Шпоры по матану [1 семестр] / Теорема Ферма о нуле

§4 §4. Основные теоремы дифференциального исчисления.

§4.1. Теорема Ферма.

Определение. Пусть f:=E -> R, x0 принадлежит E. Функция f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) в точке x0 относительно E, если существует окрестность этой точки U(x0): x принадлежит U(x0)I E для x<x0 выполняется, что f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)), а для x0>x выполняется f(x)>f(x0)  (f(x)<f(x0)). Случай простого возрастания (убывания) аналогичный, только знаки будут нестрогими.

Лемма.

Если x0 внутренняя точка области определения f, то при f ‘(x0)>0 (f’(x)<0) функция f(x) возрастает в точке x0 (убывает).

Доказательство: (телефон)

 По условию

 числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Замечание. Лемма доказана для внутренних точек. Если бы речь шла о краевых точках, то лемма тоже сохранялась бы, но возрастание и убывание будут односторонними.

Теорема Ферма(о нуле производной).

Если функция f(x) определена на промежутке ([a,b]) и принимает наибольшее (наименьшее) значение в этом промежутке в некоторой точке c принадл. (a,b), то производная в этой точке равна нулю при условии её существования.

Доказательство:

На основе леммы.

Пусть в точке c принадл. (a,b), наибольшее значение функции, т.е. (*) для  существует производная .

Доказательство от противного: пусть , то по лемме

 (1)

Если , то по лемме  (2)

(1)   и (2) противоречат условию (*)