49. 50.51.52.Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

53. Основные понятия функции нескольких переменных

Определение 1. Функцией n переменных u (x1, x2, … , xn) называется отображение u: Rn → R , т.е. любое правило, которое каждой точке x = (x1, x2, … , xn) О D М Rn ставит в соответствие действительное число u О R .

Функцию n переменных записывают так: u = f(x1, x2, … , xn) .

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y)

54. Производные и дифференциалы функций нескольких переменныхОпределение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина _xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.Можно записать Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у.  

55. Частные производные

.

Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х приращение х; х+х, получим точку р₁(х+х,у), вычислим разность значений функции в точке р:

_хz = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y)  частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.

Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.

z = Lim _xz

x x0 x

 z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

x x0 x

Аналогично определяем частное производной по переменной у.

Нахождение частных производных.

При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).