Шпоры по матану [1 семестр] / асимптоты(накл)

§7 §7.5. Асимптоты к графику функции.

Прямая называется асимптотой для некоторой кривой, если при удалении вдоль кривой в бесконечность расстояние между кривой и прямой стремится к нулю, но не равно нулю.

 Вертикальная асимптота.

Определение Прямая x=a называется вертикальной асимптотой к графику функции, если  при x->a+(-) lim f(x) = +-8

Пример:

y = корень из 1/(x-2);  Dy = (2;+8)

----график от 2----

 Наклонные асимптоты.

Определение Прямая y = kx+b называется правой (левой) наклонной асимптотой к графику функции y = f(x), если lim(f(x)-(kx+b)) = 0       (1)

Геометрический смысл формулы (1) в том, что разница ординат точки прямой и кривой стремится к нулю.

Для практического нахождения асимптот служит теорема.

Теорема (критерий наклонной асимптоты).

Для того чтобы прямая y = kx+b была наклонной асимптотой к графику функции y = f(x) необходимо и достаточно, чтобы:

а) существовал (x->+8(-8)) lim f(x)/x = k;

б) существовал lim (f(x)-kx) = b

Доказательство:

< Необходимость: итак, y = kx+b - наклонная асимптота => для нее справедлива формула (1), т.е. f(x)-kx-b = alpha(x)  (бмф при x->+8)          (2).

Значит, f(x)/x=k+b/x+alpha(x)/x,  b/x --> 0 при x->+8.  alpha(x)/x - beta(x) – бмф при x->+8

Т.е. условие а) выполнено. Из формулы (2) также следует, что

f(x)-kx = b+alpha(x)  (бмф при x->+8)

Достаточность: итак, пусть выполнены условия а) и б) теоремы для некоторой прямой y = kx+b. Тогда из б) следует, что f(x)-kx-b = alpha(x) (бмф при x->+8), а это и означает выполнение условия (1) >

Пример нахождения асимптоты: - - - - тело- - - -

Наклонные асимптоты:

а) левая

б) правая