Шпоры по матану [1 семестр] / 25- наиб и наим зн-е функций

§5 §7.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b], тогда, согласно теореме Вейерштрасса, она принимает на этом промежутке наибольшее наименьшее значения в какой-то точке. Эта точка может быть либо на границе промежутка, либо внутри. В последнем случае в этой точке будет экстремум и следовательно эта точка  попадет в число подозрительных на экстремум. Таким образом, для нахождения наибольших и наименьших значений функции можно вычислить значения на концах промежутка, в точках экстремума и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения. Если исследование на экстремум затруднительно, то можно вычислить значение функции в точках подозрительных на экстремум и на концах промежутка.

Замечание (для любых промежутков /a,b\). Если известно, что внутри промежутка достигается наибольшее (наименьшее) значение функции и внутри промежутка всего одна точка подозрительная на экстремум, то это и будет точка, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Пример. Дан квадрат со стороной a. Какие нужно сделать вырезы, чтобы объем коробки V был максимальным?

V = y(x) = ((a-2x)^2)*x   ,  x принадл. [0;a/2]

y’ = 2(a-2x)(-2)x+(a-2x)^2 = (a-2x)(a-2x-4x) = (a-2x)(a-6x)

x1 = a/6; x2 = a/2.

Т.к. точка x2 = a/2 подозрительной точкой на экстремум не является, т.к. она на конце промежутка, то единственная подозрительная на экстремум точка x1 = a/6 => x = a/6 - точка максимума.

V = ((a-a/3)^2)*a/6 = 2a^3/27