Шпоры по матану [1 семестр] / Ф-ла Тейлора для мног

§6 §6.5. Формула Тейлора.

Для многочленов.

Любой многочлен -ной степени можно записать в следующем виде:  (1). Возьмем . Многочлен вида (1) можно записать по степеням . Для этого

(по биному Ньютона

)

Группируем по степеням и получаем, что многочлен:  (1’)

Для определения коэффициентов  положим в формуле (1’) такое условие, что

Таким образом, с учетом полученных формул (2) формулу (1’) можно переписать в следующем виде :  (1’’).

Формула (1’’) – это формула Тейлора для многочлена -ной степени.

Замечание: Если многочлен записан в виде (1’) по степеням , то его коэффициенты выражаются по формуле  (3), по которой можно сказать, что вычисляются коэффициенты по известным производным и наоборот. Поэтому, если многочлен записан в виде , то ясно, что все производные в точке  равны соответственно