Шпоры по матану [1 семестр] / Теорема Ролля

§6 §6.2. Теорема Роля

Теорема Роля

1) f(x) непрерывна на [a,b]

2) существует f’(x) в (a,b)

3) f(a) = f(b)

тогда существует с, принадлежащее (a,b) : f’(c) = 0.

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса существует x0, x1 принадлежащее (a,b) : f(x0) - наибольшее значение функции, f(x1)-наименьшее значение функции => f(x0) > f(x1), тогда по условию (3) хотя бы одно из этих значений принимается внутри промежутка, назовем эту точку c и по теореме Ферма следует, что f ’(c) = 0.

Геометрический смысл теоремы: Если крайние ординаты кривой f(x) равны, то найдется точка, где касательная параллельна оси OX.