Шпоры по матану [1 семестр] / Признаки монот и пост ф-ии

§7 §7. Исследование функции с помощью производной.

§7.1. Признаки монотонности и постоянства функции.

Теорема 1.

Если функция f(x) непрерывна на промежутке ([a,x)] и производная  f ’(x) эквивалентна 0 на [(a,b]), то f(x) равна C(const) на ab.

Доказательство: <|

x0 принадлежит [(a,b)]. возьмём любое x принадлеж. ab.

f(x)-f(x0) = (по ф-ле конечных приращений Лагранжа в промежутке [x0,x] это равно) = f ‘(c)(x-x0) = 0  => f(x)=f(x0) для любых x из /ab\   |>

Теорема 2.

Пусть f(x) непрерывна на промежутке /a,b\, тогда:

1)     если f ‘(x)>=0 (<=0), то функция f(x) возрастает (убывает) на /ab\.

2)     если f’(x)>0 (<0), то функция f(x) строго возрастает (строго убывает) на /ab\.

Доказательство:

< для случая возрастания:

Пустьf ’(x)>=0. Возьмем любое x’, x” принадл. /ab\ : x”>x’.

f(x”)-f(x’) = (по ф-ле конечн приращ Лагр) = f ’(c)(x” – x’) >=0, => f(x”)>f(x’) для x”>x’ => f(x) возрастает. >

Геометрический смысл теоремы 2: Если f ‘(x)>0, то касательная везде образует положительный острый угол, т.е. функция идет вверх.

Теорема 3(необходимый признак монотонности)

Если f(x) возрастает (убывает) в точке x0 и  сущ. f(x0), то f ‘(x0)>=0 (<=0).

Замечание. Из того, что f(x) строго возрастает (строго убывает) еще не следует, что f ‘(x0)>0 (<0), т.е. производная даже строго возрастающей (убывающей) функции может для некоторых значений обращаться в ноль.