2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль, обозначается . В случае вещественного аргумента — непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина x1-x2 означает расстояние между точками x1 и x2 и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. Математический анализ

Пусть ε > 0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x0 на числовой прямой (иногда говорят ε-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x0 не более чем на ε, т.е. Oε(x0) = {x: | x − x0 | < ε}.

3. Понятие функции, основные свойства

правило(закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Множество X всех допустимых действительных значений аргументаx, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции.

Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция,называется областью значений функции.

Если для любых двух значений аргумента x1и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 ), то функция f (x ) называется возрастающей;

если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2)< f (x1),то функция f (x ) называется убывающей.

Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f ( x )| M для всех значений x .

Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = a, если :

функция определена при x = a, т.e. f (a) существует;

существует конечный предел limxaf(x);

f (a) = limxaf(x) .

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a.

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.

Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( - x ) = f ( x ), то функция называется чётной;

если же имеет место: f (-x) = - f (x), то функция называется нечётной.

4. Основные элементарные функции

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

К ним относят:

Степенные с целым показателем.

Показательные

Логарифмические

Тригонометрические

Обратные тригонометрические