Шпоры по матану [1 семестр] / инвар-сть дифф

Дифференциал сложной функции  Дифференциал сложной функции. Инвариантность дифференциала сложной функции.

Теорема.

Пусть:

1)

 и  составим сложную функцию из функции

2)  дифференцируема в точке , а  дифференцируема в точке ,

Тогда           (1)

Как видно из формулы  формула для дифференциала сложной функции, где  - промежуточная переменная, такая же как в случае, если бы  была окончательной переменной.

Пример:

z=g(y); z = g(f(x)), f(x) = y;

dg = g’(y)dy;   dy=g’(x)dy; dy = f’(x)*dx

Это и называют инвариантностью формулы дифференциала. Формальной разницы между формулами нет, а фактическая есть.

y - независимая переменная

y - зависимая переменная

y = f(x)

z = g(y)

z = g(y)

dg =g’(y)*dy

dg=g’(y)*dy

dy = Vy- приращение аргумента

dy = f’(x)dx- дифференциал некоторой функции, не совпадает просто с Vy

Свойство инвариантности часто используют для вычисления.

d(cos^3(x))   cosx = y

d(y^3) = 3y^2dy

dy = -sinx*dx

d(cos^3(x)) = -3cos^2(x)*sin x*dx