- •1.Множества; определение, способы задания, операции над ними.
- •2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
- •3. Понятие функции, основные свойства
- •4. Основные элементарные функции
- •5.Числовая последовательности и ее предел.
- •6. Предел функции в бесконечности и в точке
- •7.8. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ,определение и свойства
- •Свойства бесконечно малых
- •9. Основные теоремы о пределах
- •10. Некоторые признаки существования предела функции
- •11. Замечательные пределы
- •12.Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций. Непрерывность функции.
- •13. Задачи приводящие к понятию производной.
- •14. Определение производной зависимость между непрерывностью и диффериенциромостью функции Понятие производной
- •15..Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования
- •16.Правило Лопиталя
- •17. Возрастание и убывание функции
- •18.Экстремумы функции
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •19. Определение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения на границе области д.
- •20.Выпуклость функции.Точки перегиба
- •21.Ассимптоты графика функции
- •23.24. Первообразная функции и неопределенный интеграл Свойства неопределенного интеграла
- •25. Метод интегрирования по частям
- •27.Основные свойства определенного интеграла
- •28. Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •29. Формула Ньютона-Лейбница
- •30. 31.32.33.Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения и длин дуг кривой.
- •34.Несобственные интегралы.
- •35. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
- •36. 39.40.Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •38. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •41.42. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •43.44. Понятие числового ряда, сходимость
- •45. Признак Даламбера
- •46. Признак сравнения
- •47. Лейбница признак
- •48. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда
- •49. 50.51.52.Ряды Тейлора и Маклорена
- •53. Основные понятия функции нескольких переменных
- •55. Частные производные
- •Нахождение частных производных.
- •56. Диффиринциал функции
- •57. Градиент, производная по направлению
- •58. Экстремум функции многих переменных (необходимое и достаточное условия).
- •59. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •60.61.Комплексные числа. Тригонометрическая и показательная форма
38. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Пусть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение
.
Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :
.
Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при x = x0 y = y0 и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y0 до y для левой части и от x0 для x для правой части уравнения:
.
Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить y(x).
Значения x0 и y0 называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде
.
Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).
41.42. Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной имеет следующий вид:
Общее решение
Из систем (87) можно определить постоянные с1и с2. и тем самым найти частное решение
удовлетворяющее уравнению (85) и заданным начальным условиям Заметим, что при решении конкретных задач, как правило, наряду с дифференциальным уравнением участвуют те или иные начальные условия (88), так как решение таких задач должно быть однозначным.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида коэффициенты которого p(x) и q(x)– непрерывные функции
Два решения y1 иy2 называются линейно независимыми, если можно подобрать постоянные числа b1 и b2 , не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е. В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения y1 и y2 называются линейно независимыми, т.е. если функции y1 и y2 линейно независимые и имеет место тождество (90), то
43.44. Понятие числового ряда, сходимость
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .
В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5:
Необходимое условие сходимости ряда.
Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .
При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если то ряд расходится.
С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится.
Ряд гармонический и другие
1
Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда
Гармонический ряд является исторически первым примером численного ряда, члены которого неограниченно убывают и который, несмотря на это, расходится, т.е. для которого
Расходимость его была доказана Лейбницем в 1678 г. Название ряда объясняется тем, что каждые три последовательных его члена, начиная со второго, un-1, un, un+1, удовлетворяют одному и тому же правилу: средний член связан с крайними равенством un = 2un-1un+1
un-1 + un+1 .
Подобная зависимость чисел называют гармоническим делением или золотым сечением.
В курсе математического анализа гармонический ряд является основным и играет не менее значительную роль, чем убывающая геометрическая последовательность.