21.Ассимптоты графика функции
Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций.
При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.
Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.
Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.
Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ
Пусть
при x→
x0
с какой-либо стороны функция y
= f(x)неограниченно
возрастает по абсолютной величине,
т.е.
или
или
.
Т
огда
из определения асимптоты следует, что
прямая x
= x0
является асимптотой. Очевидно и обратное,
если прямая x
= x0
является асимптотой, т. о.
.
Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0
Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0.
НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ
Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.
Теорема.
Прямая y
= kx
+ b
служит наклонной асимптотой при x
→ +∞ для графика функции y
= f(x)
тогда и только тогда, когда
.
Аналогичное утверждение верно и при x
→ –∞.
22.Понятие дифференциала функции
Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: Δy = A Δx+Δ, где А не зависит от Δx (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и Δ имеет высший порядок относительно Δx (при Δx > 0). Тогда первый член, пропорциональный Δx, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
|
22. Дифференциал функции
1)Определение:
Функция f(x)
называется дифференцируемой в точке
,
если её приращение в этой точке можно
представить в виде
(1),
где А-const.
-
линейно относительно
и отличается от приращения функции на
бесконечно малую величину
;
поэтому
-
главная линейная часть приращения
функции.
Определение:
Если функция
f(x)
дифференцируема в точке
,
то главную линейную часть её приращения
называют дифференциалом функции в
точке
,
с приращением
;
обозначается:
.
dy=
Теорема:
Утверждение,
что f(x)
дифференцируема в точке
утверждению,
что
конечная
,
причем в 1 в роли A.Доказательство:
:Итак,
функция дифференцируема
выполнено
1.
доказано.
Доказательство:
:
Пусть
конечная
,
докажем тогда по формуле для полного
приращения функции
,
где
-
конечная,
-
.
Сравнивая с 1, видим, что функция
дифференцируема, причем
=А
доказано.
Замечание:
Так как
дифференцируемость
конечная
,
часто вместо дифференцируемость говорят
производная, поэтому процесс нахождения
производной называют дифференцированием.
-
дифференциал, и обозначается
,
поэтому с учетом теоремы:
Замечание2:
Из
