17. Возрастание и убывание функции

функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а ≤ х < х' ≤ b выполняется неравенство f (x) ≤ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x'). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х2 (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x)↑, а убывающие f (x)↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f'(x) была неотрицательной на [а, b].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x0, если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x0, что для любой точки х из (α, β), х> x0, выполняется неравенство f (x0) ≤ f (x), и для любой точки х из (α, β), х< x0, выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x0. Если f'(x0) > 0, то функция f (x) строго возрастает в точке x0. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

18.Экстремумы функции

1) Пусть задана на . Если - внутренняя точка обл определения функции, то в этой точке функция имеет максимум (минимум) если

Этот максимум (минимум) будет строгим, если неравенства строгие.

Замечание:

Точки экстремума (макс., мин.) по определению рассматриваются лишь во внутренних точках, в литературе иногда говорят о краевых экстремумах

2) Необходимый признак экстремума

Теорема:

Если функция имеет в точке экстремум, то производная в этой точке либо равна нулю либо не существует

Доказательство:

Пусть существует , если в точке - максимум, то для достаточно малой окрестности имеет наибольшее значение в этой окрестности, по теореме Ферма

Согласно теореме точки экстремума могут быть лишь в тех внутренних точках, где производная не существует или равна нулю. Такие точки называются подозрительными на экстремум. Точки в которых производная равна нулю называются стационарными.

Не во всякой подозрительной на экстремум точке есть экстремум.

3) Достаточные признаки эктремума

Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определения и непрерывна в , тогда:

1. Если при переходе через , меняет знак с плюса на минус (т.е. ), то в - строгий максимум;

2. Если при переходе через , меняет знак с минуса на плюс, то в - строгий минимум;

3. Если при переходе через , не меняет знак, то экстремума в нет, т.е. функция в монотонна.

Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.

При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.