Шпоры по матану [1 семестр] / Теорема Коши

§6 §6.4. Теорема Коши о конечных приращениях.

Теорема.

Пусть функция f(x) и g(x):

1)      непрерывны в [a,b]

2)      имеют конечные производные f’(x) и g’(x) в (a,b)

3)       и конечна

тогда существует точка  (1)

Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши, которая получается, если g(x)=x.

Доказательство:

 а) сначала покажем, что g(b)-g(a) не = 0, т.е. g(b) != g(a). Если допустить противное: g(b)=g(a), то функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля => существует т. c принадлежащая (a,b): g’(c) = 0, а это противоречит условию (3)

б) введем вспомогательную функцию  Утверждается, что данная функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля

, т.е. получена формула (1)

В литературе все рассмотренные теоремы: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши – называются теоремами о среднем.