂ . Подмножество P изKназываетсяфункционально полнойсистемой вK, если [P] =K.

Множество K’, содержащееся в замкнутом классеK (в т.ч.K=P₂), называетсяпредполным классомвK, если оно не является полной системой вK, но для всякой функциивыполняется равенство

Самодвойственные функции

Функцияназываетсядвойственнойк, если=. Двойственная функция обозначается.

Функция называется самодвойственной, если=. Класс самодвойственных функций обозначаетсяS.

Линейные функции

Функция называетсялинейной, если она представима в виде

Множество всех линейных функций обозначается L .

Функции, сохраняющие константу

Говорят, что функция сохраняет константу 0 (константу 1), еслиf(0,0,...,0)=0 (cоответственно,f(1,1,...,1)=1). Множества функций, сохраняющих константу 0 или 1, обозначаются соответственноT₀иT₁.

Монотонные функции

Булева функция называется монотонной, если для любых двух наборовиз, таких, чтоимеет место неравенство

. В противном случае функция называетсянемонотонной.

Вершина кубаназываетсянижней единицей(верхним нулем) монотонной функции, если=1 (=0 ) и для всякой вершиныизвытекает, что=0 (соответственно извытекает=1). Множество монотонных функций обозначаетсяM.

Каждое из множеств T₀, T₁, S, L, Mявляется замкнутым и предполным классом вP₂ .

Теорема. СистемаKполна вР₂тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из классовT₀, T₁, S, L, M.

ЗАДАЧИ

5.1. Является ли множествоKзамкнутым классом:

1) K={0,1}; 2)K= {}; 3)K= { 1,};

4) K= {0,}.

5.2. Сведением к заведомо полным системам вP₂ , доказать полноту системыK:

1) K= {}; 2)K= {};

3) K = {}; 4)K = {}.

5.3. Доказать, что всякий предполный класс вР₂является замкнутым классом.

5.4. Является ли функцияgдвойственной кf, если

1) f = xy, g = x ~ y; 2) f = xy, g = yx .

5.5. Является ли функция самодвойственной:

5.6. Подсчитать число самодвойственных функций, существенно зависящих от переменных

5.7. Доказать, что если— самодвойственная функция, то.

5.8. Разлагая функциюfв полином Жегалкина, выяснить, является ли она линейной:

5.9. Доказать, что для любой ф.а.л. существует единственное разложение в полином Жегалкина.

5.10. Доказать, что еслиf— линейная функция иf const, то

5.11. Найти число линейных самодвойственных функций.

5.12. Доказать, что.

5.13. Доказать, что еслина любых двух соседних наборах принимает противоположные значения,

то она линейная.

5.14. Показать, что всякая монотонная функция содержится не менее, чем в двух классах из {}.

5.15. Функцияfне принадлежит множеству {} и принимает в точности одно значение, равное нулю.

Доказать, что она либо является шефферовской, либо существенно зависит лишь от одной переменной.

5.16. Какие из перечисленных ниже функций являются монотонными:

5.17. Подсчитать число функций в каждом из следующих множеств:

5.18. Показать, что еслинемонотонна, то существуют такие два вектораииз, различающиеся

ровно в одной координате, что , но.

5.19. Показать, что вР₂не существует предполных классов, отличных от классовT₀, T₁, S, L, M.

5.20. Используя критерий полноты, выяснить, полна ли системаР:

1) P= {}; 2)P= {};

3) P= {0, 1,}.

5.21. Доказать, что любую функцию изР₂можно представить через логические связки: конъюнкцию,

дизъюнкцию и отрицание.

5.22. Пустьиудовлетворяет условию=. Доказать, что если, то.

5.23. Из самодвойственной функцииfс помощью подстановки на места переменныхполучить константу

5.24. Можно ли из функцииf=(10110010) с помощью операции суперпозиции получить функциюg=(1000)?

5.25. Показать, что, где– совокупность всех функций, двойственных к линейным функциям.