20. Стационарные и нестационарные случайные процессы. Стационарность в широком и узком смыслах. (2 стр)

К нестационарным случайным процессам относятся все случайные процессы, не удовлетворяющие условиям стационарности, сформулированным в п. 1.1.1. Свойства нестационарных случайных процессов зависят от времени и могут быть установлены только путем усреднения в отдельные моменты времени по ансамблю выборочных функций. На практике не удается получить достаточное для более или менее точной оценки число реализаций, образующих ансамбль.

Во многих случаях нестационарные случайные процессы, отвечающие реальным физическим явлениям, имеют особенности, упрощающие их анализ. Например, иногда случайные данные удается представить в виде случайного процесса , все выборочные функции которого имеют вид

(8)

где  выборочная функция стационарного случайного процесса, а  детерминированная функция, называемая трендом. Если процесс имеет такой вид, то для описания его свойств не требуется усреднение по ансамблю; часто многие важные свойства удается оценить по единственной реализации.

1. Основные характеристики процессов

Все характеристики процессов (как детерминированных, так и случайных) образуют две группы, в одну из которых входят характеристики, описывающие поведение процессов во времени, в другую – характеристики, отображающие особенности спектров Фурье, или частотных спектров. Поэтому методы анализа процессов разделяются на две большие группы: методы анализа во временной области, и методы анализа в частотной области.

Основные статистические характеристики, имеющие важное значение для описания свойств сигналов таковы:

1. математическое ожидание и дисперсия;

2. плотность распределения вероятностей;

3. ковариационная и (или) корреляционная функции;

4. спектральная плотность.

Первые три характеристики относятся к временной области, четвертая – к частотной области.

Стационарность в широком и узком смыслах.

Различают стационарность в широком смысле и в узком. Стац. проц. в ШИРОКОМ смысле, если его среднее значение и корреляц. ф-ция не зависит от времени.

Кор. ф-ция:

Стац. процесс в УЗКОМ смысле, если не изменен во времени закон распределения. Стационарность в узком смысле предполагает стационарность в широком смысле, но не наоборот. Стационарность в узком смысле шире, чем стационарность в широком. (Например: в узком смысле распознавание человеком (биологич.), а в широком – роботом).

Процесс стационарный в широком смысле

Если физическое явление описывается случайным процессом, то свойство этого явления в принципе можно оценить в любой момент времени путем усреднения по ансамблю выборочных функций , образующих случайный процесс. Тогда математическое ожидание случайного процесса в момент времени можно вычислить, взяв мгновенные значения всех выборочных функций ансамбля в момент времени , сложив эти значения и разделив на число слагаемых, т.е.

. (3)

Аналогичным образом ковариация значений случайного процесса в два различных момента времени и вычисляется путем усреднения по ансамблю произведений центрированных мгновенных значений, взятых в эти моменты времени:

. (4)

В формулах (3) и (4) суммирование производится в предположении равновероятности всех выборочных функций. Расстояние между моментами времени в формуле (4) называется сдвигом или задержкой. Заметим, что величина для нулевого сдвига (для =0) представляет собой дисперсию процесса в момент времени , т.е. .

В общем случае, когда величины и , определенные уравнениями (3) и (4), зависят от момента времени , случайный процесс называется нестационарным. В том частном случае, когда и , не зависят от момента времени , случайный процесс называется слабо стационарным или стационарным в широком смысле. Среднее значение слабо стационарного процесса постоянно, а ковариационная функция зависит только от сдвига времени , т.е.

, (5 а)

, (5 б)

.

Процесс стационарный в узком смысле

Математическое ожидание и ковариацию называют соответственно моментом первого порядка и смешанным моментом. Для полного определения структуры случайного процесса нужно вычислить бесконечное число моментов и смешанных моментов высших порядков. В том случае, когда все моменты и смешанные моменты инвариантны во времени, случайный процесс называется строго стационарным или стационарным в узком смысле. Во многих приложениях проверка слабой стационарности позволяет обосновать строгую стационарность. Отметим, что для строго стационарного процесса функция и плотность распределения вероятностей в любом сечении одинаковы, т. е. они не зависят от времени:

, (6 а)

. (6 б)