Шпоры по матану [1 семестр] / связь м-у сущ касат. и произв

§5 §5.3. Связь между существованием производной и касательной.

а) Если в точке x0 существует наклонная касательная к графику функции y = f(x), то в этой точке существует конечная производная f’(x0) = tg(alpha). (параграф 5.1.,задача 2)

б) Докажем, что если существует f’(x0), то существует касательная в этой точке (M0) (см шпору) ------ ,т.е в любом случае касательная в точке M0 существует

в) Существование наклонной касательной в точке x0 равносильно существованию конечной производной в точке x0. В пункте б) показано, что существование производной влечет существование касательной, причем, если f ’(x0) бесконечна, то касательная вертикальна ( параллельна оси OY)

Замечаем, что из существования касательной еще не следует существование производной. С учетом пункта а) это относится к случаю вертикальной касательной.

Пример: y = x(2/3)