34.Несобственные интегралы.

35. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,yⁿ(x) до порядкаn включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функциивремени.

обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

 или  ,

где   — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени  , штрих означает дифференцирование по  . Число   называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

36. 39.40.Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

  Линейное   уравнение  имеет вид:

 а(х)*у^/ + b(х)*y + c(x) = 0,                                           (1.9)

где а(х), b(x), c(x) - заданные функции.

Если а(х) ≠ 0, то это  уравнение  можно записать в приведенном виде:

 у^/ + Р(х)у = f(x),                                                       (1.10)

где     ,     ,тогда f(x) - свободный член.

             Пусть Р(х) и f(x) в (1.10) непрерывны на (a,b).

Будем искать решение в виде y = u*v, где u-ненулевое решение соответствующего  однородного   уравнения 

u^/ + P(x)u = 0,                                                           (1.11)

a v - неизвестная функция. Тогда

y^/ =u^/v+v^/u.                                           (1.12)

Подставим в (1.10) эти выражения. Получим

 u^/v + v^/u + P(x)uv = f(x)                                          (1.13)

 v  (u^/+P(x) u) + uv^/  = f(x)

Учитывая, что имеет место (1.11), получим

 uv^/ = f(x).                                                                     (1.14)

Следует u подобрать так, чтобы коэффициент при v был равен нулю.

Из (1.11) и (1.14) находим u и v, подставляем в y = u*v, причем u есть конкретное решение,  отличное от нуля.